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相似三角形

相似三角形. 复习课. 虹桥二中 徐丽. 一、证明题： 1. D 为△ ABC 中 AB 边上一点，∠ ACD= ∠ ABC. 求证： AC 2 =AD·AB. 分析 : 要证明 AC 2 =AD·AB ，需 要先将乘积式改写为比例 式 ，再证明 AC 、 AD 、 AB 所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个 角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证。. 证明 : ∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD

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相似三角形

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Presentation Transcript

  1. 相似三角形 复习课 虹桥二中 徐丽

  2. 一、证明题： 1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB 分析:要证明AC2=AD·AB，需 要先将乘积式改写为比例 式 ，再证明AC、 AD、AB所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个 角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证。 证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD ∴ ∴ AC2=AD·AB

  3. 2.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO · EC. 分析：欲证 ED2=EO·EC，即证： ，只需证DE、EO、EC 所在的三角形相似。 证明：∵ AB∥CD ∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ∴ ，即 ED2=EO · EC

  4. 3.过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF· EG . 分析：要证明 EA2 = EF· EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED. 证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED ∴ ∴

  5. 4.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF. 分析：因△ABC∽△ABD，所以 ， 要证 即证 ， 需证△BDF∽△DAF. ∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD 又∵ ∠F =∠F ∴ △BDF∽△DAF. ∴ ∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC ∴ △ABC∽△ABD ∴ ∴ 证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC ∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90° ∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90° E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF

  6. 二、探索题 A P 1 3 2 B C 1、条件探索型 1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC ⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC ⑶ ∵∠A= ∠A， 当∠3＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或∠3＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.

  7. a C 解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90° ∴当 时，即当 时， △ABC∽ △CDB,∴ A D b B ⑵∵ ∠1＝∠D＝90° ∴当 时，即当 时， △ABC∽ △BDC， ∴ 答：略. 2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似 １

  8. 这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件．这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件． 解题思路是：从给定结论出发， 通过逆向思考寻求使结论成立 的条件．

  9. A E １ 2 B D G F 2、结论探索型 1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来. 解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA） C

  10. A A A A D D D D B B B B C C C C 2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形. E E E E

  11. 这类题型的特征是有条件而无论， 要确定这些条件下可能出现的结论．　　 解题思路是：从所给条件出发， 通过分析、比较、猜想、寻求 多种解法和结论，再进行证明.

  12. A F D E C B 3、存在探索型 如图, DE是△ABC的中位线，　∠B=90° ， AF ∥BC，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.

  13. A F D E C B 解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作∠MCA= ∠AED). M 证明：连结MC，　　　　　　　　　　　∵DE是△ABC的中位线，　　　　　∴DE∥BC，AE＝EC，　　　　　　又∵ME⊥AC, 　　　　　　　　　　∴AM＝CM，　　　　　　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∵∠B=90°，　　　　　　　　　　　∴ ∠4＝ ∠B= 90°，　　　　 　　　　∵AF ∥BC，AM ∥DE, 　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∴ ∠3= ∠2 ,　　　　　　　　　　　∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， 　　∴ △ADE ∽△MEC． 1 4 3 2

  14. 所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题．所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题． 解题思路是：先假定所需探索的对象 存在或结论成立，以此为依据进行计 算或推理，若由此推出矛盾，则假定 是错误的，从而给出否定的结论， 否则给出肯定的证明．

  15. 小结： 通这一节的复习之后你有哪些收获？

  16. 谢谢

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