オートマトンとチューリング機械

1. オートマトンとチューリング機械

2. 有限オートマトン

3. 有限オートマトン • 有限個の状態 • 現在の状態 • 初期状態 • 受理状態 • 入力文字列 • 有限個の文字 … アルファベット • 状態遷移 • 入力文字と現在の状態に従って、 現在の状態をかえる。

4. 状態遷移図 二進数を、0と1から 成る文字列として入力し、 3の余りを計算する 有限オートマトン 0 初期状態 1 1 0 1 0

5. 言語 • アルファベット • 有限個の文字の集合 • Σなどで表す。例：Σ={0,1} • 文字列（語） • アルファベットに属する文字の有限列 • 例：0, 00, 1100, 0101 • 空列も文字列。εやλで表す。 • 文字列の全体をΣ*で表す。 • 言語（形式言語） • 文字列の集合、すなわちΣ*の部分集合。 • 例：3で割り切れる二進数の全体

6. 言語の認識装置としての有限オートマトン • 状態のいくつかを受理状態とする。 • 受理状態は複数あってもよい。 • 与えられた文字列に従って、 初期状態からはじめて状態遷移を繰り返す。 • 初期状態は一つ。 • 文字列を読み終わった直後の状態が 受理状態ならば、その文字列を受理。 • 有限オートマトンMが受理する 文字列の全体をL(M)と書く。 • L(M)をMの受理言語という。

7. 有限オートマトン 3で割り切れる二進数の 全体を受理する 有限オートマトン 0 初期状態 受理状態でもある。 1 1 0 1 0

8. 有限オートマトン 初期状態 0 0と1を 奇数個ずつ 含む文字列を 受理する オートマトン 0 1 1 1 1 0 0

9. 正則表現 • 言語を表す記法 • 文字列のパターンを表す。 • 例：0(10)*1 • 0で始まり10が繰り返されて1で終わる文字列 • そういう文字列からなる言語 • 例：0(11+00)1 • 0の次に11または00が来て、1で終わる文字列 • 例：0(11+00)*1

10. 正則表現から有限オートマトンへ • 正則表現⇒有限オートマトン • 任意の正則表現に対して、その言語を受理する 非決定的な有限オートマトンが存在する。 • 決定化 • 非決定的な有限オートマトンは、受理言語が同じ 決定的なオートマトンに変換できる。 • 最小化 • 決定的なオートマトンは、 受理言語をかえずに状態数が最小化できる。 • 有限オートマトン⇒正則表現 • 正則言語

11. 非決定的な有限オートマトン ε遷移： 文字を入力せずに 遷移できる。 ε 初期状態 0 0 0 1 1 1

12. 非決定的な有限オートマトン 受理状態に至る遷移のしかたが 一つでもあればよい。 0 初期状態 0 0 0 1 1 1 1

13. 決定的な有限オートマトン 初期状態 0 0 0 0 1 1 1

14. 決定的な有限オートマトン 初期状態 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1

15. 状態数最小の有限オートマトン 0 初期状態 0 0 1 1 1 1 0 0 1

16. 有限オートマトンの性質 • 受理言語の合併、交わり、補集合、連接、 閉包などに関して閉じている。 • 任意のM1とM2に対して、 L(M1)∪L(M2)=L(M)となるMが存在する。 • 二つのオートマトンが受理する言語が同じか どうかを判定することができる。 • 数を数えられない：有限オートマトンの限界 • 例えば、0と1を同じ数だけ含む文字列のみを 受理する有限オートマトンは存在しない。

17. チューリング機械

18. チューリング機械 ヘッド テープ 有限状態制御部

19. チューリング機械の動作 • 有限状態制御部の状態と、 ヘッド上の文字の各組み合わせに対して、 • ヘッドが書き込む文字（同じ文字をかけば無変化） • 次の状態 • （文字を書いた後に）ヘッドを 左右のどちらに動かすか、 動かさないか。 という動作を定義。 • 動作が一通りに定まらないものは、 非決定的なチューリング機械

20. チューリング機械の停止 • 停止状態を定めることもある。 • 次の動作が定義されなかったら停止。 • 場合によっては、停止しないこともある。

21. 言語の認識装置としてのチューリング機械 • 入力文字列をテープ上に書き込み、 • 書き込む前は空白文字が埋まっている。 • テープには、入力文字列に現れる文字以外の 文字を書き込んでもよい。 • 入力アルファベット ⊂ テープ・アルファベット • ヘッドを最初の文字の上におき、 • 状態を初期状態にセットして、 • 機械を走らせる。 • 停止したら、その文字列を受理。 • 受理状態において停止したら、 とすることもある。

22. チューリング機械と計算可能性

23. 言語の認識装置として 入力文字列w 0 1 1 0 1 • 入力アルファベット上の言語Lが、 チューリング機械Mによって 認識できるとき、その言語を 帰納的に可算という。 • Mを用いれば、与えられた文字列が • Lに属しているとき、 有限時間内にそのことがわかる。 • Lに属していないときは、 Mは止まらないかもしれないので、 そのことはいつまでたっても わからないかもしれない。 • 以上のような認識が、 計算の限界である。 • チャーチのテーゼ チューリング 機械 M 受理or不受理 （or非停止） w∈L w∈L

24. 帰納的に可算 vs. 帰納的 Mへの入力 0 1 1 0 1 • 入力アルファベット上の言語Lが、 常に停止するチューリング機械 Mによって認識できるとき、 その言語を帰納的いう。 • Mを用いれば、与えられた文字列が • Lに属しているとき、 有限時間内にそのことがわかる。 • Lに属していないときも、 有限時間内にそのことがわかる。 • 言語Lとその補集合がどちらも 帰納的に可算ならば、 L（およびその補集合）は 帰納的になる。 チューリング 機械 M 受理or不受理 （常に停止する） w∈L w∈L

25. 関数の実現機構として • チューリング機械を用いて、 文字列をもらって文字列を返す関数を実現できる。 • 入力文字列をテープ上に書き込み、 チューリング機械を走らせる。 • 停止したら、テープ上の文字列を返す。 • 空白は無視する。 • チューリング機械は止まらないかもしれないので、 いつも出力が得られるとは限らない。 • 部分関数 • このような関数を部分帰納的関数という。 • 常に出力が得られるときは、帰納的関数という。 • チューリング機械が常に止まる場合。

26. 決定性と非決定性 • 計算可能性に関して（言語の認識装置として）、 決定的なチューリング機械と 非決定的なチューリング機械に 能力の差はない。 • 非決定的なチューリング機械が入力文字列を 受理するとは、入力文字列をテープ上に書き込み、 非決定的な動作を適切に選べば、 （受理状態で）停止すること。 • 任意の非決定的なチューリング機械に対して、 同じ言語を受理する決定的なチューリング機械が 存在する。

27. 0 1 1 0 1 非決定的な チューリング機械 チューリング 機械 M 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 チューリング 機械 M チューリング 機械 M 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 分身を作ると 思えばよい。 分身の一つが 受理すればよい。 チューリング 機械 M チューリング 機械 M

28. 万能チューリング機械 Mへの入力 Mのプログラム Mへの入力 s c z k q b 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 万能 チューリング 機械 チューリング 機械 M 受理or不受理（or非停止） 受理or不受理（or非停止）

29. 万能チューリング機械と停止問題 • 万能チューリング機械は、 任意のチューリング機械Mのプログラムと Mへの入力に対して、Mをシミュレートできる。 • Mが停止しないときは、 万能チューリング機械も停止しない。 • Mが停止しないときも停止して、 Mの非停止を判定できるような 万能チューリング機械は存在するか。 • プログラムが停止しないことを、 プログラムを実行せずに判定できるか？ • 答えは否。

30. チューリング機械と計算量

31. 言語の認識の計算量 • 帰納的な言語を考える。 • それを受理するチューリング機械は、 任意の文字列に対して必ず停止する。 • 入力文字列に対して、 チューリング機械が停止するまでの 動作ステップ数が、入力文字列の長さに どのように依存するか。 • 特に、入力文字列の長さnの「多項式」に比例した ステップ数（以下）で停止するか。 例えば、n2, n3...

32. Ｐ：多項式時間 • 帰納的な言語に対して、 それを受理する決定的な（常に停止する） チューリング機械で、 停止するまでの動作ステップ数が 入力文字列の長さの多項式で 抑えられるものが存在するとき、 その言語をＰという。 • もしくは、そのような言語のクラス（集まり）を Ｐという。

33. ＮＰ：非決定的多項式時間 • 帰納的な言語に対して、 それを受理する非決定的な（常に停止する） チューリング機械で、 停止するまでの動作ステップ数が 入力文字列の長さの多項式で 抑えられるものが存在するとき、 その言語をＮＰという。 • 動作の選び方をうまく選んだとき、 受理状態で停止するならば、 その入力文字列は受理されたとする。

34. ＰとＮＰ • もちろん、ＰはＮＰに含まれる。 • Ｐである言語はＮＰでもある。 • ＰとＮＰは等しいか？ • クレイ数学研究所が2000年に提示した 七つのミレニアム問題の一つ （賞金１００万ドル）

35. ＮＰ完全 • ＰとＮＰが等しいかどうかはわからないが、 ＰとＮＰが等しくないと仮定すると、 ＮＰ－Ｐに含まれることを示せる問題がある。 • ＮＰのうちで最も難しい問題 • ＮＰに属する任意の問題は、 多項式ステップでそのような問題に還元できる。 • そのような問題をＮＰ完全という。 • 逆に、ＮＰ完全の問題がＰに属するならば、 ＮＰに属するすべての問題がＰに属する。

36. ＮＰ完全問題 • ハミルトン経路問題 • グラフにハミルトン経路が存在するか。 • 指定された点から始まり指定された点に終わり、 すべての点をちょうど一回ずつ訪れる経路があるか。 • グラフを適当なアルファベットの文字列として表現する。 • ブール式の充足可能性問題 • ブール式は充足可能か。 • ブール変数の真偽を適当に定めると ブール式全体を真にできるか。 • ブール式を適当なアルファベットの文字列として表現する。

37. 関数の計算量 • ハミルトン経路問題はＮＰ完全である。 • では、与えられたグラフに対して ハミルトン経路を求める問題は どのくらい難しいか？ • もし、ハミルトン経路が 決定的なチューリング機械により、 多項式時間で計算できるならば、 ハミルトン経路があるかどうかが 多項式時間で判定できてしまう。 • 従って、ハミルトン経路の計算も、 多項式ではできないはず。

38. ＰＳＰＡＣＥ：多項式空間 • 帰納的な言語を認識するチューリング機械が、 停止するまでに、入力文字列の長さの 多項式で抑えられる空間（テープの量）しか 消費しないとき、その言語をＰＳＰＡＣＥという。 • 決定的でも非決定的でも差はない。 • ＮＰを含む。 （真に含むかどうかはわからない。） Ｐ⊆ＮＰ⊆ＰＳＰＡＣＥ