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相似三角形的判定（ 4 ）

相似三角形的判定（ 4 ）. A. A ´. C ´. B ´. C. B. 问题引入：. 观察两副三角尺，其中同样角度（ 30° 与 60° ，或 45° 与 45° ）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？. 已知：在△ ABC 和△ A´B´C´ 中 , ∠A=∠A', ∠B = ∠ B'. 求证： ΔA'B'C' ∽ ΔABC. A. A ´. C ´. B ´. C. B. 判定定理： 如果一个三角形的 两个角 与另一个三角形的 两个角 对应相等 ，那么这两个三角形 相似 。.

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相似三角形的判定（ 4 ）

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Presentation Transcript

  1. 相似三角形的判定（4）

  2. A A´ C´ B´ C B 问题引入： 观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 已知：在△ABC 和△A´B´C´中, ∠A=∠A', ∠B=∠B' 求证： ΔA'B'C'∽ΔABC

  3. A A´ C´ B´ C B 判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 两角对应相等，两三角形相似。 用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

  4. 基础演练 A’ A A D E C C’ B C B B’ B A A C A’ D C’ B C B’ E 1、下列图形中两个三角形是否相似？ (2) (1) (4) (3)

  5. 基础演练 2、根据下列条件,判断△ABC和△A’B’C’是否相似,并说明理由: (1)∠A=35°,AB=12cm,AC=15cm, ∠A’=35°,A’B’=36cm,A’C’=45cm, (2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm, A’B’=20cm,B’C’=25cm,A’C’=40cm. (3)∠A=105°, ∠B=15°;∠A’=105°, ∠B’=15°

  6. 例题讲解 A D P ▪ O B C 如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P, 求证:PA ▪ PB = PC▪PD

  7. 变式：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P， 结论PA ▪ PB = PC▪PD 还成立吗？ O

  8. 1、判断题： ⑴ 所有的直角三角形都相似 .（ ） ⑵ 所有的等边三角形都相似. （ ） ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似.（ ） ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .（ ） 练习 底角相等 顶角相等 顶角与底角相等 × √ √ ×

  9. A A' B' B C C' 顶角相等 第一种情况 ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

  10. A A' B' B C C' 底角相等 第二种情况 ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

  11. A A' C' B' B C 顶角与底角相等 第三种情况 两三角形不相似

  12. A D E B C 2.已知DE ∥BC 且∠1=∠B ，则图中共有 对相似三角形。 4 1 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC ∵∠EDC=∠DCB， ∴△ADE∽△ABC ∵∠1=∠B ，∠A=∠A 又∵∠1=∠B ∴△ACD∽△ABC ∴△DEC∽△CDB ∴△ADE ∽△ACD

  13. 3、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C 求证：DA·AC=AB·AE 证明： ∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AC :AE=AB :AD ∴DA · AC=AB · AE E D A C B

  14. E D A 将△DAE绕A点旋转 B C A D E B C 4.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA， 求证：∠E=∠C 如何证明∠DEA＝∠C？

  15. A D C B A D E C B 5.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8，求AB 解：∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4

  16. B A D C A D C B 6、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ 解： 图中有三个直角三角形，分别是： △ ABC、 △ ADB、 △ BDC △ ABC ∽ △ ADB ∽ △ BDC

  17. 如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= A D C B 18

  18. 相似三角形判定方法 1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等； 2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。 4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。 5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。

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