第七章线性变换

线性变换的定义 • 线性变换的运算 • 线性变换的矩阵 • 特征值与特征向量 • 对角矩阵 • 线性变换的值域与核 • 不变子空间 • 若当标准形简介 • 最小多项式第七章线性变换

线性变换的定义一、线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间，若变换满足：则称　为线性空间V上的线性变换.

二、线性变换的简单性质 1．为V的线性变换，则 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若则 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组. 即若线性相关，则也线性相关. 注意：3的逆不成立，即线性相关，未必线性相关.

线性变换的运算一、线性变换的乘积 1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为：则　也是V的线性变换. ２．基本性质（1）满足结合律：（2）　　　　　　，E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，

二、线性变换的和 1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：则也是V的线性变换. 2．基本性质（1）满足交换律：（2）满足结合律：（3） 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律： 3．负变换设　为线性空间V的线性变换，定义变换　　为：则　也为V的线性变换，称之为　的负变换.

三、线性变换的数量乘法 1．定义设　为线性空间V的线性变换，　　　定义 k 与的数量乘积　为：则　也是V的线性变换. 2．基本性质

四、线性变换的逆 1．定义设　为线性空间V的线性变换，若有V的变换　使 ,则称　为可逆变换，称　为　的逆变换，记作 2．基本性质 (1) 可逆变换　的逆变换　　也是V的线性变换. (2)线性变换　可逆　　线性变换　是一一对应. (3) 设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V的线性变换，则　可逆当且仅当线性无关. (4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.

五、线性变换的多项式 1．线性变换的幂设　为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义称之为　的n次幂. 当　　　时，规定　　　（单位变换）. 注： ① 易证 ② 当　为可逆变换时，定义　的负整数幂为 ③ 一般地， 2．线性变换的多项式设为V的一个线性变换，则也是V的一个线性变换，称　　为线性变换　的多项式.

　线性变换的矩阵一、线性变换与基 1．设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V的线性变换. 则对任意　　　存在唯一的一组数使 ,从而， 2．设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V的线性变换，若则 3．设　　　　　是线性空间V的一组基，对V中任意n个向量都存在线性变换　使由2与3即得定理: 设　　　　为线性空间V的一组基，对V中任意n个向量　　　　　　存在唯一的线性变换　 ,使

二、线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵设　　　　　为数域P上线性空间V的一组基，为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为其中矩阵A称为线性变换　在基　　　　　下的矩阵.

二、线性变换与矩阵(续1) 2．线性变换运算与矩阵运算定理: 设　　　　为数域P上线性空间V的一组基，在这组基下，V的每一个线性变换都与　　中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象定理: 设线性变换　在基　　　　下的矩阵为A, 在基　　　　　下的坐标为在基　　　　　下的坐标为　则有

二、线性变换与矩阵(续2) 4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系定理: 设线性空间V的线性变换　在两组基　 (Ⅰ) (Ⅱ) 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡矩阵是X，则

三、相似矩阵 1．定义设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆矩阵使得则称矩阵A相似于B，记为 2．基本性质（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： ② 对称性： ③ 传递性：

三、相似矩阵（续） • （2）定理: 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它 • 们可以看同一线性变换在两组基下所对应的矩阵. • （3）相似矩阵的运算性质 • ① 若则 • 即， • ② 若则 • 特别地，

特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义：设　是数域P上线性空间V的一个线性变换，若对于P中的一个数　　存在一个V的非零向量使得则称　为的一个特征值，称　为　的属于特征值的特征向量.

设是V的一组基，线性变换　在这组基下的矩阵为A. • 若　是　的特征值，则 • 反之，若　　　满足则齐次线性方程组　　　　　　　有非零解. • 若　　　　　　　是　　　　　　　一个非零解， • 则向量　　　　　　　　　就是　的属于　的一个特征向量. • 特征多项式的定义 • 设　　是一个文字，矩阵　　　称为A的特征矩阵，它的行列式 • 称为A的特征多项式. • 2. 求特征值与特征向量的一般步骤 • i) 在V中任取一组基写出在这组基下的矩阵A . • ii) 求A的特征多项式在P上的全部根,它们就是　的全部特征值. • iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 , 并求出它的一组基础解系. 二、特征值与特征向量的求法

二、特征值与特征向量的求法（续） 如果特征值　对应方程组的基础解系为：则是属于特征值　的全部线性无关的特征向量. 而（不全为零）就是　的属于　的全部特征向量.

三、特征子空间 定义:设为n维线性空间V的线性变换，　为的一个特征值，令　为　的属于　的全部特征向量再添上零向量所成的集合，即 .则　是V的一个子空间, 称之为　的一个特征子空间.

四、特征多项式的有关性质 1. 设　　　　　　　则A的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得 ① A的全体特征值的和＝ ② A的全体特征值的积＝ 2. 相似矩阵具有相同的特征多项式. 3.哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理设为A的特征多项式, 则 4. 设　为有限维线性空间V的线性变换，　　是的特征多项式，则

对角矩阵一、可对角化的概念 定义1: 设是 n维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换　可对角化. 定义2: 矩阵A是数域上的一个n级方阵. 如果存在一个上的n级可逆矩阵，使为对角矩阵，则称矩阵A可对角化.

二、可对角化的条件 • 定理:设为 n维线性空间V的一个线性变换，则可对角化 • 有 n个线性无关的特征向量. • 2. 定理: 设为n维线性空间V的一个线性变换, 如果分别是的属于互 • 不相同的特征值的特征向量，则线性无关. • 3. 推论: 设　为n 维线性空间V的一个线性变换，如果的特征多项式在数域 P 中 • 有n个不同特征值，则可对角化. • 4.设　为n维线性空间V的一个线性变换，若在某组基下的矩阵为对角矩阵 • 则 1）的特征多项式就是 • 2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是　的全部特征 • 根(重根按重数计算).

线性变换的值域与核一、值域与核的概念 定义:设是线性空间V的一个线性变换，集合称为线性变换的值域，也记作　　　或集合称为线性变换　的核，也记作皆为V的子空间. 定义: 线性变换　的值域　　的维数称为　的秩；的核的维数称为的零度.

二、有关性质 1. 定理:设　是n维线性空间V的线性变换，是V的一组基，　在这组基下的矩阵是A，则 1）的值域是由基象组生成的子空间，即 2）的秩＝A的秩. 2. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则的秩＋　的零度＝n , 即 3. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则 ⅰ) 　是满射 ⅱ) 　是单射 4. 设　为n 维线性空间V的线性变换，则是单射　是满射.

不变子空间一、不变子空间 1、定义: 设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若有 ,则称W是　的不变子空间，简称为－子空间. 2、不变子空间的简单性质 1）两个　－子空间的交与和仍是　－子空间. 2）设　则W是－子空间

二、线性空间的直和分解 定理:设为线性空间V的线性变换，是的特征多项式. 若具有分解式：再设则　都是　的不变子空间；且V具有直和分解：

若当标准形简介 定义：形式为的矩阵称为若当(Jordan)块，其中为复数；由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵. 若当(Jordan)标准形 1、设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换，在V中必存在一组基，使　在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由唯一决定，称之为　的若当标准形. 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形. 3、在一个线性变换　的若当标准形中，主对角线上的元素是　的特征多项式的全部根（重根按重数计算）.

最小多项式一、最小多项式的定义 定义：设在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式.

二、最小多项式的基本性质 1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 2.设　　是矩阵A的最小多项式，则以A为根 3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子. 4.相似矩阵具有相同的最小多项式. 5.设A是一个准对角矩阵并设的最小多项式分别为 . 则A的最小多项式为的最小公倍式.

二、最小多项式的基本性质（续） 6.级若当块的最小多项式为 7.与对角矩阵相似的最小多项式是P上互素的一次因式的积. 8.　　　　与对角矩阵相似的最小多项式没有重根.

第七章 线性变换