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习题课三

习题课三. 1. 守恒量. 2. Virial 定理. ( 对定态求平均 ). 则. 若. 3. Feynman-Hellmann 定理. ( 对束缚态能级和波函数 ). 4. 守恒量与对称性. 平移不变性. 空间转动不变性. 4. 全同粒子 全同性原理： 全同粒子不可区分 全同粒子的波函数. 5. 中心力场问题. 能量本征方程. 径向波函数满足的方程. or. 6. 典型中心力场问题的求解. (1) 无限深球方势阱 ( l =0). (2) 三维各向同性谐振子 ( 球坐标与直角坐标下求解 ). 能级. 简并度.

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Presentation Transcript

  1. 习题课三 1. 守恒量 2. Virial定理 (对定态求平均) 则 若 3. Feynman-Hellmann定理 (对束缚态能级和波函数) 4. 守恒量与对称性 平移不变性 空间转动不变性

  2. 4. 全同粒子 全同性原理： 全同粒子不可区分 全同粒子的波函数 5. 中心力场问题 能量本征方程 径向波函数满足的方程 or

  3. 6. 典型中心力场问题的求解 (1) 无限深球方势阱(l=0) (2) 三维各向同性谐振子(球坐标与直角坐标下求解) 能级 简并度 (3)氢原子问题 本征函数 能级 简并度

  4. 单粒子态 2 0 0 0 2 0 分布 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 (a)两全同波色子 4.2解：

  5. (b)两个全同费米子 单粒子态 0 1 1 分布 1 0 1 1 1 0

  6. 单粒子态 2 0 0 0 2 0 分布 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 (c) 两个不同粒子

  7. 4.3解： 设粒子的总数为n，量子态的总数为k. 首先对n个粒子进行编号 (1)粒子可以分辨 每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的 方式（量子态数目）有 若k=3, n=2, 则有 若k=3, n=3, 则有

  8. 4 3 1 2 (2) 粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称 量子态总数 若k=3, n=2, 则有 若k=3, n=3, 则有

  9. (3) 粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（k>n） 量子态总数 若k=3, n=2, 则有 若k=3, n=3, 则有

  10. 4.4 证明： 对于不含时间的力学量A 有 对上式再求导数得 即

  11. 4.5 证明：

  12. 4.6 证明： 则 对于波函数 4.7 证明：对束缚态能级和波函数有

  13. 则

  14. 4.8 证明： 由Heisenberg方程知 能量本征方程是 其共轭方程为 则 其中

  15. 4.9 证明： 由海森堡方程得到 在能量表象下取矩阵元得 基本对易关系 在能量本征态下取平均值得

  16. 则 4.10 证明： 因为F, H是厄米算符，则有 (1)取厄米共轭得

  17. (1)+(2)得到

  18. 5.1证明：由 则相对动量是 总动量是

  19. 因此总角动量是 总动能是

  20. 5.2解：

  21. 5.3 解:(a)电子偶素的约化质量为 此体系的能谱为 (b) µ原子中µ子的质量为 原子核的质量为M,则约化质量为 体系的能谱为

  22. (c)µ子偶素的约化质量为 其能谱为 5.4解:氢原子基态的波函数是 显然有 而 由位力定理知

  23. 又在基态有 即 则 由基态波函数的球对称性得到 则

  24. 5.5 解:　氢原子的基态波函数是 基态能量 势能 经典禁区 即 因此电子处于经典禁区的概率是

  25. 5.6 解:类氢离子的波函数为 (a)最可及半径由下列条件确定 对圆轨道有: l=n-1, nr=0, 则 求导数后可得 详细推导过程 径向方程

  26. 令 则 径向概率分布为 园轨道 则其径向概率分布为

  27. 类氢离子的径向波函数是 其中 合流超几何函数是 即

  28. 则园轨道的径向概率分布为 由 得

  29. 注： (b) 类氢原子的能级 可利用 直接进行计算求解

  30. 5.7 证明：已知中心力场中粒子的径向方程是 三维各向同性谐振子得能级为 取l为参量，由Feynman-Hellmann定理 得

  31. 即 三维各向同性谐振子得哈密顿为 在定态下两边取平均得 由Virial定理知 则 所以

  32. 5.8 解： 类氢离子的能级为 类氢离子的势函数为 由Virial定理知 则 所以 即

  33. 类氢离子的能量本征方程 对应的哈密顿为 视l为参量，由Feynman-Hellmann定理得

  34. 则

  35. 5.9 解：取守恒量完全集 其共同本征函数是 u(r)满足径向方程 令 则上述方程可化为

  36. 因此价电子的能级是 对于λ<<1，可令 则

  37. 5.10解：在直角坐标系中求解 能量本征方程 令 代入上式可得

  38. 解上述方程得 则总能量为 能级简并度为

  39. 5.11解： 类似上题 总能级为 令 则 当 时， 为有理数时，能级可能简并，如 当

  40. 其简并度为 当 为无理数时，能级非简并

  41. 作业 1.氢原子处于基态，波函数为 求： (1)r的平均值 (2)势能的平均值 (3)动能的平均值 (4)最可几半径 解：(1) (2)由位力定理知 则

  42. (3)动能的平均值是 (4)沿径向的概率分布为 即 令 可得最可几半径为

  43. 2. t=0时刻氢原子的波函数为 求： (1)氢原子能量、角动量的平方L2、Lz的可能值、相应 概率和平均值 (2)写出t时刻的波函数 解： (1)由波函数可见： n=1, n=2， 因此能量的可能取值为 平均值是 角量子数l=0, l=1, 则角动量平方的可能取值是 平均值是

  44. 轨道磁量子数的可能取值是：m=0, 1, -1 则Lz的可能取值是 平均值是 (2)t时刻的波函数是 其中

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