空间向量与立体几何整合的设计

空间向量与立体几何整合的设计 赵小平 xpzhao@math.ecnu.edu.cn

1、意义 • 空间几何的教学目标 (1)空间想象 (2)空间表达 (3)空间推理 • 解决空间推理问题增加一种的方法 • 演绎法特点：各问题特定的演绎路径 • 计算法特点：通用性强

1、意义 例二面角的大小；异面直线的距离。

一、意义 • 向量是现代数学的表现形式： • 简约有效用途广泛 • 特别是二维向量、三维向量 (1)具有方向、长度、夹角的几何特性 (2)具有坐标和运算的计算特征。

2、实践基础 • 向量在一期课改中的尝试 • 第八章空间直线、平面（完整版） • 第九章多面体 • 第十章向量初步：（向量的概念、运算、坐标、应用）试验效果良好

3、改革目标 • 向量与中学几何课程全面整合 • 在平面几何中启蒙 • 在解析几何中初步应用 • 在立体几何中成为主要工具

4、课程规划 • 平面几何阶段 • 向量第一次出现（初中平行四边形） 1）定义向量的概念（几何）。 2）定义与向量有关的概念。 3）定义向量的加法和运算法则。 4）向量加法的运算律、向量的减法。

4、课程规划 • 向量第二次出现（在初中相似形） 1）定义实数与向量的乘积。 2）向量数乘的运算律。 3）数乘运算与平行向量的关系。 4）向量的线性运算在平面几何中的应用

4、课程规划 教学要求 • 平面几何的教学目标基本不变。 • 向量的渗透不影响平面几何原有知识体系。 • 向量方法不是平面几何思想方法的主体，只是辅助。 • 以平面几何为平台，让向量的知识崭露头角。

4、课程规划 • 平面解析几何阶段 • 向量第三次出现（在高中解析几何前） 1）向量的坐标。 2）向量运算的坐标表示。 3）向量的数量积及其坐标表示。 4）向量平行或垂直的充要条件的坐标形式。 5）向量在几何中的应用。

4、课程规划 • 教学要求（1）为解析几何中运用的坐标法打基础（2）为向量运用于解析几何做好准备

4、课程规划 • 向量第四次出现（在高中直线方程） 1）定义直线的方向向量和法向量。 2）直线的点方向式方程和点法向式方程。 3）建立两直线夹角的计算公式 4）向量在解析几何中的应用 • 教学要求向量方法是基础方法之一，可独立使用。

4、课程规划 • 立体几何阶段 • 向量第五次出现（空间向量及其应用） 1）空间向量及其运算； 2）空间向量及其运算的坐标表示； 3）定义直线的方向向量和平面的法向量； 4）空间距离和夹角的计算 5）平面、直线位置关系的证明改造原立体几何的演绎方法

5、教材设计（高中） • 空间直线、平面基本知识（第14章） • 基本元素 • 基本位置关系（432） • 基本度量关系 • 简单几何体（第15章） • 空间基本知识的简单应用 • 体积、表面积的计算

5、教材设计（高中） • 空间向量及其应用距离、角的计算位置关系的证明方法：应用直线的方向向量和平面的法向量 • 线线角、线面角、面面角→→两个向量的夹角 • 距离→→两个对象上任意两点的连接线段在公共法向量上的投影 • 平行、垂直的证明→→角度计算问题

6、技术处理 • 立体几何：综合法到向量法的过渡 • 回顾解析几何 • 运用到直线的垂线互相平行；平行直线的垂线互相平行；平面等角定理……

6、技术处理 • 过已知点A,且平行于平面M的平面可确定。需运用到性质：一个平面的垂线相互平行；平行平面的垂线相互平行；一个平面垂线的平行线也是该平面垂线；一个平面的垂线也是其平行平面的垂线。 • 上述性质用到立体几何知识 • 两难境地

6、技术处理 • 解决方案： • 设计三个基础命题作为过渡 1. 两条直线平行（含重合）的充要条件是它们的方向向量平行 2. 直线和平面平行（含在上）的充要条件是它们的方向向量与法向量垂直 3. 两个平面平行（含重合）的充要条件是它们的法向量平行

6、技术处理 • 三个基础命题的特点 • 显然 • 对称 • 够用 • 便利 • 三个基础命题的证明（见高三理科教学参考）

6、技术处理 • 涵盖了原立体几何的全部命题 • 先后设计了多套方案：几何型的（立体几何不能精简）向量型的（缺乏几何直观）交叉型的（头绪较乱） …… • 策略：省略证明，直观感知，实践确认。

6、技术处理 • 呈现顺序 • 空间直线与平面（432系统）（最简单的立体几何基础） • 空间向量（坐标、运算）（向量化基础） • 三个基础命题（明确说明不加证明、直观确认） • 用空间向量解决空间几何问题

6、技术处理 • 教材对“省略证明”的说明 “自从古希腊的数学家和哲学家们把逻辑演绎的思想方法引进了数学后，演绎推理和公理化成为数学方法的基础之一，但是严格的公理化要求，仅从少数几个定义和公理出发，逐步演绎出所有的结论往往是件费时的工作。在本章中，为了研究空间直线、平面的有关问题，我们先给出三个真命题，并称他们为基础命题，对这三个基础命题，我们省略了对它们的演绎证明，只通过直观感知和实践验证来确认其正确性。”

6、技术处理 • “省略”，而不是“不能证明” • 避免“费时”，而不是证明“不重要”，有依据地推理仍然是数学的特征 • “确认正确性”也可以通过“直观感知和实践验证” • 目的是“解决空间问题” • 开宗明义地说明“省略了证明” 。

6、技术处理 • 课本中关于平行向量的代数表示： • 向量平行的讨论可以包含零向量，因为零向量与任何向量都平行。

6、技术处理

命题2 两个向量平行的充要条件是存在 不全为零的实数m、n，使。 “ 不全为零向量”放宽为“ 是任意向量”，当时，都不能表示，改用两个实数表示：。表达式不唯一。命题2的表达式涵盖了命题1和命题*的情形。 6、技术处理

6、技术处理 • 限定“非零” 的原因：（1）向量的 “工具”角色尽量简练（2）凸现平行向量的代数性质（3）现阶段几何问题中只研究有形对象

6、技术处理 • 向量分解唯一性的处理 • 重点在单位正交基 • 平面向量：用作图法说明分解的存在性，“混”出分解的唯一性（高二（1）P.66第4、7行）

6、技术处理

6、技术处理 • 空间向量：用练习让学生体会分解的存在性和唯一性（高三（理科）P.39、P.41、P.45）（1）例2 向量可表示为其他几个向量的和，表达式不唯一（2）练习3.1第1题（一般基）体会：基确定后，表达式唯一（3）定义空间向量的坐标（单位正交基）由空间点坐标的确定性，导出向量分解的确定性。

则。不都适用 6、技术处理 • 可能存在缺陷：性质和公式在不同基下的适用性问题

2010年五所高校（清华、上海交大、中科大、西安交大、南大）联合招考问题2010年五所高校（清华、上海交大、中科大、西安交大、南大）联合招考问题 2009年高考上海市理科数学试题有关问题

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