等周问题

1. 等周问题 圆是最完美的图形。 ——但丁

2. 引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） • 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。 • 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 • 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐， • 又跑了许多路再向左拐第二个直弯， • 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里， • 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 • 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 • 托尔斯泰通过小说告诫世人： • 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。

3. 本课题学习的意义 • 苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教师理想的进修课题。” • 等周问题是17世纪数学家感兴趣的问题之一。它在数学发展史上占有重要地位，对变分法的产生和发展起了重要作用。

4. 等周问题的发现——自然界的现象 • 大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，都是圆形的。 • 水管等管道 • 大自然也偏爱球形 • 树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。 • 寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形。 • 很多水果是球形的，等等。 • 这是为什么？

5. 等周问题的发现——泡沫实验 17世纪各种泡沫实验在数学家中风靡一时，实验的目的是从中获取数学猜想。 • 把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上，用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲线立即变成一个圆.

6. 图形 面积 周长为1的图形的面积 圆 0.0793 正方形 0.0625 象限角形900 0.0616 矩形（3：2） 0.0601 半圆 0.0595 等边扇形600 0.0564 矩形（2：1） 0.0556 等边三角形 0.0481 矩形（3：1） 0.0464 等腰直角三角形 0.0427 泡沫实验获得的猜想：在周长为定值的一切封闭曲线中,以圆所围成的面积为最大。 笛卡尔的验证 这个简短的表强烈地暗示出等周定理，因为再在表中增加几个图形，也增加不了多少启发性。

7. 等周定理：周长定值的一切封闭曲线中,圆围成的面积最大 。 • 最后证平分周长与面积的弦AB必是直径； • 假设φ是周长为定值面积最大的封闭曲线。 • 首先证明φ是凸图形, • 然后证明平分φ周长的弦必平分面积； • 综上所述φ为圆.

8. 等周定理的2种形式及其等价 形式1：在所有等周的平面封闭图形中， 以圆面积最大。 • 形式2：在所有等面积的平面封闭图形中，以圆周长最小。 设 是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。

9. 设 是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。 证明：假设 ，使其有周长q，于是由 。作 的同心圆 知，圆 的面积 必在圆 的内部，圆 .但另一方面，由于 和P有相同的周长，依据等周定理1，应有 这就产生了矛盾。 故必有p<q

10. 等周定理应用——纪塔娜问题 • 传说古代非洲沿海某部落酋长答应给纪塔娜一块“由灰鼠皮能包住”的土地。纪塔娜想出了巧妙的办法，在海岸边划出了一块意想不到大的土地。问：纪塔娜如何围呢？ 结论：沿海岸线用这条长线围成一半圆时，“土地”面积最大。 将灰鼠皮尽量剪细，结成尽可能长的一条线。 沿海岸线对称，则构成一周长为定值的封闭图形。

11. 多边形等周定理 • 在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n边形面积最大？ • 注意：⊿ABC的边AB固定，其它两边之和一定的所有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。 法1 利用三角形面积的海伦公式 法2 顶点C的轨迹是椭圆，故当点C在短轴的顶点时面积最大。 • 引理1：在周长为定值l的n(n≥3)边形中，要使其面积最大，各边必须相等。

12. 多边形等周定理 • 确认一个事实： • 在边长给定的n边形中，一定存在一个内接于圆的n边形。 • 引理2：在各边之长固定的所有n边形中，能内接于圆的n边形面积最大。

13. 多边形等周定理的证明 • 多边形等周定理： • 在周长为定值l的一切n(n≥3)边形中，正n边形的面积最大。 证明：设Φ是那个面积最大的n边形， 则Φ的各边相等（等于l/n）， 否则，据引理1可找到比Φ的面积更大的n边形。 Φ既然是边长为l/n的n边形， 由引理2，Φ一定内接于圆。 综上所述，Φ是正n边形。

14. 总结：等周定理系列 • 在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。 • 在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长最小。 • 在所有等周的n(n≥3)边形中，正n边形面积最大。 • 在所有等面积的n(n≥3)边形中，正n边形的周长最小。 • 空间中有类似的定理。

15. 应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） • 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。 • 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 • 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐， • 又跑了许多路再向左拐第二个直弯， • 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里， • 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 • 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 • 托尔斯泰通过小说告诫世人： • 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。

16. 等周问题的应用3——杆和绳 • 已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的相应各端系在一起（当然绳比杆长），怎样才能围出最大的面积? 弓形 弓形 结论：当绳构成一段圆弧时，由杆和绳所围成的面积最大。

17. 杆和绳问题推广 两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何结成一曲边四边形ABCD，才能围出最大面积？ 答：当绳BC和AD是以杆AB和CD为弦的同一圆的圆弧时有最大值。 类似的，n根杆与n条绳交替相连，当所有杆均为同一圆的弦，所有绳均为该圆的圆弧时，由这2n段组成的封闭曲线有最大面积。

18. 等周定理应用4——海角问题 • 已知一张开小于1800的角。用一定长的线截此角，怎样才可使截下的曲边三角形面积最大？ • 考虑特殊角，如120度，90度，45度等情形，你能获得什么结论？ 结论：若已知角的n倍恰为360度，则以角的顶点为圆心且圆弧为定长所围成的曲边三角形最大面积。

19. 进一步猜想： 用一定长的线截一小于1800的角，则以角的顶点为圆心、定长为圆弧所围成的曲边三角形面积最大。 对吗？

20. 问题的解决—猜想的证明 1.给定一个角和分别在两边上的定点A,B，问如何由此角和连接A,B的定长曲线围出最大面积的曲边三角形？ 连结A,B两点，转化为“一根杆和一条绳”问题 A B

21. 1的结论：当具有已知长度的曲线为圆弧时面积最大1的结论：当具有已知长度的曲线为圆弧时面积最大 2.给定一角和其中一边上的定点A，求由此角和过点A的定长曲线围出的最大面积。 将角AOC关于OC反射，问题归结为1 2的结论：当具有已知长度的曲线为垂直OC的圆弧时有最大值 但尚不知给定的一角为钝角的情形。？？

22. 3.给定一锐角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角形AOB？ 利用局部变动法。把A当成固定的，由2知其解为垂直于OB的圆弧；把B当成固定的，由2知其解为垂直于OA的圆弧。最后，解是既垂直于OA又垂直于OB的圆弧，因此其圆心为O。 所以，以O为圆心，圆弧长为定长的曲边三角形AOB面积最大。 B

23. A 征解：给定一钝角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角形？

24. 练习 • 5、水槽问题 • 已知马口铁的宽度为b，用它来制作水槽。由于水槽的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面尽可能地大。 • ①若要求水槽的截面为等腰梯形，那么如何设计水槽的底与腰长以及底角，才能使水槽中水的流量最大？若水槽的截面为五边形，又该如何设计？说明理由。 • ②问怎样利用马口铁的现有宽度，来满足水槽具有最大截面的要求？说明理由。 • 6、（1978年北京市数学竞赛题）设有一直角O，试在直角的一边上求一点A，在另一边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长l，且使四边形ACBO的面积最大。

25. 问题探讨 • 1.表面积为定值，体积最大的n棱柱的形状如何？说明理由。 • 2.表面积为定值，体积最大的柱体形状如何？说明理由。

26. 结语 • 等周定理能启迪我们不断提出问题； • 波利亚说，等周的根深札于我们的经验直觉之中，它是灵感的不竭源泉。