AHBE

1. AHBE Applications théoriques, méthodologiques et computationnelles des algèbres de Hopf aux systèmes quantiques aux basses énergies Responsable : Frédéric Patras UMR 6621 (Nice)

2. Etendre à la chimie et à la physique des basse énergies les techniques d'algèbres de Hopf développées pour la théorie quantique des champs Développer des outils combinatoires pour le calcul des niveaux électroniques des systèmes moléculaires ou cristallins Coder la combinatoire des développements perturbatifs Améliorer les outils de resommation en physique des basses énergies Généraliser la méthode de Hartree-Fock aux géminales non orthogonales Calculer les matrices densités Déterminer la structure d'algèbre de Hopf prenant en charge la combinatoire des fonctions de Green des systèmes fortement corrélés Etablir des méthodes de resommation pour les Hamiltoniens effectifs Objectifs de l'ANR

3. Frédéric Patras (DR2, CNRS) UMR 6621 (Laboratoire J.-A. Dieudonné, Nice) Patrick Cassam-Chenaï (CR1, CNRS) UMR 6621 Alessandra Frabetti (MdC) UMR 5208 (Laboratoire Camille Jordan, Lyon) Bruno Valette (MdC) UMR 6621 Christian Brouder (DR2, CNRS) UMR 7590 (Institute de Minéralogie et de Physique des Milieux Condensés, Paris) Partenaires Collaborateurs Yohann Scribano (Post-doc) Kurusch Ebrahimi-Fard, Université de Haute-Alsace (chercheur invité) Jose Maria Gracia-Bondia, Université de Saragosse (chercheur invité)

4. P. Cassam-Chenaï et F. Patras, Symmetry adapted polynomial basis for global potentialenergy surfaces – applications to XY4 molecules, J. Math. Chem. 44 (2008) 938-66 P. Cassam-Chenaï, Geometric measure of indistinguishability for groups of identical particles, Phys. Rev. A 77 (2008) 032103 P. Cassam-Chenaï, The electronic mean-field configuration interaction method. I. Theory and integral formulas, J. Chem. Phys. 124 (2006) 194109 P. Cassam-Chenaï and G. Granucci, The electronic mean-field configuration interaction method. II. Improving guess geminals, Chem. Phys. Lett. 450 (2007) 151-5 K. Ebrahimi-Fard, J. M. Gracia-Bondia et F. Patras, A Lie theoretical approach to renormalization, Commun. Math. Phys. 276 (2007) 519-49 K. Ebrahimi-Fard, D. Manchon et F. Patras, A noncommutative Bohnenblust-Spitzer identity for Rota-Baxter algebras solves Bogoliubov's recursion. J. Noncommutative Geom. (sous presse) Ch. Brouder et F. Patras, Hyperoctahedral Chen calculus for effective Hamiltonians.  arXiv:0812.0061 Ch. Brouder, A. Frabetti et F. Patras. One-particle irreducibility with initial correlations. Cond-Mat/0803.3747 F. Patras, Dynkin operators and renormalization group actions in pQFT. arXiv:0811.4087 Ch. Brouder, A. Frabetti, F. Patras, Decomposition into one-particle irreducible Green functions in many-body physics, Proceedings of the "Conference on Combinatorics and Physics", Bonn, 19-23 March 2007 Ch. Brouder, Quantum field theory meets Hopf algebra, Math. Nachr.  accepté Ch. Brouder, The structure of Green functions in quantum field theory with a general state, in Quantum Field Theory - Competitive Models. Ed. B. Fauser, J. Tolksdorf, E. Zeidler, Birkhäuser, Basel (2009), p. 163-175. Ch. Brouder, A differential identity for Green functions, J. Math. Chem. 44 (2008) 918-37 K. Ebrahimi-Fard, J. Gracia-Bondia et F. Patras, A Lie theoretic approach to renormalization. Comm. Math. Phys. 276 (2007) 519-549 K. Ebrahimi-Fard et F. Patras,  A Zassenhaus-type algorithm solves the Bogoliubov recursion.  Bulgarian J. Phys. 35 (2008), 303-315. Publications

5. Etat de l'art du domaine scientifique • 1998, Connes et Kreimer découvrent que la renormalisation peut être décrite par une algèbre de Hopf • Depuis, plus de 200 articles ont été publiés sur des algèbres de Hopf d'arbres, de graphe et sur la structure algébrique de la renormalisation • Des milliers d'articles ont été publiés sur l'application de la théorie des champs à la physique des solides et à la chimie quantique • Quelques travaux concernent l'interface entre ces deux domaines

6. Positionnement du projet dans le contexte international AUCUNE COMPETITION Toutes celles et ceux qui travaillent à l'interface entre les algèbres de Hopf et la physique des basses énergies sont membres de l'ANR

7. Hamiltonien • Les états propres de sont connus • Hamiltonien adiabatique • On définit l’opérateur d’évolution comme la solution de • avec la condition aux limites • Le Hamiltonien d’interaction est • Tout est bien défini pour Théorie des perturbations (I)

8. Est-ce que est un état propre de ? • Non, car la limite n’existe pas • Si est non dégénéré, la fonction de Gell-Mann et Low • existe et est un état propre de Théorie des perturbations (II)

9. Dans de nombreuses applications, l'état initial est dégénéré • En présence de symétrie • Systèmes avec couches ouvertes (très importants pour les matériaux technologiques) Cas dégénéré

10. Soit le projecteur sur l'espace des états propres de pour la valeur propre • Les valeurs propres du hamiltonien effectif • sont aussi valeurs propres de • Donner une expression perturbative de • Effectuer des resommations de cette expression Hamiltonien effectif

11. L'opérateur d'évolution est l'intégrale itérée • L'opérateur d'onde • Groupe hyperoctaédral (ou permutations signées) • On définit • avec Intégrales itérées

12. Relation avec le produit shuffle • Descente : a une descente en si • et est non signé ou • et est signé • L'opérateur d'onde est • Resommation • avec Coupled cluster dépendant du temps

13. Même dans le cas dégénéré, il est existe des tels que • existe et soit état propre de • Ces sont les vecteurs propres de • On définit la fonction de Green • Déterminer la combinatoire de calcul de la fonction de Green Fonction de Green (I)

14. Développement perturbatif pour la théorie en • Cumulants de : Fonction de Green (II)

15. est l'algèbre polynomiale dans les variables • Pour la fonction de Green est • avec Algèbre de Hopf

16. est la cogèbre construite sur l'e.v. avec le coproduit • est une -comodule cogèbre • Pour et • Les fonctions de Green connexes sont • La structure en fonctions de Green une-particule irréductibles s'exprime également à partir des deux coproduits Structure des fonctions de Green

17. Etendre à la chimie et à la physique des basse énergies les techniques d'algèbres de Hopf développées pour la théorie quantique des champs Développer des outils combinatoires pour le calcul des niveaux électroniques des systèmes moléculaires ou cristallins Coder la combinatoire des développements perturbatifs Améliorer les outils de resommation en physique des basses énergies Généraliser la méthode de Hartree-Fock aux géminales non orthogonales Calculer les matrices densités Déterminer la structure d'algèbre de Hopf prenant en charge la combinatoire des fonctions de Green des systèmes fortement corrélés Etablir des méthodes de resommation pour les Hamiltoniens effectifs Réalisation des objectifs

18. Aspects financiers Conférences: Mathematical methods for ab initio quantum chemistry 2006, 2007, 2008