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菱形的判定 - PowerPoint PPT Presentation


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菱形的判定. 独孤づ寒冰 . 1 . 如图, AB 、 CD 是⊙ O 的两条直径,四边形 ACBD 是矩形吗?证明你的结论.. ∵ AO=BO,CO=DO (圆的相等半径) ∴四边形 ABCD 是平行四边形( ① ) ∵ AB=CD( 圆的直径相等) ∴四边形 ABCD 是矩形 ( ② ). ABCD. 2 . 如图,  ABCD 中,∠ 1=∠2. 此时四边形 ABCD 是矩形吗?为什么?. ∵ ∴ AO=CO,BO=DO

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Presentation Transcript
slide1

菱形的判定

独孤づ寒冰

slide2

1. 如图,AB、CD是⊙O的两条直径,四边形ACBD是矩形吗?证明你的结论.

∵AO=BO,CO=DO

(圆的相等半径)

∴四边形ABCD是平行四边形( ① )

∵AB=CD(圆的直径相等)

∴四边形ABCD是矩形

( ② )

slide3

ABCD

2. 如图,ABCD中,∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗?为什么?

∴AO=CO,BO=DO

( ① )

∵ ∠1=∠2

∴AO=BO( ② )

∴AC=BD

∴四边形ABCD是矩形

( ③ )

slide4

ABCD

1. 如图,ABCD中,AB=6, BC=8, AC=10.求证四边形ABCD是矩形.

∵ AB=6,BC=8,AC=10

且62+82=102

∴AB2+BC2=AC2

∴ ∠B=900( ① )

∴四边形ABCD是矩形

( ② )

slide5

2. 如图,△ABC中,AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线,BE⊥AE.求证: AB=DE.

∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2

(等腰三角形三线合一)

∵ AE平分∠BAF

∴ ∠2= ∠BAF/2

∵ ∠BAC + ∠BAF=1800

∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900

∵ BE⊥AE

∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900

∴四边形BDAE是矩形( ① )

1

2

F

slide6

已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于O,简述平行四边形的性质:已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于O,简述平行四边形的性质:

复习:

两组对边分别平行

两组对边分别相等

一组对边平行且相等

角:

两组对角分别相等

对角线互相平分

对角线:

slide7
复习:菱形的特殊性
  • 边:
  • 角:
  • 对角线:

四边相等

对角线平分一组对角

对角线互相垂直平分

菱形的性质有:

1.两条对角线互相平分

2.四条边都相等

3.每条对角线平分一组对角

slide8

A

D

B

C

判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形

O

∵ ABCD AB=BC

∴四边形ABCD是菱形

判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形

判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形

∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形

判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC

∴四边形ABCD是菱形

问:如何证明判定定理2和判定定理3呢?

slide9

ABCD

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

已知 ABCD中,对角线AC、BD互相垂直,

求证:四边形ABCD是菱形.

证明:在 中,OA=OC

( ①).

又∵AC⊥BD,

∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线,

∴ AB=BC,

∴ 四边形ABCD是菱形

( ②).

slide10

A

D

B

C

判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形

已知:AB=BC=CD=DA

求证:四边形ABCD是菱形

∵AB=CD,BC=AD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AB=CD

∴四边形ABCD是菱形

(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)

slide11

A

D

B

C

判断对错:

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形。 ( )

(2)对角线垂直且平分的四边形是菱形。 ( )

(3)对角线垂直的矩形是菱形。 ( )

(4)对角线垂直且相等的四边形是菱形。 ( )

(5)有一条对角线平分一组对角的四边形

是菱形。 ( )

slide12

证明 ∵ 四边形ABCD是矩形,

∴ AE∥FC( ① )

∴ ∠1=∠2.( ② )

∵ EF平分AC,

∴ AO=OC.

又∵ ∠AOE=∠COF=90°,

∴ △AOE≌△COF( ③ ),

∴ EO=FO,

∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ )

又∵EF⊥AC,

∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )

已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,

求证:四边形AFCE是菱形

slide13

1. 如图,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.

2. 如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AC于E,DG⊥AB于G,EK⊥AB于K,GH⊥AC于H,EK和GH相交于点F.求证: 四边形DEFG是菱形.

slide14

3. 如图,菱形ABCD的周长为2p,对角线AC、BD交于O,AC+BD=q,求菱形ABCD的面积.

(提示: 利用两数和的平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理)

slide15
小结:
  • 菱形的证明方法

判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形

判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形

判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

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作业:
  • 课本P116