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  1. 二次型 一. 化二次型为标准形 化二次型为标准形主要有两种方法:(1)正交变换法;(2)配方法.

  2. 注:将二次型 f用正交变换化为标准形的一般步骤为: • 写出二次型 f的矩阵 A; (2) 求出 A的全部相异特征值 1, 2,…, m,对每一个 ri重特征值i,求出对应的 ri个线性无关的特征向量,并利用施密特正交化方法将其正交单位化,将上面求得的 r1+ r2+ …+ rm =n个两两正交的单位向量作为列向量,排成一个 n阶方阵Q,则 Q为正交阵且 Q-1AQ=QTAQ= 为对角阵; • 作正交变换 X=QY,即可将二次型化为只含平方项的标准形: • f=XTAX=YT(QTAQ)Y=YT Y.

  3. 注:配方法化二次型为标准形一般有两种情形:注:配方法化二次型为标准形一般有两种情形: 情形1 二次型中含有平方项,如含有 x12,此时先集中含有 x1的项,对 x1配成完全平方,再集中含有 x2的项,对 x2配成完全平方,如此继续下去,直到化为标准形,如例2 (*)式一步. 情形2 二次型中不含平方项,只含有 xi xj 的项,此时先作可逆线性变换 将二次型化为含平方项的二次型,如例2,再按情形1中介绍的方法做.

  4. 注:设 Y=QX,Q为正交矩阵,则有 ||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.

  5. 即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为标准形,才能确定它所表示的曲面类型.

  6. 二. 正定二次型及正定矩阵的判定 主要有三种方法(1) 利用特征值判定;(2)利用定义判定;(3)利用顺序主子式判定. 1. 利用特征值判定

  7. 注:当矩阵的特征值比较容易求时,用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.注:当矩阵的特征值比较容易求时,用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.

  8. 注:若只是判定二次型的正定性,可采用较简便的方法求出二次型的标准形,并以此判定.注:若只是判定二次型的正定性,可采用较简便的方法求出二次型的标准形,并以此判定.

  9. 2 利用定义判定

  10. 3. 利用顺序主子式判定

  11. 注:这类题一定用顺序主子式做. 三. 证明题

  12. 注:请读者特别注意例12、例13、例14、例15 中对正定阵的处理,用心体会其方法.