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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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  1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Septième cours ACT2025 - Cours 7

  2. Rappel: • Méthode de bissection ACT2025 - Cours 7

  3. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » ACT2025 - Cours 7

  4. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » • Annuités simples ACT2025 - Cours 7

  5. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » • Annuités simples • Période de paiement ACT2025 - Cours 7

  6. Rappel: • Méthode de bissection • Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » • Annuités simples • Période de paiement • Annuité simple constante de fin de période (« annuities-immediate ») ACT2025 - Cours 7

  7. Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Rappel: ACT2025 - Cours 7

  8. Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.La valeur actuelle de cette annuité (c’est-à-dire au début de la première période) est notée Rappel: ACT2025 - Cours 7

  9. Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel: ACT2025 - Cours 7

  10. Rappel: Nous avons montré que où = (1 + i)-1 ACT2025 - Cours 7

  11. Exemple 1: Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. ACT2025 - Cours 7

  12. Exemple 1: Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? ACT2025 - Cours 7

  13. Exemple 1: Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i(2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? (b) Quel sera le montant d’intérêt gagné dans ce placement? ACT2025 - Cours 7

  14. Exemple 1: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le retrait semestriel est noté par R ACT2025 - Cours 7

  15. Exemple 1: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. ACT2025 - Cours 7

  16. Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt par semestre est Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. ACT2025 - Cours 7

  17. Exemple 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est ACT2025 - Cours 7

  18. Exemple 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est c’est-à-dire ACT2025 - Cours 7

  19. Exemple 1: (suite) Le montant d’intérêt gagné par Yorick est 30R - 80 000 = 30(4081.54) - 80 000 = 42 446.20$ ACT2025 - Cours 7

  20. Interprétation de la formule: ou plutôt ACT2025 - Cours 7

  21. Interprétation (suite): Ceci correspond à l’équation de valeur à t = 0 de 1 dollar investi pour n périodes de capitalisation pendant lesquelles ce 1 dollar rapporte de i dollars d’intérêt à la fin de chaque période et qu’à la fin de la ne période 1 dollar est remboursé. ACT2025 - Cours 7

  22. Interprétation (suite): Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT2025 - Cours 7

  23. Revenons à notre annuité, à savoir celle pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. ACT2025 - Cours 7

  24. La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la ne période (c’est-à-dire au temps t = n) est notée Notation: ACT2025 - Cours 7

  25. Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 7

  26. Alors ACT2025 - Cours 7

  27. Alors En utilisant la formule connue: ACT2025 - Cours 7

  28. Alors En utilisant la formule connue: nous obtenons ACT2025 - Cours 7

  29. Exemple 2: Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. ACT2025 - Cours 7

  30. Exemple 2: Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? ACT2025 - Cours 7

  31. Exemple 2: Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? (b) Quel sera le montant total d’intérêt gagné dans ce placement? ACT2025 - Cours 7

  32. Exemple 2: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le dépôt mensuel est noté par R ACT2025 - Cours 7

  33. Exemple 2: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. ACT2025 - Cours 7

  34. Exemple 2: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. Le taux d’intérêt par mois est ACT2025 - Cours 7

  35. Exemple 2: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est ACT2025 - Cours 7

  36. Exemple 2: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est c’est-à-dire ACT2025 - Cours 7

  37. Exemple 2: (suite) Le montant total d’intérêt gagné par Alex est 20 000 - 60 R = 20 000 - 60(301.66) = 1900.40 $ ACT2025 - Cours 7

  38. Exemple 3: Bobby a déposé à la fin de chaque trimestre 1000$ dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt i(4) = 6% par année capitalisé à tous les trois mois. Quel sera le montant accumulé dans ce compte après 7 ans? ACT2025 - Cours 7

  39. Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où X est le montant accumulé à la fin de la 7e année ACT2025 - Cours 7

  40. Exemple 3: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. ACT2025 - Cours 7

  41. Exemple 3: (suite) Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. Le taux d’intérêt par trimestre est ACT2025 - Cours 7

  42. Exemple 3: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est ACT2025 - Cours 7

  43. Exemple 3: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est c’est-à-dire ACT2025 - Cours 7

  44. Nous allons maintenant relier les valeurs actuelles et accumulées d’une même annuité. ACT2025 - Cours 7

  45. Formule 1: ACT2025 - Cours 7

  46. Formule 1: Formule 2: ACT2025 - Cours 7

  47. Formule 1: Formule 2: Cette dernière formule a une interprétation avec les concepts d’amortissement et de fonds d’amortissement. ACT2025 - Cours 7

  48. Considérons maintenant une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits au début de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.Nous dirons que c’est une annuité simple constante de début de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities-due ». Définition: ACT2025 - Cours 7

  49. La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période (c’est-à-dire au temps t = 0 ou encore au moment du premier paiement) est notée Notation: ACT2025 - Cours 7

  50. Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Notation: (suite) ACT2025 - Cours 7