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運動制御工学

運動制御工学. 2012 年度後期 第 10 回. 前回までの話. ロボットの運動方程式の一般形. 一般化座標 慣性行列 非線形項（遠心力、コリオリ力など） 重力 外力（モータトルク，拘束力など）. 「リャプノフの意味で安定」とは. 非線形システム x を状態変数ベクトルとして. 平衡状態　 x e で. どんな ε >0 に対しても，　　　　　　となるような　　　　　　を満たす δ >0 が存在する．. このシステムは，「 リャプノフの意味で安定 」という. と言われても，訳が解らんので．．．．. 「リャプノフの意味で安定」とは.

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Presentation Transcript

  1. 運動制御工学 2012年度後期 第10回

  2. 前回までの話

  3. ロボットの運動方程式の一般形 一般化座標 慣性行列 非線形項（遠心力、コリオリ力など） 重力 外力（モータトルク，拘束力など）

  4. 「リャプノフの意味で安定」とは 非線形システム xを状態変数ベクトルとして 平衡状態　 xeで どんな ε >0に対しても，　　　　　　となるような　　　　　　を満たすδ >0が存在する． このシステムは，「リャプノフの意味で安定」という と言われても，訳が解らんので．．．．

  5. 「リャプノフの意味で安定」とは 非線形システム xを状態変数ベクトルとして 平衡状態　 xeで システムが「リャプノフの意味で安定」とは 数学的な厳密さは，とりあえず置いといて．．．． 初期値 x0からそれほど離れていない平衡状態 xeに対して任意の時刻の状態 x(t)が限りなく近づくこと．

  6. 局所漸近安定と局所指数安定 ●平衡点 xeが「局所漸近安定」 ●平衡点 xeが「局所指数安定」 　局所漸近安定で，かつ 数学的な厳密さは，とりあえず置いといて．．．． 局所漸近安定は，時間が十分経過すれば，システムの状態が xeに収束． 局所指数安定は，収束速度が指数関数で規定される．

  7. リャプノフの安定判別法 システム において，次の条件を満たすスカラー関数 V(x)が存在するとき， xeは局所漸近安定である． V(x) は時間で連続微分可能で， このような V(x)をリャプノフ(Lyapunov)関数という．

  8. x リャプノフの安定判別 k ばね定数 質量 m c 粘性係数 システムの運動方程式 マス・バネ・ダンパシステムの運動方程式

  9. マス・バネ・ダンパシステムの運動方程式を解くマス・バネ・ダンパシステムの運動方程式を解く 一般解 特性根は２実根 特性根は重根（実根） 特性根は複素根 実部は実指数関数 虚部は　振動成分

  10. マス・バネ・ダンパシステムの解の挙動 挙動は指数関数的（過減衰） 挙動は指数関数的（臨界減衰） 挙動は振動的（減衰振動） ω0=1 ζ= 1.2 ζ= 1.0 ζ= 0.707 Position [m] ζ= 0.3 Time [sec]

  11. リャプノフの方法 スカラー関数 Vを考える （力学的エネルギー） Vの運動方程式に沿った時間微分を考える 運動方程式から 時間変化率が負または零

  12. リャプノフの方法 V の時間変化率が負または零 しかし， 　　　では V の時間変化率が常に零になってしまう． では，Vは単調に減少し続ける． このシステムは明らかに安定であるにも関わらず， Lyapunov の意味で安定ではない，と判定されてしまう．

  13. ラ・サール(La Salle)の定理 システム において，次の条件を満たすスカラー関数 V(x)がxe近傍で存在するとき， xeは局所漸近安定である． 1. 2.V(x) は時間で連続微分可能で， 3. を仮定したとき，微分方程式の解が　　　　　　　 のみ

  14. 今日の話

  15. 演習問題 M(θ)= h= のとき，以下の計算結果を非線形項 hと比較してみよ．

  16. 演習問題

  17. 演習問題

  18. リャプノフ法による制御１ 重力補償のあるPD制御 一般化座標 慣性行列 非線形項（遠心力、コリオリ力など） 重力 外力（モータトルク，拘束力など） 上式で表されるマニピュレータを目標状態　　に整定させる問題を考える． このとき，次のような簡単なフィードバックで実現できることを La Salle の定理で証明する．KP,KD は対角正定とする．

  19. リャプノフ法による制御１ 重力補償のあるPD制御 (1)(2)式を組み合わせて， Lyapunov関数の候補として，次の関数を定義する． 時間微分すると， ここが問題 明らかに負または 0

  20. リャプノフ法による制御１ 重力補償のあるPD制御 の関係があるので，

  21. ここから板書します！

  22. 非線形制御（非線形フィードバック） 状態変数：関節角度 運動方程式 非線形フィードバック制御則の例 閉ループ系の特性 Lyapunov関数

  23. 非線形制御例（非ホロノミック制御） 宇宙機（宇宙ロボット）の姿勢制御 運動アニメーション 技術試験衛星７号（ＥＴＳ－７） （オリヒメ・ヒコボシ）ＪＡＸＡ

  24. 非線形制御例（非ホロノミック制御） 宇宙機（宇宙ロボット）の姿勢制御 ホイール（円盤）を回転させる反動トルクで姿勢を制御する リアクションホイール（JAXA) リアクションホイール 姿勢角（θ1,θ2,θ3）　制御変数：２（ホイール２個） Lyapunov関数 制御則 Urakubo, Tsuchiya and Tsujita, 2001 RCS スラスタ（JAXA)

  25. 演習問題 簡単な倒立振子問題を考える． 運動方程式は， のとき，線形化して， 二式を組み合わせて，次式を得る． フィードバック制御則として， を適用した時 Lyapunov 関数を構成し，系の安定を証明せよ．

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