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第三节 初等解析函数

第三节 初等解析函数. 一、指数函数. 二、对数函数. 三、幂函数. 四、三角函数与双曲函数. 五、反三角函数与反双曲函数. 小结与思考. 实的正 余弦函数. 一、指数函数. 这里的 e x 是实指数函数. 1. 指数函数的定义 :. 定义 对于任何复数 z=x+iy , 规定. 2. 指数函数的性质. 复指数函数与实指数函数保持一致. 几点说明：. 加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明. (1) 证明加法定理. 证. 因为：. 例 1. 解. 求出下列复数的辐角主值 :. 例 2. 解. 二、 对数函数.

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第三节 初等解析函数

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  1. 第三节 初等解析函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数与双曲函数 五、反三角函数与反双曲函数 小结与思考

  2. 实的正 余弦函数 一、指数函数 这里的ex是实指数函数 1.指数函数的定义: 定义 对于任何复数z=x+iy,规定

  3. 2. 指数函数的性质 复指数函数与实指数函数保持一致.

  4. 几点说明： 加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明 (1) 证明加法定理 证

  5. 因为：

  6. 例1 解

  7. 求出下列复数的辐角主值: 例2 解

  8. 二、 对数函数 1. 定义 说明： 2.计算公式

  9. 由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数．由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数． 规定： 为对数函数Lnz的主值． 于是： 特殊地,

  10. 例3 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.

  11. 例4 解

  12. 例5 解

  13. 由于对数函数的多值性, 对性质(1)和(2), ３. 对数函数的性质 说明 两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的 任一值, 右端必有值与它相对应．反之也成立．

  14. 证 (3) [证毕]

  15. 三、幂函数 1. 幂函数的定义 注意:

  16. 由对数函数的定义，

  17. 例6 解 课堂练习 答案

  18. 例7 解

  19. 2. 幂函数的解析性 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的,

  20. 四、三角函数和双曲函数 1.正弦与余弦函数 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.

  21. 定义 对任意的复数z,规定z的 性质:

  22. (5) 遵循通常的三角恒等式，如

  23. sinz的零点( sinz=0的根 )为z=n ， (7) cosz的零点( cosz=0的根 )为z=(n+1/2) ； n=0,1, 2,··· sinz,cosz在复数域内均是无界函数． (8) (注意：这是与实变函数完全不同的)

  24. 2.其它复变数三角函数的定义 1.都是相应实函数的推广 2.定义域：tanz,secz的定义域为z(k+1/2) cotz,cscz的定义域为zk 3.它们都在自己的定义域内解析 (tanz)=sec2z,(cotz)=-csc2z(secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz 4. tanzcotz的周期是 secz cscz的周期是2 5 secz是偶函数 tanzcotz, cscz是奇函数

  25. 例8 解

  26. 3. 双曲函数 定义 容易证明:

  27. 它们都是以 为周期的周期函数, 它们的导数分别为 参见课本 P25

  28. 五、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义 利用对数定义，两端取对数得

  29. 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 2. 反双曲函数的定义

  30. 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数

  31. 思考题 １．实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同? 思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,

  32. ２．指出下列解法有何错误． 原因 (3)(4)错了 Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加 荒谬透顶！！！ A={0,1} A+A={0,1,2} 2A={0,2} A+A2A 决不会相等！！！ Paradox 悖论

  33. “所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”

  34. 作业： P26 2.9（3） 2.10 2.11 （1） 2.12

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