非线性科学中的一些问题

1. 非线性科学中的一些问题 辛 周 平 香港中文大学

2. 一、非线性科学蓬勃发展的必然性 • 对自然和社会科学中的一些重大问题提供严格的基础和方法及工具，增强对科学技术和人文科学的深层次的理解。 • 提供传统实验和模拟所不能解决的问题，像航空航天、气象预报、金融分析、金融市场预测、风险管理、化学工程、生物科学、信息科学、资源勘探、图像处理、神经网络、环境科学、数学物理、传统几何分析等。 • 数学科学本身发展的需要

3. 二、非线性科学的特性 • 非线性 半线性 （几何, 生化，等等） 拟线性 （连续介质力学，燃烧，等等） 完全非线性 （几何, 相对论，等等） • 多尺度和奇异性 slow scale，fast scale 激波，涡面，湍流 (turbulence) , 等等 宏观  介观  微观 初始层，边界层，等等

4. 随机性 随机数据（Random Data） 随机媒介（Random Media） Large deviation, enhanced diffusion, subdiffusion • 不可分性 多尺度结构的相互作用（mixing） 混合型方程 指数阶偏微分方程

5. 交叉性 学科的交叉：数学与其它学科的交叉 数学中不同分支之间的交叉 方法的交叉：理论分析，统计和概率， 数值分析和计算，模型和实验

6. 三、非线性科学的一些基本方法 • 建模（渐近分析） • 理论分析：形式解  特解  适定性 • 数值模拟：数值方法，分析和计算 • 实验：与一些已经证实的实验数据、数值 模拟、或精确解比较，证实理论分析 或数值方法

7. 四、理论分析在非线性科学中的重要性 • 龙卷风问题（Vortex Patch Problem） • Vortex Sheets Problem • 　跨音速激波问题

8. 五、连续介质力学中的一些问题 (1)世纪数学问题之一: 三维（不）可压缩 流体光滑解的整体存在性

9. (2) 小尺度因素对大尺度结构的影响: 湍流问题(turbulence) 激波结构及稳定性 边界层的严格数学理论 Flow mixing

10. (3) 宏观极限问题 (Hilbert 6th problem) (i) Boltzmann的流体动力学极限（介观宏观） (ii) 微观宏观

11. (4) 半经典极限问题 (量子力学牛顿力学) • 非线性 Schroedinger方程 •  可压缩Euler方程 • (5) 高维流体问题 • 适定性问题 • 解的渐近性态和结构 • 大型科学计算: 数值方法, 软件编程

12. (6) 一些具体问题 (i) 绕流问题 (ii) 管道流问题

13. (iii) 激波反射问题 　　　挑战: 混合型方程、蜕化问题、 　 　　　自由边界问题、奇异摄动与极限

14. (7) Einstein方程 (8) 材料科学中的偏微分方程

15. 　谢 谢 ！