第三讲 电流与电路
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第三讲 电流与电路. 一、电流强度与电流密度. 电荷的定向运动形成电流,电流强度即单位时间内通过导体任一根截面的电量。设在时间间隔 D t 通过某一根截面的电量为 D Q , 则电流强度为. 1.电流强度. I.  S 0. n 0. 2.电流密度. 为给出电流密度的定义,考虑导体中某一给定点 P, 在该点沿电流方向作一单位矢量 n 0 , 并取一面元 D S 0 与 n 0 垂直,设通过 D S 0 的电流强度为 D I, 则定义 P 点处电流密度的大小为. 电流密度的单位为安培/米 2 ( A·m - 2 ) 。. 电流强度与电流密度之间的关系为:.

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Presentation Transcript

一、电流强度与电流密度

电荷的定向运动形成电流,电流强度即单位时间内通过导体任一根截面的电量。设在时间间隔Dt通过某一根截面的电量为DQ,则电流强度为

1.电流强度


I

S0

n0

2.电流密度

  • 为给出电流密度的定义,考虑导体中某一给定点P,在该点沿电流方向作一单位矢量n0,并取一面元DS0与n0垂直,设通过DS0的电流强度为DI,则定义P点处电流密度的大小为

  • 电流密度的单位为安培/米2(A·m-2)。


通过导体任一有限截面DS的电流强度为:


3.电流连续性

  • 导体中的电流线只能起、止于电荷随时间变化的地方,在电流线的起点附近的区域中,会出现负电荷的不断累积;而在电流线的终点的附近的区域中,会出现正电荷的不断积累。对于电荷密度不随时间变化的地方,电流线既无起点又无终点,即电流线不可能中断。

  • 由于稳恒电流的电流密度不随时间变化,如果存在电流线发出或汇聚的地方,那么这些地方电荷的增加或减少的过程就将持续进行下去,这必将导致这些地方正电荷或负电荷的大量积聚,从而形成越来越强的电场,电场将阻碍电荷的继续积聚,电流将消失。


  • 即,任何时刻进入封闭曲面的电流线的条数与穿出该封闭曲面的电流线条数相等,在电流场中既找不到电流线发出的地方,也找不到电流线汇聚的地方,稳恒电流的电流线只可能是无头无尾的闭合曲线。这是稳恒电流的一个重要特性,称为稳恒电流的闭合性。


二、欧姆定律对于真正的稳恒电流,必须不存在这种电荷不断积聚的地方。

1.欧姆定律的两种形式

金属中的电流密度j与该处的电场强度E成正比,即

比例系数s称为金属的电导率,是电阻率的倒数。



D稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为S

j

Dl

对一段导体,有


[例题稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为]截面积为S,长为L的圆柱形电阻器如图所示,电流从x=0端面均匀地流入,x=L端面均匀流出。设电阻器的电阻率分布为:

求该电阻器的电阻。


[解]稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为从x到x+Dx任意一小段的电阻为:

总电阻为:


[例题]稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为电荷量Q均匀地分布在半径为R的球体内,这球以均匀角速度w绕它的一个固定直径旋转。求球内离转轴为r处的电流密度j。

[解]在包括转轴的一个固定平面内,离转轴为r处,设想一个面积元DS。该面积元绕转轴转动划出一个体积为2prDS的环带,电荷量为:

电流为:


于是稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为r处的电流密度的大小为:

考虑到方向,便有:


[稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为例]零电阻是超导的一个基本特性,但在确认这一事实时受到实验测量精度的限制. 为了克服这一困难,最著名的实验是长时间检测浸泡在液态氦(温度T=4.2K)中的超导态的用铅丝做成的单匝线圈(超导转换温度为Tc=7.19K)内的电流变化. 设铅丝粗细均匀,初始时通有I=100A的电流,电流检测仪器的精度为DI=1.0mA, 在持续一年的时间内没有检测到电流的变化.根据这个实验,试估计超导态铅的电阻率为零这一结论的上限?

(设铅中参与导电的电子数密度为n=8.00×1020/m3, 电子质量m=9.11×10-31kg, 基本电荷e=1.60×10-19C)


[稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为解]设电阻为R, 如果电流有衰减, 则电流通过线圈发热而损失的能量为:

由于一年内电流没有变, 表示变化没有超过仪器的精度,即DI=1.0mA, 由于n不变, 一年内v的变化为:


平均速度变小稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为,导致动能变小:


[稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为例]求半径为a, b的同心球形导体之间的电阻, 设导体之间充满电导率为s的物质.


[稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为解]设在内外球之间加一电压(内球电压高), 则有电流通过内球流到外球, 设内球带电量为Q, 由高斯定理:

流出的总电流为:


[稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为例题]一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电介质, 而物理学家在另一半空间里工作。他们在平面上画出一个边长为a的正方形的轮廓, 并用精细的电极使一电流I0在正方形的两个相邻角, 一个流入,一个流出。同时, 他们测量另两个角之间的电势差V。如图所示。问物理学家们如何用这些数据来计算均匀介质的电阻率?


稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为用叠加原理。

分别讨论流入和流出两种情况。令 A 为电流 I0流入的点, B为邻近的电流流出的点。电势差V在另外两个点 (C 和 D) 间测量 , 如图所示。

如果电流I0在点A引入(流向无穷远处的电势零点), 它会在充满介质的一半空间里以球对称分布 (半球形), 即距 A 点半径为 r 的处 , 电流密度 j 的为:

根据欧姆定律有:


稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为势 ( 以及电势差 ) 可以用一个简单的类比就可以得到。一个点电荷的电场反比于r2, 此它的电势反比于r, 两个比例系数是相同的 (分别为 E=kq/r2和 V=kq/r) 。这意味着上面式子确定的电场强度所对应的电势场为:

越是靠近电流流入电极的点, 它的电势就越高。因此点D和C的电势分别为:


所以,电势差为:稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为

同理,我们来讨论电流I0流出点B。

和前面的情形几乎完全一样, 除了各个量(电流、电流密度、电场强度和电势)的符号要反号。在所考查的半空间里, 电势表示为函数

其中r’是离点B的距离。点C的电势低于点D的电势 , 即点D又比点C高。两点之间的电势差与前面相同。


如果把前面两种情形叠加, 我们又回到了开始的问题, 点 C 和点 D 间的电势差正好是前面值的两倍, 即

因此 , 此问题的解为:

这个方法在实际生活中也有广泛运用, 例如来确定岩石的平均电阻率。 测量工作自然不是在无穷大的半空间内进行, 但是的确是在体积和平面的尺度都远远大于正方形的边长a的情况下。


2. 我们又回到了开始的问题, 点 电流的功和功率焦耳定律

  • 电流通过导体时,电场对电荷做功。电场做的功即电流的功率为:

  • 电场作的功将转变成其他形式的能量。电场所作的功为:

  • 单位体积的导体内的电功率称为电功率密度。若用p表示电功率密度,则由欧姆定律的微分形式,可得:


三、基尔霍夫定律 我们又回到了开始的问题, 点

1.基本概念

  • 支路:两个相邻节点间,由电源和电阻串联而成的且不含其他它节点的通路。通过支路的电流叫支路电流;支路两端的电压叫支路电压。

  • 节点:在电路中,三条或三条以上导线相交在一起的点。


  • 独立回路: 我们又回到了开始的问题, 点 各回路不相重合,即每个回路至少有一条其它回路所没有的支路。独立回路数目减1正好等于支路的数目减去节点的数目。

  • 回路:起点和终点重合在一个节点的环路。

或N个节点P条支路,

独立回路数目为

P-N+1


2.基尔霍夫方程 我们又回到了开始的问题, 点

  • 基尔霍夫第一方程

对电路中每一个节点,有的电流流入节点,有的电流自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件,流入支点的电流应等于流出支点的电流,因此,对于每一个分支点,有

在求和时,流入节点的电流用“-”号,流出节点的电流用“+”号,这就是基尔霍夫第一方程,其实质就是稳恒电流情况下的电荷守恒定律。


  • 我们又回到了开始的问题, 点 N个节点,可列出N个电流方程,可以证明,只有N-1个方程是独立的。其中一个方程可用其余N-1个方程组合得到。

  • 基尔霍夫第一方程适用于电路的节点,也可以把它推广到电路的任一个假想封闭面。

对虚线所示的封闭曲面,有



基尔霍夫第二方程若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:

  • 对于复杂电路中任一闭合回路,沿闭合回路绕行一周,回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和,这一结论称为基尔霍夫第二方程。

  • 正负号取法如下:

  • 先任意假定绕行方向,当绕行方向经电源内部由正极指向负极时,e取正号,反之取负号。当绕行方向与电流方向一致时,取正号,反之取负号。


  • 若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:N个节点,又N-1个节点方程,

  • P条支路,可有 P-N+1 个第二方程组,即:

  • 由第一和第二方程,一共可得到

  • 个方程,由此可解出P条支路上的电流。


3.叠加原理若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:

在具有几个电动势的电路中,几个电动势共同在某一支路中引起的电流,等于每个电动势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:例题]有若干个电阻构成如图所示的电路, 其中A 和 B 两点的接地电阻是固定不动的. 输入电压V1 ,V2 … ,Vn 仅取 1V 或 0V 两个值, 0V 表示接地. 试问B点的最大输出电压是多少 ?


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:解] 电路可等效为下图 所示的电路, 其中 B 和 C 之间的电压UBC即为所求的输出电压。将 BC 支路的电流为 IBC, 则有:

设电源ek单独存在时,BC支路的电流为IBC(k), 则由基尔霍夫方程组的线性特征可知应有:


有当若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:ek单独存在时,BC支路的电压为:

问题便简化为确定ek单独存在的BC支路的电压 UBC( k ).


类似地有:若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:


所以,综上所述,有:若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:

由于ek只能取0和1,显然, 当各e均取1V时, UBC达到极大值, 为:

这就是B点的最大输出电压。


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:例题]如图是一电桥电路,R1、R2、R3和R4的是四臂的电阻,G是内阻为Rg的电流计,电源的电动势为e,并忽略其内阻,求通过电流计G的电流Ig与四臂电阻的关系。


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:解]该桥式电路由4个节点和6条支路组成,可列出3个节点方程和3个回路方程,共6个独立方程。

简化后,得到三个方程组:


其中若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:Dg和D分别为:

采用行列式法解该方程组,则 :


若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:Ig=0,则Dg必为零,由此必有:

桥式电路可以用于测量电阻,若R3为可变电阻,R2/R4的比值一定,则通过调节R3,使Ig=0,由上式就可求得R1。


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:拓展题]求三个电容器上的电量.


  • 无电阻器与之串接的电源称无伴独立电源。

  • 在网络中,位于任一对节点j-k间的一个无伴独立电源,既可转移到与节点j相连的所有支路中与各电阻串接,也可转移到与节点k 相连的所有支路中与各电阻串接,原j-k 间的无伴独立电压源支路短接。转移后的各独立电压源与原无伴独立电压源具有相同的极性。


反之亦然若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:


四、 复杂电路电阻计算法若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:

1. 电流叠加法

无限对称网络的电阻计算,常常采用电流叠加法。


[例]若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:一立方体,每边的电阻都为R,求对角线之间的电阻。

[解]对A点, I=3I1

对C点,I1=2I2

所以


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:解]由对称性和叠加原理

A点送入I安培,则

[例]一个无限延展的矩形线圈平面网络,求任意相邻两点间的电阻。

B点取出I安培,则

两者相加,有

所以


  • 若把若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:AB间的电阻r去掉,则AB间的电阻为多少?

  • 若把AB间的电阻换成R,则AB间的电阻为多少?

  • 若把所有电阻换成电容C,则AB间的等效电容是多少?


R若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:ab=r/3

Rab=2r/3


[若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:拓展题]无限大六角形网络, 每边电阻为r, 求:

(1)ab之间电阻;

(2)如果电流从a流入, 从g流出, 求de段的电流.


=若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:

+


b,d若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:关于a点对称,

同理, 电流I从g点流出, 则类似的分析, 有:


[例题]若两个网络系统只有一条导线连接,则根据基尔霍夫第一方程就有:电阻丝网络如图所示,每一小段的电阻均为R.试求A,B之间的电阻。

[解]对于从A端流入,从B端流出的电流流动方式,这个网络并不具有直观的对称.

然而,根据电流的叠加性.可以把图(1)中电流I从A流入,从B流出的方式,看作是图(2)中电流I从A流入从O(网络中心)流出的方式 。与图(3)中电流I从O流入,从B流出的方式的叠加.


由于后两种电流流动方式都具有对称性,从而把原来看似不具有对称性的问题,转化成具有对称性的问题,使之便于求解.

图(2)电流I从A流入,从O流出.因对称地分流,从A到C的电流应为:


又因对称, 由于后两种电流流动方式都具有对称性,从而把原来看似不具有对称性的问题,转化成具有对称性的问题,使之便于求解.E和B应等势,故图(2)BDE部分无电流.I’1在C点分流,由两部分电阻的3:1关系,可知图(2)中的I’2应为:

图(3)中,电流I从O流入,从B流出。利用对称性,不难算出(过程从略)其中的电流I’’1与I”2分别为:


上述两种电流分布叠加,构成如图(1)所示的电流。由叠加原理,有:上述两种电流分布叠加,构成如图(1)所示的电流。由叠加原理,有:

所以


[上述两种电流分布叠加,构成如图(1)所示的电流。由叠加原理,有:思考题]求下图AF之间的电阻.


推广的电流叠加法上述两种电流分布叠加,构成如图(1)所示的电流。由叠加原理,有:

如右图所示,电流I从金属球壳A电流入,B点流出。求任意一点C的电流面密度。这个问题用传统的电流叠加法是不能求解的。需要更基本的电流叠加原理。


由于电流本质上是运动的电荷,我们可以通过电荷的分布来求出电流的分布。

在上面的问题中,可先让电流从A电流入,于是电荷会在球壳表面上均匀分布。流过C的电荷实际上就是过C点的纬线下部的电荷量。同样电荷从B流出时流过C处的圆环的电荷实际上就是此圆环左边的电荷量。这样有了电荷的分布,电流面密度就能求出来。


由于电流本质上是运动的电荷,我们可以通过电荷的分布来求出电流的分布。C点相对A在纬度为60的位置 , 流过该纬度的电量为:

则C点相对B点的纬度就为30 , 流过该纬度的电量为:


一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。

2.对称法

对称性电路,在接入电源后,往往可以找到由对称性带来的等势点。使问题简化。


[ 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。例]24个相同的电阻r,联结成每边三个电阻的正方格子,试求对角a,b间的电阻Rab。

[解]ab间加电压,由对称性,m、n两点的电势相等,e,f,g,h四点的电势相同,p,q两点电势相同,故可以连接起来,变成右图,


[例题] 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。3个完全相同的金属电阻圈,正交地连接成如下图所示的形状,若每只金属圈的电阻为R,求AB两点之间的等效电阻。

[解]整个网络对AB所在的平面具有对称性,上下两部分可以变为并联的两部分。


进一步,( 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。b)图对O点具有对称性,故可以简化为(c)图。


所以 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。


[例题] 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。如图所示的电阻网络,每一段的电阻为r,求AB的等效电阻和MN之间的等效电阻。

[解]本题的对称性十分明显,求RAB时,电路简化成右图。


一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。MN之间的电阻,可把电路进一步简化成右图。


[ 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。例]图示网络中,每条支路R=1,

求等效电阻Rab


[ 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。例]n个端点,每2个端点之间用相同的电阻连接, 求任2个端点之间的等效电阻。


考虑端点 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。1和2,电流从1流入,从2流出。


一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。1)式*2和(2)中n-2个相加:


[ 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。例]某电路有8个节点,任意2个节点之间的电阻为2W,在任意2个节点之间加上10V电压.求总电流,各支路电流以及电流消耗的总功率.


由对称性 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。, 3,4,5,6,7,8各点之间无电流

R12=0.5W, I=20A, P=200W, I12=I/4=5A, 其余相同I13=2.5A


[ 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。拓展题]由电阻均为R的电阻丝组成正二十面体框架.现将其中相邻节点A,B间的电阻丝拿走,求这两个节点之间的电阻RAB.


一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。20面体有12个节点.

每个节点连接5根导线.


A 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。点流入电流:

B点亦流出的电流:

AB之间的直接导线上有I/5+I/5=2I/5的电流.


[ 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。例题] 二端无限梯形电阻网络如图所示,它由K个相同的网络元中接而成,每个网络元包含三个相同的电阻R.计算图中A、B两点之间的等效电阻RAB。先设x个网络元组成二端网络.其等效电阻记为RK,再连接一个网络元,其等效电阻记为R K+l设法找出R K+l与RK之间的递推关系.最后令K , R K+l和RK都是所求电阻RAB 。


一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。

当K时,

所以,方程为:


显然 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。R不能取负号。

所以:


二端无限电容网络,电容均 一个无源电阻网络,经某种操作(如旋转、反射等),所得的网络与原网络相同,则称原网络在这些操作下具有对称性。C.求图中A、B两点之间的等效电阻CAB。

由倒数电容法和上题结果,有:


[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为r,求AB间的等效电阻。

把网络分解成三部分,MM’左边,NN’右边和中间部分。


这样,两边就是两个二端无限网络,如图:[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为


[例题][例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为如图所示的无限网络,电阻均为r,求AB间等效电阻RAB。


[[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为解]利用无限网络的对称性,可以把AB连线方向上的各个电阻拆开,拆开后的等效电路如下图所示。

拆开后的电阻阻值为2r,图中未标注的电阻均为r。图中用虚线分为5个部分。即MM’左边和NN’右边各2部分,这四部分电路等同。


如图,每个电容值均为[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为C,求AB间的电容值。

由倒数电容法,可得等效电阻电路,因为


[[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为拓展题]如图所示, 电阻r=2W, C1=C2=10mF, C3=20mF, e1=e2=6V, e3=24V, 电源内阻为零. 求AB之间的电流和3个电容器极板上的电量.


对称网络基本规律[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为

设空间有N个点,其间用电阻为r的导线连接。如果两个点之间直接由一条导线相连,则称他们是相邻的。将所有相邻的点之间电阻测一遍,加起来,和为(N-1)r.

也就是说,任意两个相邻顶点之间的电阻是多少可以不知道,但其和是(N-1)r。


第一类对称网络[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为

所谓第一类对称网络,即对称性最好的电阻网络,所有相邻顶点之间的电阻都相同(总电阻)。对这种情况,只需数出棱数与顶点数,则相邻顶点的电阻值=(顶点数-1)r/棱数。

R=(4-1)r/6=1/2r

R=(8-1)r/12=7/12r


[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为12面体

正20面体


第二类对称网络[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为

所谓第二类对称网络,其对称性比第一类差一些,所有相邻顶点之间电阻有两种(总电阻),则可以先用上述定理列出一方程,再将其中容易求的求出,则不容易求出的电阻带入第一个方程便可以得出。


这种例子非常多[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为,如右图.当网孔数趋于无穷时AA’的电阻是容易求出的,而AB的电阻稍难一些。容易看出,AB电阻与A’B’电阻实际是一样的.则先求出AA’电阻。


[[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为问题]

C60相邻顶点的电阻.

它具有60个顶点和32个面,其中12个为正五边形,20个为正六边形。属于第二类对称网络


n[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为维立方体的电阻

二维的立方体,即正方形,

三维立方体即通常的立方体.

n维立方体为在一个n-1维立方体外(或旁边)再做一个n-1维立方体,并将对应顶点用线连接.右图便是一4维立方体.


三维立方体由二维立方体演化而来[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为

四维立方体由三维立方体演化而来


由定义可以用数学归纳法证明[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为:

其每条棱为电阻为r的导线,求其任意来两个顶点之间电阻.


对于相邻的两个顶点[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为,其实就是第一类对称网络


3.[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为自相似法

在求无限网络的等效电阻时, 常常碰到电阻结构的相似性 , 即局部与整体相似 , 或在标度变换下的自相似性。

[例]电阻丝无限网络如图所示, 每一段金属丝的电阻均为 r, 试求A、B两点间的等效电阻 RAB。


设想电流从[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为A流入,

设想电流从B流入,

本图由于自相似, A就是B, B就是A.

中间金属丝中的电流发生了矛盾。

故这根无限长电阻丝中各点等势 . 故可这根电阻丝 .


又因网络相对[例题]如图所示的电阻网络,每个电阻在阻值为A、B联线具有左右对称, 故可折叠成图 2所示, 此网络可视为A、 B之间 2r/3 电阻与图中虚线右侧的两端开路半无限网络并联而成 。


从虚线往右看, 两端开路半无限网络的电阻计为RAB‘ ,其结构和从CD两端往右看的两端开路半无限网络的结构具有相似性。因为是无限网络, 有


[例] 两端开路半无限网络的电阻计为用同种均匀金属丝连接成的无限内接等边三角形电阻网络如图所示, 每个外三角形的三边中点为内接三角形的三个顶点。设最外面的等边三角形的边长为a, 金属丝单位长度的电阻为 r , 试求A、 B之间的等效电阻 RAB 。


[ 两端开路半无限网络的电阻计为解]网络相对MON 具有左、右对称性。若电流从 A 点流入, 从B点流出, 那么从左侧流向 MON 的电流分布必定与从 MON向右侧流出的电流分布相同。因此, A到O的电流与O至 B 的电流相同, P’到O的电流 与O到Q’的电流相同 。因而, P’OQ’ 与 AOB 可在 O 处分开, 而不影响计算的结果 。


因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之一, 因此上图的网络相当于在大三角形 ABC 两边中点 P 与 Q 之间连接一个边长a/2的无限内接三角形网络, 两者在结构上体现了在标度变换下的自似性, 阻值的变化也具有这样的性质。


[ 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之拓展题]六个相同的电阻(阻值均为R) 连成一个电阻环, 六个接点依次为1、2、3、4、5 和6 , 如图所示. 现有五个完全相同的这样的电阻环, 分别称为D1 、D2 、⋯、D5 .

现在将D2 的1、3、5 三点分别与D1 的2、4、6 三点用导线连接, 如图所示. 然后将D3 的1、3、5 三点分别与D2 的2、4、6 三点用导线连接, ⋯⋯依此类推, 最后将D5 的1、3、5 三点分别连接到D4 的2、4、6 三点上.

证明全部接好后,在D1 上的1、3两点间的等效电阻为724/627R.


[ 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之拓展题2]求如图所示网络AB两点之间的电阻.


[例]如图1所示的是等边 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之DABC, 将其三边中点连接起来 ( 称为第一次分割 ), 得图2; 将图2中余下的三个三角形即DADE、 DBDF、DEFC的各边中点连接起来(称为第二次分割), 得图3; 按照上述办法, 进行第三次分割 , 得图 4;这样无限地分割下去 , 得到一个无限网络。设经过 n 次分割后的几何对象表示由相同规格的电阻丝构成的电阻网络, 每段分割线就代表一根电阻丝, 且 DABC 的每边电阻丝的电阻均为r。

求 1) 经过第二次分割后的电阻网络中任两个顶点间的等效电阻 (顶点指A、B、C);

2) 经过第n次分割后的电阻网络中任两个顶点间的等效电 阻。


谢尔宾斯基分形网络 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之


电阻的三角形和星形连接的 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之等效变换


最初的网络 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之DABC 由 “D-Y" 变换可化为图5所示网络,每条边的阻值为r/3。


再将经一次分割后的网络的周边 因为每一次的内接正三角形的边长是前一次要被分割的外三角形的边长的二分之D 变为 Y 形 , 得图 6 所示网络 , 继而对 D’, E’, F’组成的三角形进行 D变为 Y 形 , 回到图 5网络。恰恰表明了标度变换下的不变性。


上述变换情况, 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列。

DABC 的电阻 RAB= 2r/3

经过一次分割后的电阻网络RAB1= 5r/9

则公比q=RAB1/RAB=5/6

所以:


经过第 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列n次分割后的电阻网络中任两个顶点间的等效电 阻为:


二端分形网络的电阻 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列

-1是三维导体的指数

k, x是和s无关的常数, s是二端电阻网络指数.


对谢尔宾斯基分形网络 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列:


N 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列次分割

k=?

s=?


[思考题] 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列无限旋转内接正方形金属网络由一种粗细一致、材料相同的金属丝构成,其中每个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上,已知最外侧正方形每边电阻值为R0,求:

(1)A、C间等效电阻;

(2)E、G两端的等效电阻。


[ 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列拓展题]


Thank you
Thank you! 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列


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