第五章 留数

1. 第五章 留数 §1 孤立奇点 函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.

2. 将函数 f (z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类. • 可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤 • 立奇点z0称为 f (z)的可去奇点. 这时, f (z)= c0 + c1(z-z0) +...+ cn(z-z0)n +.... 0<|z-z0|<d , 则在圆域|z-z0|<d 内就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.

4. 2. 极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+... (m1, c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +... , 在 |z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0)  0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0)  0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.

5. 如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有 3. 本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.

6. 综上所述: 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.

7. 4.函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成f (z) = (z-z0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0)  0, m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点. 例如当 f (z)=z(z-1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点. 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:如 f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m级零点的充要条件是f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)0 .

8. 这是因为, 如果 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=...=cm-1=0, cm0,这等价于f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)0 。 例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于f '(1) = 3z2|z=1=3  0, 从而知 z=1是f (z)的一级零点. 由于f (z) = (z-z0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因而它在z0的邻域内不为零. 这是因为j (z)在z0解析, 必在z0连续, 所以给定

9. 定理如果 z0是 f (z)的m级极点, 则z0就是 的m级零点, 反过来也成立. 所以f (z)=(z-z0)mj (z)在z0的去心邻域内不为零, 即不恒 为零的解析函数的零点是孤立的. 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.

10. 例 2

11. 对 讨论函数 在 处的性态。 例 3

12. 把扩充z平面上的去心邻域 R<|z|<+映射成扩充w平面上原点的去心邻域： 作变换 又 .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+对f (z)的研究变为在 内对j (w)的研究.显然j (w)在 内解析, 所以w=0是孤立奇点. f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型 等价于j (w)在w=0的奇点类型。 5. 函数在无穷远点的性态如果函数 f (z)在无穷远点 z= 的去心邻域 R<|z|<内解析, 称点为 f (z)的孤立奇点.

13. 即z=是f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极限 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定. 例题1 例题2 例题3

14. §2 留数 • 留数的定义及留数定理 如果函数f (z)在z0的邻域D内 • 解析,那末根据柯西积分定理 但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0<|z-z0|<R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 一般就不等于零. 因此 f (z) = ... +c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+... 0<|z-z0|<R 两端沿C逐项积分:

15. D zn z1 Cn C1 C3 z2 z3 C2 C 称C-1为 f (z)在 z0 的留数, 记作 Res[ f (z), z0], 即 定理一(留数定理)设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ..., zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则

16. [证] 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 注意定理中的条件要满足。例如 不能应用留数定理。

17. 求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中 (z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对 求留数可能更有利. 如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Res[f(z),z0]=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是 极点, 则有一些对求 c-1有用的规则.

18. 2. 留数的计算规则规则1如果z0为f (z)的一级极点, 则 规则2如果z0为f(z)的m级极点, 则 事实上, 由于f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)m f (z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,

19. 令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。

20. 即得 规则3。

21. 由规则1, 得 我们也可以用规则3来求留数: 这比用规则1要简单些.

24. 解： z = 0为一级极点。 例 4 例 5 解： 所以 原式=

25. 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 3.在无穷远点的留数设函数 f (z)在圆环域 R<|z|<内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分 的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作 f (z)在圆环域 R<|z|<内解析：

26. 这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域 R<|z|<+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.

27. 定理二如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零. 证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有

29. 所以规则4 成立.

30. 定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便. 例 6

32. 证明：