结构力学

1. 结构力学 结构力学教研室 长安大学建筑工程学院

2. 第八章 力 法

3. §8.1力法基本概念 • 1. 力法基本概念 • 力法基本未知量 超静定结构是有多余约束的几何不变体系，具有多余约束是其与静定结构在几何组成上的区别，也是造成其仅用静力平衡条件不能求解的显见原因。 力法的基本未知量是超静定结构多余约束中的多余力。

4. 力法基本体系 (a)原结构 (b)基本体系 图8-1-1

5. 如图8-1-1(a)所示为有一个多余约束的几何不变体系。取B支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力x1，见图(b)。如图8-1-1(a)所示为有一个多余约束的几何不变体系。取B支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力x1，见图(b)。 设想x1是已知的，图(b)所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，如果x1等于原结构B支座的反力，则图(b)所示体系就能代替原结构进行分析。

6. 超静定结构去掉多余约束，并代以多余力后的体系，作为原结构的力法基本体系。本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫力法基本结构。超静定结构去掉多余约束，并代以多余力后的体系，作为原结构的力法基本体系。本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫力法基本结构。 • 力法基本方程 力法基本方程，应是求解结构多余约束中多余力的条件方程。

7. 受力条件只能从原结构的外荷载、多余约束，与基本体系的外荷载及相应的多余约束力定性一致考虑，见图8-1-1。受力条件只能从原结构的外荷载、多余约束，与基本体系的外荷载及相应的多余约束力定性一致考虑，见图8-1-1。 变形和位移条件是结构内部对外力响应的外部表现形式，见图8-1-2(a)、(b)所示，可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条件定量分析。

8. (a)原结构 (b)基本体系 该条件可表示为： (a) 利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用下的两种情况，分别分析后再叠加。分解后，见图(c)、(d)所示

9. 与 叠加， 得： 即： + = + 0 = 使 式(b)改写成： = = 0 + (c) (d) (b) (c)

10. 力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。即位移条件。力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。即位移条件。 例8-1-1试用力法计算图(a)所示超静定梁，并作梁的弯矩图。 (a)原结构

11. 解： (2)作 和 图 图 见图(c)、(d) (1)取基本体系如图(b)。 (b)基本体系 (c) (d)

12. (3)作弯矩图，见图(e)。 (e) 2.力法基本未知量的确定 确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系。

13. 如图8-1-3(a)所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b) (a)原结构 (b)基本结构1 (c)基本结构2 图8-1-3

14. 一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。 力法基本未知量数=结构的多余约束 数=结构的超静定次数

15. 对于较复杂的超静定结构，则可采用拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。对于较复杂的超静定结构，则可采用拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。 拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下： • 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆， 相当于去掉一个约束；

16. 切开一个单铰或去掉一个固定 铰支座，相当于去掉两个约束； • 切断一根连续杆或去掉一个固 定支座，相当于去掉三个约束； • 将固定端换成固定铰支座或在 一根连续杆上加一个单铰，相 当于去掉三个约束。

17. 用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意：用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意： • 结构上的多余约束一定要拆干净， 即最后应是一个无多余约束的几 何不变体系； • 要避免将必要约束拆掉，即最后 不应是几何可变体系或几何瞬变 体系。

18. 例8-1-2试确定图(a)、(b)所示结构的基本未知量。 (a) (a1) (a2)

19. (b) (b1) (b2)

20. §8.2 在荷载作用下的力法方 程及示例 1. 两次超静定结构的力法方程

21. 方向的位移条件 方向的位移条件 取原结构的力法基本体系如图(b) (b)

22. 分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图(c)、(d)、(e)所示。分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图(c)、(d)、(e)所示。 (c) (d)

23. (e) 将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得： (a)

24. (b) 引入位移影响系数,并代入位移条件，式(a)写成： 式(b)既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。

25. …………….. …………….. 2.次超静定结构的力法方程（力法典型方程） 由两次超静定结构的力法方程推广，得： (8-2-1)

26. + = (8-2-1a) 力法方程是力法基本结构与原结构一致的位移条件。 写成矩阵形式：

27. 柔度矩阵特征 在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角的斜直线）排列的是主系数。主对角线两侧，排列的是副系数。根据位移互等定理，在主对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系数为 个。

28. 例8-2-1 使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作弯矩图。 (a)

29. 解： (1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系。见图(b)。 (b)基本体系

30. (2)写力法方程。 (a) (3)求力法方程中的系数和自由项。 1)作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。

31. (c) (d) (e)

32. 2) 图乘求系数和自由项。

33. 的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做自乘。的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做自乘。 可由 可由 图的面积与该面积形心对 应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），叫做互乘。 由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图自乘或互乘的过程。

34. 3)将所的系数和自由项代入力法方程(a)，并求解多余力。 简化为： (b)

35. (c) 解方程，得： 4)作弯矩图。见图(f)。 (f)M图

36. （上侧受拉） （下侧受拉） 利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端（控制截面）弯矩值：

37. 说明： (1)超静定结构的内力只与杆件刚度EI的 相对值有关，而与其绝对值无关。 (2)作最后弯矩图的叠加公式。 (3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚 架，并仅在荷载作用下） • 确定结构的力法基本未知量，并绘出 相应的力法基本体系；

38. 作基本结构的各单位多余力弯矩 图及荷载作用下的弯矩图； • 求力法方程中的系数和自由项； • 将系数和自由项代入力法方程， 求解多余未知力； • 叠加法计算控制截面的弯矩值， 作结构的弯矩图； • 由弯矩图作结构的剪力图，再由 剪力图作结构的轴力图；

39. 校核力法计算结果。 例8-2-2计算图(a)所示超静定刚架， 并作弯矩图。 (a)

40. (1) 确定基本未知量，并选择基本体系。 对图(b)、(c)所示的两个基本体系比较。 解： (b)基本体系1 (c)基本体系1

41. (b1) (b2) (b3) (c1) (c2) (c3)

42. (2) 计算系数和自由项

43. 解得： （右侧受拉） （左、上侧受拉） (3)将系数和自由项代入力法方程，并求解： (4)计算杆端弯矩，并作弯矩图

44. (d)M图 说明： 力法简化计算主要是使力法方程解耦或使联立数目减少。当所有的副系数等于零时，力法方程是完全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，应使尽可能多的副系数等于零 。

45. 在选择力法基本体系上注意比较对照，往往起到使力法方程解耦、或减少计算量的效果，节省时间并有利于得出正确的结果。 例8-2-3 用力法计算图(a)所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆的轴向刚度EA=常数，且A=I/16。

46. 解： (1)确定力法基本体系 (a) (b)

47. 力法方程为： (2)计算力法方程中的系数和自由项 (c) (d) 因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见图(d)。

48. 显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆不用变形特点的位移计算式。计算如下： (3)将系数和自由项代入力法方程，并 解之：

49. （压力） （拉力） (4)计算内力 （下侧受拉） 桁架杆轴力：

50. (e) 力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式： 梁和刚架：