6.2. Kritická rovnice

1. 6.2. Kritická rovnice • Úlohu budeme řešit za těchto předpokladů: • homogenní násobící soustava má konečné rozměry a je bezreflektoru (tzv.holý reaktor) • zdrojem neutronů v násobící soustavě je pouze štěpná reakce • prostředí je tvořeno volnými jádry • zpomalování se uskutečňuje na tepelné energie • zdroj štěpných neutronů je monoenergetický

2. 6.2.1. Podmínka kritického stavu tepelného jaderného reaktoru Difúzní rovnicimůžeme pro násobící prostředí v nestacionárním stavu napsat ve tvaru: Rozložení hustoty zpomalení získáme řešením Fermiho rovnice stárnutí: Řešení této rovnice vyhovuje počáteční podmínce pro energii neutronů ze zdroje tj. pro  = 0. Hustotu zpomalení neutronů q( ,0,t) získáme řešením Fermiho rovnice stárnutí separací proměnných. Substituce: 

3. Levá strana rovnice závisí jenom na proměnné , pravá strana na stáří neutronů t, proto se musí obě strany rovnat stejné konstantě, kterou označíme -B2. Můžeme psát: nebo a dále: Řešení této rovnice bude mít tvar: Konstanta B2 musí být reálná kladná veličina, protože hustota zpomalení nesmí narůstat s rostoucí hodnotou stáří neutronů.

4. Vyjádříme hustotu zpomalení pro neutrony ze zdroje, tj. t = 0, jako počet rychlých neutronů, které vzniknou v jednotce objemu za jednotku času štěpnou absorpcí. Hustotu zpomalení pro stáří tepelných neutronů tT můžeme potom vyjádřit ve tvaru: Dosazením do difúzní rovnice dostaneme nestacionární rovnici difúze pro tepelné neutrony v násobícím prostředí.  Po úpravě: , kde

5. Zavedeme novou veličinu – B2M – materiálový parametr I pro hustotu toku neutronů můžeme zavést substituci: Dosazením do rovnice, kterou jsme před chvíli odvodili, dostaneme: Levá strana je funkcí prostorových souřadnic a pravá je funkcí času, proto se musí obě strany rovnice rovnat stejné konstantě –B2n, n = 1,2,3 nebo To je tzv. vlnová rovnice, které vyhovují jen tzv. vlastní funkce Laplaceova oprátoru, které přísluší k vlastním hodnotám B2n. A dále: Řešení rovnice má tvar:

6. Seřadíme vlastní hodnoty tak, aby B1<B2<B3<… a položíme: Potom pro všechny vlastní hodnoty, pro které platí ,bude exponent v předchozím výrazu záporný a za dostatečně dlouhý čas všechny Tn(t) s n>1 vymizí. Potom hustota toku neutronů bude ustálená a její rozložení bude dáno vlnovou rovnicí: Prostorové rozložení hustoty zpomalení bude dáno vlnovou rovnící, kterou získáme dosazením vztahu pro hustotu zpomalení do Fermiho rovnice stárnutí. Po úpravě: Předpoklad: q a  mají stejnou extrapolovanou vzdálenost – 

7. Předchozí rovnici můžeme přepsat do tvaru: • To je tzv. kritická rovnice – vyjadřuje podmínku pro vznik samočinně se udržující štěpné řetězové reakce. • - laplasián – nejmenší vlastní hodnota vlnové funkce pro kritický reaktor. Budeme ji nazývat geometrickým parametrem – B2G • hodnota geometrického parametru se zmenšuje se zvětšováním rozměrů soustavy při zachování jejího tvaru. • Potom podmínka pro kritický stav bude mít tvar: • Víme, že reaktor je kritický právě když kef=1, na základě kritické rovnice můžeme efektivní koeficient násobení definovat vztahem:

8. 6.2.2. Únik neutronů z tepelného reaktoru • Veličina k udává průměrný počet tepelných neutronů, které vzniknou v následující generaci v nekonečném prostředí na každý absorbovaný tepelný neutronz předcházející generace • v nekonečně velkém reaktoru, ze kterého by neutrony během zpomalování neunikaly, by byla intenzita neutronových zdrojů rovna . Skutečný počet neutronů, které dosáhnou tepelné energie v jednotce objemu za jednotku času, bude pq(,tT). Pro hustotu zpomalení q(,tT)použijeme rovnici pro stacionární stav, s využitím identity, bude skutečný počet neutronů s tepelnouenergií v jednotkovém objemu za jednotku času: Exponenciální funkce vyjadřuje pravděpodobnost, že neutron při zpomalování zůstanev reaktoru. Můžeme tedy pro veličinu P1 napsat vztah:

9. Nekonečně velký systém: a P1 = 1 Počet tepelných neutronů, které uniknouz jednotky objemu za jednotku času po dobu difúze: Zvlnové rovnice  (využili jsme identity ) Počet tepelných neutronů absorbovaných v jednotce objemu za jednotku času v místě určeném vektorem : Saf() Pravděpodobnost, že neutrony neuniknou z reaktoru během difúze P2, určíme jako poměr počtu tepelných neutronů, které z jednotky objemu neunikly k celkovému počtu tepelných neutronů, které v tomto objemu difundovaly: Únik difundujících neutronů závisí jen na tvaru a rozměrech reaktoru a na čtverci difúzní délky.

10. Součin pravděpodobností P1 s P2 udává celkovou pravděpodobnost, že neutrony neuniknou z reaktoru konečných rozměrů od okamžiku, kdy vznikly jako rychlé neutrony při štěpení, až do chvíle, kdy jsou absorbovány jako tepelné neutrony:

11. 6.2.3. Stanovení kritických rozměrů a kritického složení tepelného reaktoru Při navrhování jaderného reaktoru nás zajímají dva druhy problémů: • známe geometrické uspořádání reaktoru (tvar, rozměry) a chceme určit složení násobícího prostředí, pro které je reaktor kritický • známe složení násobícího prostředí reaktoru a potřebujeme určit jeho kritickou velikost

12. 6.2.4. Geometrický parametr reaktoru různého tvaru • Hledáme řešení vlnové rovnice: • Řešení musí vyhovovat podmínkám: • hustota toku neutronů na extrapolovaném rozhraní je rovna nule • hustota toku neutronů musí být ve zkoumaném reaktoru symetrická, nezáporná a konečná

13. 1. Reaktor ve tvaru kvádru Obr. 6.3 – Reaktor ve tvaru kvádru a průběh hustoty toku neutronů ve směru osy x

14. Vlnová rovnice má tvar: • Okrajové podmínky: • Hustota toku neutronůf(x,y,z) musí být konečná a nezáporná v celém reaktoru • f(x,y,z) = 0 pro x = ± a’/2, y = ± b’/2, z = ± c’/2 Substituce: Po úpravě dostaneme rovnici: Každý z prvních tří sčítanců závisí jen na jedné proměnné každý z nich můžeme položit rovný konstantě:

15. Po dosazení dostaneme pro konstanty podmínku: • Ukážeme, že konstanty a2, b2 a g2 musí být kladné veličiny. • Řešíme diferenciální rovnici s proměnnou x: • Řešení této rovnice závisí na konstantě a2. • Pro a2 > 0 : • Pro 2 < 0 : • A, C, A’ a C’jsou libovolné konstanty • z podmínek pro řešení dostaneme: C = C’ = A’ = 0 • 

16. Z uvedeného rozboru je vidět, že konstanta a2 musí být kladná. Z druhé okrajové podmínky dostaneme: Protože řešení A = 0 je triviální, musí být Tato podmínka bude splněna, když položíme: Nejmenší hodnota veličiny a je pro n = 1 Řešení rovnice můžeme potom napsat ve tvaru:

17. Stejným způsobem dokážeme, že i veličiny b2 a g2 musí mít reálnou a kladnou hodnotu, protože mezi proměnnými x, y, a z není podstatný rozdíl. Můžeme psát: Závislost geometrického parametru na rozměrech tohoto reaktoru bude potom vyjádřena vztahem: Průběh hustoty toku neutronů v kritickém reaktoru obdržímedosazenímfunkcíX(x), Y(y) a Z(z): Konstanta f0 je hodnota hustoty toku neutronů pro x = y = z = 0 a závisí na výkonu reaktoru.

18. 2. Kulový reaktor • použijeme sférické souřadnice • počátek souřadného systému položíme do středu koule • Laplaceův operátor bude mít tvar: • Vlnová rovnice: Okrajové podmínky jsou stejné jako v případě reaktoru ve tvaru kvádru. Pro řešení vlnové rovnice provedeme transformaci:  Geometrický parametr má kladnou hodnotu, proto můžeme řešení této rovnice napsat ve tvaru:

19. Hustota toku neutronů mu¨sí být konečná: C = 0 Potom řešení bude mít tvar: Druhá okrajová podmínka požaduje, aby hustota toku na extra- polovaném poloměru kulového reaktoru byla rovna nule: Aby řešení bylo netriviální (tj. A  0), musí platit: Rovnice je splněna, když BG = n/R’, kde n je celé číslo. Nejnižší vlastní hodnota je pron = 1. Proto geometrický parametr kulového reaktoru: a rozložení hustoty toku neutronů: kde opět konstanta úměrnosti f0 závisí na výkonu reaktoru.

20. 3. Válcový reaktor Obr. 6.4 – Válcový reaktor a rozložení hustoty toku neutronů: 1-(r,0); 2-(0,z)

21. používá se válcová symetrie • válec orientujeme tak, že osa válce bude totožná s osou z a počátek souřadnicového systému položíme do jeho středu: f = f(r,z) • Laplaceův operátor bude mít tvar: • Vlnová rovnice: Okrajové podmínky: • funkce f(r,z) musí být všude konečná a nezáporná • hustota toku neutronů musí být nulová na extrapolovaných rozhraních: a) b)

22. Řešení vlnové rovnice hledáme separací proměnných r a z: Po dosazení a po úpravě získáme rovnici: První člen závisí jen na souřadnici r, druhý jen na souřadnici z, proto můžeme každý z nich položit rovný konstantě: Po dosazení:

23. Nejprve vyřešíme rovnici: po úpravě dostaneme: Zavedením nové nezávisle proměnné u = ar můžeme tuto rovnici upravit na Besselovu rovnici nultého řádu: kde jsme dosadili za a za Pokud bude veličina u2 a tedy i a2 kladná, bude obecné řešení Besselovy rovnice: J0, Y0 - Besselovy funkce nultého řádu prvého a druhého druhu

24. Pokud má veličina u2zápornou hodnotu, řešením Besselovy rovnicejsou modifikované Besselovy funkce I0 a K0. Protože funkce I0 a K0 nevyhovují okrajovým podmínkám této úlohy, musíme je vyloučit. Z průběhu funkcí J0 a Y0 na obr.6.5 je vidět, že musíme vyloučit i funkci Y0, protože pro veličinu u  0 klesá do -. Obr. 6.5

25. Po dosazení původní nezávisle proměnné bude mít řešení tvar: Vztah pro veličinu a určíme z okrajové podmínky pod bodem 2/a: Konstanta A nemůže být rovna nule, proto musí platit: Besselova funkce J0(x) má n vlastních hodnot xn, kde n je celé číslo. Nejnižší vlastní hodnota této funkce je pro n = 1, x1 = 2,405. Pro tuto vlastní hodnotu dostáváme i nejnižší hodnotu veličiny a: Radiální rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru je potom vyjádřeno vztahem:

26. Řešení rovnicepro axiální rozložení hustoty toku neutronů určíme analogickým způsobem jako pro reaktor ve tvaru kvádru. Řešení bude mít tvar: a veličina: Po dosazení získáme pro geometrický parametr válcového reaktoru vztah ve tvaru: Rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru, který je v kritickém stavu, můžeme potom vyjádřit funkcí:

27. Pro r = 0 je funkce J0(ar) = 1 a cos(bz) = 1 pro z = 0, bude proto konstanta f0 představovat maximální hodnotu hustoty toku neutronů v geometrickém středu reaktoru, která je opět úměrná jeho výkonu. Veličiny a2 a b2 ve vztahu pro geometrický parametr (laplasián), se někdy nazývají radiální a axiální složka laplasiánu.

28. 6.2.5. Kritická rovnice pro velký reaktor • laplasián má malou hodnotu, exponenciální funkci můžeme v kritické rovnici rozvinout do nekonečné řady a zanedbáme všechny členy kromě prvních dvou. • v kritickém stavu je , v dalším textu, pokud není nutné rozlišit geometrický parametr od materiálového, budeme laplasián označovat jen symbolem B2 • Exponenciální funkce bude mít potom tvar: • Po dosazení do kritické rovnice dostaneme: • a po úpravě se zanedbáním členu B4L2t dostaneme:

29. Migrační plochu definujemevýrazem: Po úpravě dostáváme kritickou rovnici pro velký reaktor, ve kterém má koeficient násobení khodnotu jen o málo větší než jedna,v následujícím tvaru: Migrační plochaM2 představuje 1/6 průměrné hodnoty čtverce přímé vzdálenosti, kterou projde rychlý neutron od místa vzniku při štěpení až do místa, kde bude absorbován jako tepelný neutron. Odmocnina z M2 je migrační délka a je mírou vzdálenosti, kterou projde neutron od místa vzniku až do absorpce.

30. 6.2.6. Příklad výpočtu kritických rozměrů válcového reaktoru • máme reaktor válcového tvaru, který má extrapolovaný poloměr R’ a extrapolovanou výšku H’ • jsou zadány hodnoty koeficientu násobenía migrační plochy M2= 0,1 m2 • protože k je blízké jedné, můžeme použít kritickou rovnici ve tvaru (uvažujeme homogenní soustavu): • Pro geometrický parametr platí: • Aby reaktor byl kritický, musí platit: •  • Pokud je reaktor nedosáhne kritického stavu.

31. - zvolme extrapolovanou výšku H’ = 6,28 m • potom • Kritický poloměr bude: • V praxi se musí reaktory navrhovat tak, aby jejich rozměry byly větší než vyplývají z podmínky kritičnosti. Vede nás k tomu požadavek, aby reaktor měl na začátku provozu určitý přebytek v efektivním koeficientu násobení o Dkef, anebo tzv. reaktivity, která je definována vztahem:

32. Závislost mezi kritickými rozměry válcového reaktoru pro předepsanou hodnotu : Obr. 6.6