توزیع احتمال توام

1. توزیع احتمال توام موسوی ندوشنی زمستان 1383 دانشگاه صنعت آب و برق

2. فضای نمونه دو بعدی (یا بیشتر) و تابع احتمال توام • بعضی از آزمایش‌های تصادفی به گونه‌ای می‌باشند که آزمایش‌کننده هم‌زمان می‌تواند دو (یا تعدادی بیشتر) هدف را دنبال کند. اگر هر هدف را با یک متغیر مشخص کنیم، آنگاه در یک آزمایش دو یا چند متغیر بدست خواهد آمد. • تعریف: اگر X و Y دو متغیر تصادفی باشند به طوری که امکان وقوع این دو متغیرهم‌زمان وجود داشته باشد، آنگاه تابع احتمال وقوع هم‌زمانی این دو متغیر را با علامت تابعی fX,Y(x,y) نشان داده و آنرا تابع احتمال توام X و Y گوییم. در حالت گسسته داریم: دانشگاه صنعت آب و برق

3. تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت گسسته دانشگاه صنعت آب و برق

4. مثال دانشگاه صنعت آب و برق

5. تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت پیوسته دانشگاه صنعت آب و برق

6. Generalized to arbitrary region دانشگاه صنعت آب و برق

7. خصوصیات تابع احتمال توام • مثال: از ظرفی که 3 مهره قرمز، 2 مهره آبی و 3 مهره زرد دارد، دو مهره به تصادف و هم‌زمان اختیار می‌شود. در صورتی که متغیر تصادفی X نشان‌دهنده تعداد مهره قرمز در این آزمایش باشد (هدف آزمایش‌کننده شمارش تعداد قرمز است) تابع احتمال X را تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

8. مثال تابع احتمال توام • اگر در مثال قبل متغیر تصادفی Y را تعداد مهره آبی تعریف کنیم. تابع احتمال را تعیین کنید. • مثال: اگر در مثال قبل متغیر تصادفی X نشان‌دهنده تعداد مهره قرمز و متغیر تصادفی Y نشان‌دهنده تعداد مهره آبی تعریف کنیم، تابع احتمال توام آنرا به صورت جدول و فرمول تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

9. مثال تابع احتمال توام دانشگاه صنعت آب و برق

10. مثال تابع احتمال توام • در مثال قبل X را تعداد مهره قرمز، Y را تعداد مهره آبی و Z را تعداد مهره زرد تعریف کنید. fX,Y,Z(x,y,z) را تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

11. مثال تابع احتمال توام • اگر X و Y دو متغیر تصادفی با تابع توام زیر باشند، مقدار ثابت k را تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

12. توزیع‌های کناره‌ای یا حاشیه‌ای • می‌دانیم متغیر X به تنهایی دارای تابع احتمال fX(x) است. • می‌دانیم متغیر Y به تنهایی دارای تابع احتمال fY(y) است. • اگر X و Y به طور هم‌زمان امکان وقوع داشته باشند، آیا میتوان fX(x) و fY(y) را به کمک آن محاسبه کرد؟ • اگر fX(x) و fY(y) در اختیار باشد، آیا می‌توان fX,Y(x,y) را محاسبه نمود؟ • تعاریف بعدی چگونگی محاسبه fX(x) و fY(y) را به کمک تابع توام fX,Y(x,y) نشان می‌دهد. دانشگاه صنعت آب و برق

13. توزیع‌های کناره‌ای یا حاشیه‌ای • تعریف: اگر X و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام fX,Y(x,y) باشد، آنگاه توزیع‌های X و Y را به تنهایی توزیع‌های کناره‌ای گویند که به صورت زیر محاسبه می‌شود. دانشگاه صنعت آب و برق

14. نمایش تابع احتمال حاشیه‌ای در حالت پیوسته دانشگاه صنعت آب و برق

15. مثال توزیع کناری • اگر X و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام زیر باشد، اولا مقدار ثابت k را تعیین کنید. ثانیا توابع توزیع کناره‌ای fX(x) و fY(y) را تعیین کنید. دانشگاه صنعت آب و برق

16. مثال توزیع کناره‌ای • اگر X و Y دو متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال توام زیر باشند، اولا مقدار ثابت k را پیدا کنید. ثانیا توزیع حاشیه‌ای fX(x) و fY(y) را تعیین کنید. • محاسبه مقدار k دانشگاه صنعت آب و برق

17. بقیه مثال توزیع کناره‌ای تابع حاشیه‌ای متغیر تصادفی X تابع حاشیه‌ای متغیر تصادفی Y دانشگاه صنعت آب و برق

18. متغیرهای تصادفی مستقل • فرض کنید X و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام fX,Y(x,y) و توزیع‌های حاشیه‌ای fX(x) و fY(y) باشند. دو متغیر X و Y را مستقل آماری گوییم اگر و فقط اگر داشته باشیم: دانشگاه صنعت آب و برق

19. متغیرهای تصادفی وابسته در حالت گسسته دانشگاه صنعت آب و برق

20. متغیرهای تصادفی وابسته در حالت پیوسته • در وابستگی از تعریف احتمال شرطی استفاده می‌شود. دانشگاه صنعت آب و برق

21. نمایش تابع احتمال شرطی در حالت پیوسته دانشگاه صنعت آب و برق

22. مثال دانشگاه صنعت آب و برق

23. مثال • اگر X و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام باشند، اولا بررسی کنید که X و Y مستقلند یا وابسته. ثانیا تابع احتمال شرطی fY|X(y|x) را بیابید. دانشگاه صنعت آب و برق

24. بقیه مثال • اکنون حاصل‌ضرب توابع حاشیه‌ای محاسبه می‌شود. • در نتیجه مستقلند و داریم: دانشگاه صنعت آب و برق

25. مثال • اگر X و Y دو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام fX,Y(x,y) زیر باشد، مطلوبست محاسبه E(XY)، E(X) و E(Y) دانشگاه صنعت آب و برق

26. امید ریاضی و استقلال دو متغیر تصادفی • اگر X و Y مستقل باشند، آنگاه E(XY)=E(X)E(Y) اما عکس آن درست نیست. اما عکس نقیض برقرار است. یعنی اگر E(XY)E(X)E(Y) آنگاه X و Y مستقل نمی‌باشند (وابسته‌اند) • مثال: بررسی کنید که دو متغیر X و Y مستقلند یا وابسته؟ • بنابراین دو متغیر X و Y وابسته می‌باشند. دانشگاه صنعت آب و برق

27. کوواریانس • کوواریانس • اگر در فرمول امید ریاضی g(X,Y)=(X-X)(Y- Y) باشد، آنگاه آنرا کوواریانس گوییم که عبارتست: • البته کوواریانس را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت: • اگر X و Y از هم مستقل باشند، آنگاه داریم. دانشگاه صنعت آب و برق

28. ضریب همبستگی • ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی X و Y را با علامت  یا (X,Y) نشان داده و به صورت زیر تعریف می‌کنیم: • ضریب همبستگی، ضریبی بدون بعد است. • ثابت میشود که ضریب همبستگی بین -1 و 1 قرار دارد، • اگر X و Y مستقل باشند، آنگاه =0 است. • اگر =0 آنگاه X و Y از هم مستقل خطی هستند ولی ممکن است وابستگی غیر خطی داشته باشند. • اگر =-1 or 1 باشد، آنگاه همبستگی کامل است. دانشگاه صنعت آب و برق

29. مثال ضریب همبستگی (1) • فرض کنید که X یک متغیر تصادفی با تابع احتمال زیر باشد. • مطلوبست تابع احتمال Y=X2 • ضریب همبستگی را محاسبه نمایید. دانشگاه صنعت آب و برق

30. مثال ضریب همبستگی (2) • محاسبه ضریب همبستگی • بنابراین نتیجه می‌گیریم که بین X و Y همبستگی خطی وجود ندارد، اما رابطه غیرخطی بین آن دو برقرار است. دانشگاه صنعت آب و برق