第 3 章建筑抗震计算原理

第3章建筑抗震计算原理 • 3.1 概述 • 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析 • 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 • 3.4 多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法 • 3.5 多自由度体系的水平地震作用 • 3.6 结构的地震扭转效应 • 3.8 结构竖向地震作用 • 3.10 结构的抗震验算本章是全课的重点！！

3.1 概述3.1.1 几个概念 • 1、地震作用：是指地面震动在结构上引起的动力作用，属于间接作用，而不称为荷载。 • 2、结构地震反应(效应)：由地震时地面振动引起的结构反应，包括结构的位移反应、速度反应、加速度反应及内力和变形等。 • 3、结构动力特性：结构的自振周期、振动频率、阻尼、振型等。 • 4、结构的地震反应分析：是结构地震作用的计算方法，应属于结构动力学的范畴。

3.1.2 建筑结构抗震设计步骤 1、计算结构的地震作用； 2、计算结构、构件的地震作用效应—M、Q、N及位移； 3、地震作用效应与其他荷载效应进行组合、验算结构和构件的抗震承载力及变形。 • 地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。 • 由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。

3.1.3 结构抗震理论的发展 • 一个世纪以来，结构地震反应计算方法的发展，大致 • 可以划分为三个阶段： • 1、静力理论阶段---静力法 • 1920年，由日本大森房吉提出。 • 假设建筑物为绝对刚体，结构所受 • 的水平地震作用，可以简化为作用 • 于结构上的等效水平静力F，其大小 • 等于结构重力荷载G的k倍，即 ——地震系数：反映震级、震中距、地基等的影响

3.1.3 结构抗震理论的发展——续 • 缺点： • （1）没有考虑结构的动力特性； • （2）认为地震时结构上任一点的振动加速度均等于地面运动的加速度，这意味着结构刚度是无限大的，即结构是刚性的。 • 2、反应谱理论阶段 • 地震反应谱：单自由度弹性体系在地震作用下其最大的反应与自振周期的关系曲线称为地震反应谱。 • 1943年美国皮奥特（ M. A. Biot）发表了以实际地震记录求得的加速度反应谱，提出的“弹性反应谱理论”。

3.1.3 结构抗震理论的发展——续 • 按照反应谱理论，作为一个单自由度弹性体系结构的底部剪力或地震作用为： • 按静力计算方法计算结构的地震效应。 • 由于反应谱理论正确而简单地反映了地震特性以及结构的动力特性，从而得到了国际上广泛的承认。实际上到50年代，反应谱理论已基本取代了静力法。目前，世界上普遍采用此方法。

3.1.3 结构抗震理论的发展——续 • 3. 动力分析阶段---时程分析法 • 大量的震害分析表明，反应谱理论虽考虑了振幅和频谱两个要素，但只解决了大部分问题，地震持续时间对震害的影响始终在设计理论中没有得到反映。这是反应谱理论的局限性。 • 时程分析法将实际地震加速度时程记录作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。不仅可以全面考虑地震强度、频谱特性、地震持续时间等强震三要素，还进一步考虑了反应谱所不能概括的其它特性。 • 时程分析法用于大震分析计算，借助于计算机计算。

3.1.4 我国规范采用的结构地震反应分析方法 • 我国规范与各类型结构相应的地震作用分析方法： • 不超过40m的规则结构：底部剪力法； • 一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法； • 质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法 • 8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑，考虑竖向地震作用； • 特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算。

3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析3.2.1 计算简图 • 等高单层厂房和公路高架桥、水塔等，将该结构中参与振动的所有质量全部折算至屋盖处，而将墙、柱视为一 • 个无重量的弹性杆，这样就形成了一个单质点体系。当该体系只作单向振动时，就形成了一个单自由度体系。 • 假定地基不产生转动，而把地基的运动分解为一个竖向和两个水平方向的分量，然后分别计算这些分量对结构的影响。

：地面（基础）的水平位移 ：质点对地面的的相对位移：质点的总位移：质点的绝对加速度 3.2.2 运动方程 • 1、水平方向的振动时的运动方程的建立取质点为隔离体，作用在质点上的力惯性力：弹性恢复力：阻尼力：（粘滞阻尼理论）

3.2.2 运动方程——续 • 根据达朗贝尔原理，运动方程为： (3-1) 进一步简化为： (3-2) • 结构振动圆频率 • 结构的阻尼比这是一个二阶常系数非齐次微分方程。令方程式左边=0，得该方程的齐次解。非齐次微分方程解由有上述的齐次解和特解两部分组成。

3.2.3 运动方程的求解 （1）自由振动方程式（3-2）的右端等于0，得到齐次解，即（3-3）表示质点在振动过程中无外部干扰，即为单质点弹性体系的自由振动方程。一般结构阻尼比较小（小于1），式（3-3）的解为：（3-4）有阻尼体系的自由振动频率 A、B为任意常数，由初始条件确定。初速度为若t=0是的初位移为则式（3-3）的解为

3.2.3 运动方程的求解----续 （3-5）时，即无阻尼单自由度体系，其振动方程为：（3-6）则公式（3-3）的解为由（3-6）可知，无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动，是一个周期函数，其自振周期为：结构的自振周期仅与其质量和刚度有关是结构的一种固有属性。

下图为单自由度体系的自由振动曲线，无阻尼时振幅始终不变，有阻尼时曲线时曲线逐渐衰减，且阻尼越大，振幅衰减就越快。下图为单自由度体系的自由振动曲线，无阻尼时振幅始终不变，有阻尼时曲线时曲线逐渐衰减，且阻尼越大，振幅衰减就越快。

（2）强迫振动 运动方程（3-2）的特解就是质点有外荷载引起的强迫振动。是地面水平地震加速度，不可能求得其具体的解析表达式，只能采用数值积分的方法求解。设加速度随时间变化的关系如图（a）,将其分为无数个连续作用的瞬时荷载，则在时，质点的自由振动方程可根据式（3-5）得到，于是有： (3-7) 整个体系受荷过程中所产生的总位移反应即可由所有瞬时冲量引起的微分位移叠加得到，根据杜哈梅积分得： (3-8)

(3)方程的通解 • 式（3-2）常微分方程的通解即为（3-5）和（3-8）之和。 • 单自由度弹性体系地震反应=自由振动反应+强迫振动反应 • 体系的自由振动是由初速度和初位移引起的，当初位移和初速度为0 时，自由振动反应为0；当初位移和初速度不为0时，由于有阻尼的存在，自由振动很快衰减。因此，一般情况下，仅考虑强迫振动反应作为单自由度体系水平地震位移反应。

3.2.3 单自由度体系地震作用分析 • 由Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移 • 为相对于地面最大位移反应质点相对于地面的最大加速度反应为

3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱3.3.1水平地震作用的基本公式 • 单自由度弹性体系的水平地震作用 • 当基础作水平运动时，作用于单自由度弹性体系质点上的惯性力为由得 • 可见，在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移x(t)将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此可认为这一相对位移是在惯性力的作用下引起的，惯性力对结构体系的作用和地震对结构体系的作用效果相当，可认为是一种反映地震影响效果的等效力，利用它的最大值来对结构进行抗震验算，就可以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。

3.3.2 地震反应谱 质点相对于地面的最大加速度反应为 • 质点的绝对最大加速度取决于地震时地面运动加速度、结构的自振周期及结构的阻尼比。在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。 • 单自由度体系在给定的地震作用下某个最大地震反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。 • 曲线被称为加速度反应谱。

3.3.2 地震反应谱——续 • 根据1940年埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线可见： • ①加速度反应谱曲线为一多峰点曲线。当阻尼比等于零时，加速度反应谱的谱值最大，峰点突出。但是，不大的阻尼比也能使峰点下降很多，并且谱值随着阻尼比的增大而减小； • ②当结构的自振周期较小时，随着周期的增大其谱值急剧增加，但至峰值点后，则随着周期的增大其反应逐渐衰减，而且渐趋平缓。 • 根据反应谱曲线，对于任何 • 一个单自由度弹性体系，如果 • 已知其自振周期和阻尼比，就 • 可以从曲线中查得该体系在特 • 定地震记录下的最大加速度。

3.3.3 标准反应谱 1、把水平地震作用的基本公式变换为规范根据烈度所对应的地面加速度峰值进行调整后得到地震系数k与地震烈度的关系表

3.3.3 标准反应谱——续 β与T的关系曲线称为β谱曲线，实质也是一条加速度反应谱曲线。

3.3.3 标准反应谱——续 • 地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲线都不相同，则加速度反应谱也不相同。 • 抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共性的可以表达的一个谱线。 • 标准反应谱曲线：根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线。标准化

3.3.3 设计反应谱 • 1、设计反应谱 • 为了便于计算，《抗震规范》采用相对于重力加速度 • 的单质点绝对最大加速度与体系自振周期之间的关系谱， • 实质是加速度谱。称为地震影响系数。

3.3.3 设计反应谱——续 2、各系数意义（1）（2） ---结构周期； ---地震影响系数；（3）Tg为特征周期值，与场地类别和地震分组有关，见下表。

3.3.3 设计反应谱——续

地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 地震影响烈度 6 7 8 9 多遇地震 0.04 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 罕遇地震 0.28 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40 括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和0.30g地区的地震影响系数 3.3.3 设计反应谱——续

---第i个可变荷载标准值； ---第i个可变荷载的组合值系数；组合值系数 • 可变荷载种类 • 组合值系数 • 雪荷载 • 0.5 • 屋面积灰荷载 • 0.5 • 屋面活荷载 • 不考虑 • 按实际情况考虑的楼面活荷载 • 1.0 按等效均布荷载考虑的楼面活荷载吊车悬吊物重力 • 藏书库、档案库 • 0.8 • 其它民用建筑 • 0.5 • 硬钩吊车 • 0.3 • 软钩吊车 • 不考虑三、重力荷载代表值的确定结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值Gk加上各可变荷载组合值。

3.4多自由度弹性体系地震反应分析3.4.1计算简图3.4多自由度弹性体系地震反应分析3.4.1计算简图大多数建筑物质量比较分散，可将其简化为多质点体系，并按多质点体系进行结构的地震反应分析。将楼（屋）盖及其上下各半层高范围内的全部质量集中于楼面标高处。一般n层结构有n个质点，n个自由度。

mN xi mi m2 m1 xg(t) 3.4.2 运动方程 • 多自由度体系的运动方程惯性力弹性恢复力阻尼力运动方程

3.4.3 自振特性 1.自振频率由上式可得无阻尼自由振动方程为（3-10）设方程解的形式为（3-11）则（3-12）将（3-11）（3-12）代入式（3-10）中，得（3-13）根据系数行列式为零，可得到 (3-14) 频率方程将行列式展开，就可以得到体系的自振圆频率。 n个自由度就有n个自振频率,即有n种自由振动方式。其中，最小自振频率称为第一自振频率或基本频率第一频率对应的周期称为基本周期

2.振型 振型指对应某一自振频率各质点位移间的比值。 • 将所得频率代入式（3-13）中，便可得到每一阶自振频率下各质点的相对振幅值。 • 以两自由度为例，式（3-13）即

特点：位移幅值的比值为常数 实际上，任意时刻，某一振型各质点的幅值比值均为常数。一般的，体系有多少自由度就有多少个频率，相应就有多少个振型，当体系按第一频率振动时称为第一振型或基本振型。 • 注意：各质点的振型值并不是代表绝对位移值，反应的是各质点振幅 • 之间的相对比值，因此，厂将振型进行标准化处理，取某一质点在各 • 振型的振幅值均取1. 质点的运动包含所有的振型的频率，是一个耦连的微分方程思考：各振型之间有什么关系呢？

3、振型的正交性 • 多自由度体系各个振型之间彼此独立，任意两个振型对 • 质量矩阵和刚度矩阵具有正交性。（3-20）（3-21）（3-22）（3-23）（3-24）（3-25）

+ + 3.4.4 振型分解法振型分解法的思路：利用振型的正交性，将耦连的多自由运动方程分解为若干彼此独立的单自由度微分方程，求其独立解，然后再将个独立解叠加，得到总地震反应。 • 多自由度线性体系的振动位移x（t）可以表示为各振型下位移 • 反应的叠加（线性组合）。

3.4.4 振型分解法——续 以两个自由度线性体系为例对于多自由度体系，即（3-26）代入运动方程

3.4.4 振型分解法——续

3.4.3 振型分解法----续

3.4.4 振型分解法——续

3.4.4 运动方程的解——续

3.4.4 运动方程的解——续 • 多自由度体系振型分解法的求解步骤： • （1）求体系的自振频率和振型 • （2）计算振型参与系数 • （3）求解耦的个单自由度体系的广义坐标 • （4）按振型叠加的原理计算各质点位移

3.5 多自由度体系的水平地震作用3.5.1 振型分解反应谱法

3.5.1 振型分解反应谱法——续

3.5.1 振型分解反应谱法——续 • 一般的，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加而迅速减少，所以频率最低的几个振型控制结构的最大地震反应。 • 实际计算中，一般采用前2—3个振型即可。 • 当结构基本周期大于1.5s或高宽比大于5时，可适当增加例

3.5.2 底部剪力法 • 底部剪力法是一种近似的计算方法，不需要进行繁琐的频率和振型分析计算。 • 1、底部剪力法适用范围和假定 • 适用条件：《抗震规范》5.2.1：对于高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可以采用底部剪力法。 • 假定：a、结构各楼层可仅取一个自由度。 • b、结构位移反应以第一振型为主。 • c、体系第一振型接近一直线，呈倒三角形分布。

Geq Geq Gi Gi Fi Fek Fek 3.5.2 底部剪力法——续 • 2、总思路是：首先求出等效单质点的作用力（即底部剪 • 力），然后再按一定的规则分配到各个质点，最后按静力 • 法计算结构的内力和变形。

Geq Gi 3.5.2 底部剪力法——续 • 3、结构底部剪力计算 • 根据底部剪力相等的原则，把多质点体系用一个与其 • 基本周期相等的单质点体系代替。 • 底部剪力用下式进行计算： • α1——对应基本周期的地震影响系数，对于多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，可取水平地震影响系数最大值； • Geq——结构等效总重力荷载代表值， • c——等效系数；单质点：c=1；多质点：c=0.85

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