Theorem 5.n×n 矩阵的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n. 推论 : 齐次线性方程组 A n×n x=0 有非零解的充分必要条件是 |A|=0.

§3一4、矩阵的秩(Rank of Matrix)一、矩阵秩的概念把m×n矩阵A的每一行看成一个向量,那么矩阵A可看成是行向量的组合,每一列看成一个列向量,那么矩阵A可看成是列向量的组合.Def 15.矩阵行向量的秩称为行秩矩阵列向量的秩称为列秩

Theorem 5.n×n矩阵 的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n. 推论:齐次线性方程组An×nx=0有非零解的充分必要条件是|A|=0.

Theorem 6 一矩阵的秩为r的充分必要条件是矩阵中有一个r阶子式不等于零,所有r+1阶子式全等于零.

例1 解

例2 解

例3 解计算A的3阶子式，

另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！

二、矩阵秩的求法 问题：经过变换矩阵的秩变吗？矩阵经过初等变换秩保持不变. 证

经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．

证毕

初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 解

由阶梯形矩阵有三个非零行可知

则这个子式便是的一个最高阶非零子式.

例5 解分析：

三、小结 • 矩阵秩的概念 • R(A)＝r  矩阵行向量的秩等于r •  矩阵列向量的秩等于r •  矩阵A中有r阶不等于零的子式，而所有r＋1阶子式全为零 •  A的行阶梯形矩阵中有r个非零向量 • A的最简形矩阵是Er＋0 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (2)初等变换法

思考题1、若R(A)＝r，是否A中所有r阶子式或(r-1)阶子式不为零？2、设A是矩阵B中划下去1列得到的矩阵，则 矩阵A的秩与矩阵B的秩满足什么关系？3、R(A)＝0的充分必要条件是什么？4、若矩阵A中存在k阶不等于零的子式，则 R(A)满足什么关系？5、若矩阵A中所有k阶子式全为零，则R（A）满足什么关系？作业：P154－15、16

Theorem 5.n×n 矩阵的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n. 推论 : 齐次线性方程组 A n×n x=0 有非零解的充分必要条件是 |A|=0.