C.Chavant EDF, R&D

1. Fiabilité des simulations hydromécaniques utilisant des lois de comportement adoucissantes : Enseignements du benchmark MoMas C.Chavant EDF, R&D

2. Présentation du benchmark • Objectifs généraux • Sur des cas où toutes les équations sont fixées • Comparer des solutions obtenues par différentes équipes • Utilisant plusieurs codes • Avec des méthodes numériques différentes • Principales caractéristiques • Couplages hydro-mécanique • Loi de comportement mécanique adoucissante • Perméabilité variable avec endomagement

3. Plan Quelques bases théoriques : Poro plasticité Contrainte effective en non saturé Couplage perméabilité-endommagement Le benchmark Cas traités Intercomparaisons des résulats Analyse physique des résultats Elements théoriques sur la localisation Analyse de la localisation Méthodes de régularisation

4. Critère Dissipation • Poro élasticité Poro plasticité La poroplasticité saturéeO. Coussy Mechanics of Porous Continua / Poromechanics WILEY & SON 2003 Énergie libre Plasticité Poro plasticité

5. Poroplasticité saturée (2) • Poroplasticité et contraintes effectives • On pose a priori : • Sur la partie élastique : • Hypothèse : • Cadre formel identique à plasticité : • Principe de Hill

6. Contrainte effective en poroélasticité non saturéeX. Château, L. Dormieux « Micromechanics of saturated and unsaturated porous media » IJ for numerical methods in geomechanics Vol 26 2002 • Prise en compte des interfaces par homogénisation Tenseur de localisation « sec » Population de sphères de rayon • Pression moyenne

7. Contrainte effective en poroélasticité non saturéeCoussy • Hypothèse 2 • +arguments dimensionnels • Interfaces dans écriture thermodynamique • Hypothèse 1 Avec

8. Couplage perméabilité endommagementL. Dormieux, D. Kondo « Approche micromécanique du couplage perméabilité-endommagement CRAS Meca 332 2004 élimination • Homogénisation auto cohérente de la perméabilité

9. Couplage perméabilité endommagement • Evolution ouverture fissure sous chargement hydro mécanique = + Perméabilité Fonction de • Mise en évidence d’un seuil de percolation

10. Couplage perméabilité endommagement +modèle Mori Tanaka • Croissance des fissures sous sollicitation isotrope • Résultat d’homogénisation : • Utilisation énergie potentielle :

11. Résumé des éléments théoriques • Justification de la formulation « en contrainte effective » du critère de plasticité • Justification de la contrainte utilisée en non saturé • Justification de la dépendance de la perméabilité à l’endommagement • Justification de la contrainte effective comme critère d’évolution de la perméabilité

12. Phénoménologies du comportement non linéaire des argilites intervenant dans le bench • Dilatance • Sous contrainte déviatorique le matériau se dégrade et son volume augmente • Perméabilité/endommagement • Au delà de la résistance de pic, le matériau rompt, et sa perméabilité augmente beaucoup (*10 000)

13. Le modèle mécanique Espace des contraintes effectives • Relation entre permeabilité et endommagement • avec Contraintes totales Contraintes effectives • Définition d’un domaine de réversibilité

14. Geometry and loading Y X • 1D : cylindrical cavity initial conditions : isotropic state of stress (-11.5MPa) water pressure (4.7 Mpa) • 2D : cylindrical cavity • initial conditions : anisotropic state of stress (-11.0MPa, -15.4MPa) water pressure (4.7 Mpa) • Radius of cavity : 3 meters • Horizontal length = Vertical length = 60 meters • Permeability : • excavation : 17 days consolidation : 10 years Hydraulic boundary condition on the galery : Prescribed pressure or seepage :

15. Benchmark : cases

16. Comparison of results : Similarities between teams • Good concordance for : • 1D cases • 2D perfectly plastic cases Similar curves for all the participants

17. Comparison of 2D softening results : Differences between teams

18. Comparison of results : Differences between teams No important differences of displacements at the end of excavation Differences on the curves appear. Still no oscillations

19. Comparison of results : Differences between teams Observation of important oscillations at 10 years on all curves : localisation phenomena Changing the mesh impact strongly short term results

20. Comparison of results: localisation of damaged zones Coupled modelling –Dripping condition – After 10 years – Shear bandings Coarse mesh Refined mesh • Observation of potential bands of localisation influenced by the mesh

21. Comparison of results : Non unicity After 17 days – Refined mesh – Shear bandings • Observation of potential bands of localisation influenced by resolution : • => Non unicity of the solution

22. A key issue for softening • Non linear equations admit several solutions • Any numerical variation can initiate different solutions : • choice of the initial value for Newton iterations • ( R. CHAMBON, J-C MOULLET " Uniqueness studies in boundary value problems involving some second gradient models ", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering vol.193 -2004) • choice of integrations points (new EDF results) • Results are mesh dependent • There is no convergence with respect to mesh refinement • Results of the benchmark indicates that hydro mechanical coupling provides no regularisation

23. Softening; 4 orders permeability variation; Dripping Perfectly Plastic; constant permeability Softening; 4 orders permeability variation; Unsaturated Perfectly Plastic; 6 orders permeability variation Softening; constant permeability Physical analysis : Displacements after 17 days • Biggest displacement for the biggest variation of permeability at the end of the excavation (after 17 days) • No major differences between the other cases

24. Perfectly Plastic; constant permeability Softening; 4 orders permeability variation; Unsaturated Softening; 4 orders permeability variation; Dripping Perfectly Plastic; 6 orders permeability variation Softening; constant permeability Physical analysis : Water Pressure after 17 days • Constant level value of water pressure near excavation for : • the biggest variation of permeability ( constant level Pw=0 ) • the unsaturated case • the case with dripping • Negative water pressure (< 10 Mpa) on the first meter • Strongly negative water pressure for the case with softening and • (due to damage with high dilatancy)

25. Softening; 4 orders permeability variation; Unsaturated Perfectly Plastic; constant permeability Softening; 4 orders permeability variation; Dripping Perfectly Plastic; 6 orders permeability variation Softening; constant permeability Physical analysis : Displacements after 10 years • Biggest displacement for the case with due to strong damage • No real evolution of displacements for perfectly plastic cases • No evolution for the unsaturated case because the water pressure is imposed to –5MPa during consolidation (boundary condition) • Important displacements for dripping case

26. Perfectly Plastic; constant permeability Softening; 4 orders permeability variation; Dripping Perfectly Plastic; 6 orders permeability variation Softening; 4 orders permeability variation; Unsaturated Softening; constant permeability Physical analysis : Water Pressure after 10 years • Water pressure most important for the perfectly plastic cases because the damage is weaker and the material is less dilated • With dripping condition water pressure remains negative • Unsaturated case with strong negative water pressure imposed

27. Biggest displacements (convergence) on the axis Y=0 • Softening, constant permeability, • Softening, variable permeability, dripping • Perfectly Plastic, constant permeability • Perfectly Plastic, variable permeability • Unsaturated, Pw < 0 imposed • Biggest water pressure on the axis Y=0 • Perfectly Plastic, constant permeability • Perfectly Plastic, variable permeability • Softening, constant permeability, • Softening, variable permeability, dripping • Unsaturated, Pw < 0 imposed Phenomenology after 10 years

28. Analysis of the influence of the de-saturation • 2 simulations with same hydraulic boundary condition Pw = -5MPA : • « non saturated » simulation : • « saturated » simulation : • Similar results after 10 years • No real influence of taking into account saturation in conservation equation • => Too low de-saturation (saturation never less than 0.9) • => Imposed negative water pressure influences results

29. Analysis of the influence of the others parameters • Adding dripping decreases strongly displacements on short time 2 sensitive • Increasing residual stress decreases displacements on long term parameters • Dripping positive aspect might vanish on very long term • Permeability variation : • influence the hydro-mechanical calculation • is not an important variable on a numerical point of view

30. Jour 17 Jour 9 2 mois 10 ans Zones de localisation selon critère de Rice Le critère de Rice est un indicateur qui permet d’identifier les zones potentielles de localisation (en rouge) et de déterminer leurs orientations Excavation Consolidation

31. Évolution de la perméabilité Couleurs des zones (17 jours) (1,5 an) (10 ans) La variation de la perméabilité est très importante (de 4 ordres) au piédroit de la galerie.

32. Global results • Good concordance between teams and softwares : • Good match for perfectly plastic cases • Differences when changing numerical resolution (initialisation, mesh…) for the same software • Lack of reliability of results due to local models • Incidence of hydraulic boundary conditions on damage. What is the physically « good » condition ? • Need of reliable regularized methods

33. Analyse de la localisationA. Benallal, C. Comi « On numerical analyses in the presence of unstable saturated porous materials » Int J for numericals methods in engineering Vol 56 2003 • Linéarisation autour de cette solution : • Recherche d’une perturbation solution du problème linéarisé homogène de la forme : • Condition d’existence d’une solution non nulle • Sur le problème discrétisé en temps Solutions des edp sur pas de temps Dt

34. Analyse de la localisation (2) • La solution dépend du pas de temps • Perte d’ellipticité : • Solution avec x->

35. Analyse de la localisation (3) • CAS 1 : singulier avant Bifurcation localisée • CAS 2 : singulier avant Bifurcation localisée ou diffuse • Perturbation du problème en vitesse • Loi associée -> CAS1

36. Quelques résultats de régularisationE.Lorentz, S. Andrieux « Analysis of non-local models through energetic formulations » Int J Solids and Structures Vol 40 2003 • Objectif : analyser les méthodes de régularisation selon 3 critères : • Un problème bien posé reste bien posé • Le cadre thermodynamique est préservé • La largeur des bandes de localisation a une borne inférieure

37. Quelques résultats de régularisation (2) • Le problème discrétisé en temps • Formulation énergétique

38. Choix de régularisation

39. Opérateurs de régularisation • Convolution • Pénalisation du gradient

40. Régularisations couplées et séparées • La coercivité de la fonctionnelle à minimiser nécessite la coercivité de • Mais • Remède : • Mais • Pas de régularisation • Pas de solutions à certains problèmes bien posés sans régularisation : p.ex.

41. Régularisations non couplées • En déformation En variables internes • Pas de minimisation sur variable régularisée La coercivité de R n’est plus requise • Mais