§5 定积分在几何上的应用

上一页 下一页 §5 定积分在几何上的应用一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、光滑曲线的弧长

(3)部分量的近似值可表示为 上一页下一页一、元素法 1 . 能用定积分表示的量Q所必须具备的三个特征： (1) Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; (2) Q对于区间[a,b]具有可加性. 即如果把区[a,b] 分成若干个子区间,则Q等于各子区间上部分量的总和. 2 .微元分析法用定积分表示量Q的基本步骤:

即 (3)以所求量Q的微元为被积表达式, (2)在区间[a,b]内任取一个小区间 , 求出相应于这个小区间的部分量的近似值. 在处的值与的乘积, 如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数就把称为量Q的微元且记作 , 上一页下一页 (1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b]; 在区间[a,b]上作定积分,得

则所围阴影面积 上一页下一页二、平面图形的面积 1、直角坐标情形分两种情况： 1°设函数在区间为连续函数且有：(如图）面积元素面积

2°设函数 在区间为连续函数且（如图）则所围阴影面积有上一页下一页面积元素：面积

y (8,4) x (2,-2) 上一页下一页例1 求由所围图形面积. 解两曲线的交点为(2,-2)及(8,4). 根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4]. 图形的面积微元为: 从而可得图形面积

上一页 下一页一般地：如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积

上一页 下一页解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．

r=r() o 上一页下一页 2、极坐标情形 1. 曲边扇形设图形由曲线r=r()及射线=,  =所围成. 其中r()在[ ,]上连续,且r()0. 取为积分变量,其变化区间为[ ,], 相应于[, +d]的面积微元为则图形面积为

由曲线 o 上一页下一页 2. 一般图形及射线=,  =所围图形的面积微元为则面积为

a b x 上一页下一页三、体积 1、平行截面面积为已知的立体的体积设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积. 取x为积分变量,其变化范围为[a,b]. 体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为（如图）

上一页 下一页解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积

y y=f(x) x a o x b 上一页下一页 2、旋转体的体积平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 设旋转体由如图的曲边梯形绕x轴形成. 则如前所述,可求得截面面积则

y d x=(y) c o x y P(h,r) x o 上一页下一页同理,如旋转体由如图的曲边梯形绕y轴形成. 则体积为例5 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积. 解可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得

y a o b x 上一页下一页例6 求圆心在(b,0),半径为a(b>a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积. 解圆的方程为 ,则所求体积可视为分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差. 则

y y=f(x) dy dx o x a b 上一页下一页四、光滑曲线的弧长 (1)设光滑曲线方程: 取x为积分变量,变化区间为[a,b]. [a,b]内任意小区间[x, x +d x]的一段弧长可用相应的切线段近似代替.即则弧长微元(弧微分) 故弧长为

上一页 下一页 (2)若曲线方程由参数方程: 则如前所述, 弧长微元 (3)若曲线方程由极坐标方程:r=r() (). 表示则

上一页 下一页解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长

§5 定积分在几何上的应用

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