中考典型问题的考法与复习教学对策

1. 中考典型问题的考法与复习教学对策 王建伟 2014.4

2. 一、中考数学命题趋势 • 1.强调“四基”的考查 • 中考数学重视对基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的考查，试卷中有大量来源于课本的基础题，这些题往往把课本例题、习题作适当地变化或引申。这要求教师在平时的教学中要钻研课本，重视学生基础知识技能的掌握情况。

3. 2. 突出数学思想方法的考查 • 数学思想方法也是中考数学的重要考查点，包括数形结合思想、方程与函数建模思想、分类讨论思想、化归思想、配方法、待定系数法等。

4. 3.重视数学应用意识的考查 • 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，学习数学的根本目的在于运用数学知识去解决实际问题．中考数学中十分注重对学生应用意识的考查。

5. 4.突出创新意识的考查 • 让学生在探究、操作中研究数学，是2013年安徽省试题的又一特色．如第14 题探究矩形底片折叠后得到的新平面图形的性质，第18 题探究正六边形平移的特征点和对称中心问题，第23 题让学生探究新定义“准等腰梯形”的相关性质和结论等

6. 二、函数考法分析 • 函数的自身结构特点和它在数学中的地位决定了它不仅与数学其他知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用。因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学中不可缺少的重要内容，其呈现方式灵活多变，无论在填空题、选择题，还是解答题中，都有考查函数知识的内容，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用。

7. 三、函数的考法举例 ①考查函数关系的确定 ②考查函数的性质 ③考查函数图像信息 ④考查函数与方程、不等式的横向联系 ⑤应用函数建模思想和方法解决方案设计、最大利润等实际问题 ⑥函数图像与相似、解直角三角形等几何知识的综合应用 ⑦函数图像与运动问题

8. ①考查函数关系的确定 • 例1.(2013 安徽）已知二次函数的顶点坐标为（1，-1），且经过原点，求该函数的解析式。 • 例2.(2010 安徽）点P（1，a）在反比例函数的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求反比例函数的解析式。

9. y C B A O x • 例3.（2011 安徽）如图，函数y1＝k1x＋b的图 象与函数y2＝ (x＞0)的图象交于点A(2，1)、B，与y轴交于点C(0，3)． (1)求函数y1的表达式和点B的坐标； (2)观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．

10. 例4.(2012 安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。 （1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？ （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率 为p（p= ），写出p与x之间的 函数关系式，并说明p随x的变化情况；

11. （3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。

12. 考法分析及复习教学对策 • 这类题型是近年安徽中考的热点问题，其中例1、例2主要考查学生对函数概念及其解析式的掌握情况，难度不大。 • 例3根据图象确定函数的关系式是中考试题中的常见类型，它将数形结合与待定系数法有机融合在一起，考查了函数的意义、性质及其应用。 • 例4是根据实际问题背景，考查学生把握数量关系，列式得到函数解析式的能力。以及利用函数知识进行决策的能力。

13. 考法分析及复习教学对策 • 安徽省历年的中考试题都把考查学生的数学基础知识与基本能力放在重要地位．然而，从试卷中暴露出来的问题又可以看到，学生基础知识不扎实，是失分的重要原因之一，因此加强基础知识教学是中考复习的首要任务.

14. ②考查函数的性质 • 例5.（2013陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2,m），B（n，３），那么一定有（ D ） A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C． m<0， n>0 D． m<0， n<0

15. 例6.（2013济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ B ） A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0 C．c＜0 D．当x ＞ 1时，y随x的增大而增大

16. 考法分析及复习教学对策 • 例5考查学生对函数图像分布象限情况的掌握，以及各象限内点的坐标符号特点。 • 例6考查学生系数对函数图像的影响、函数图像的增减性、何时函数值大于0等等。 • 函数图像及其性质是函数的重点内容，应让学生利用数形结合，做到切实掌握。

17. ③考查函数图像信息 • 例7.（2013 武汉）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回． 设x秒后两车间的距离为y 千米，y关于x的函数关系如 图所示，则甲车的速度 是米/秒．

18. ③考查函数图像的信息 • 例8.（2013兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（　　） A. B. D. C.

19. 考点：动点问题的函数图象． • 方法一：定量分析，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． • 解答：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B

20. 方法二：定性分析 从变化趋势和变化速度考虑 A. B. D. C. C.

21. 考法分析及复习教学对策 • 例7考查学生由函数图像获取信息的能力。 • 例8考查学生根据题目信息得到函数图像的能力。 • 处理这类问题要求学生认真理解题意，分清自变量和函数表示的意义，如y是行驶路程还是离某地距离；是离某地距离还是两车相距距离等。弄清函数值的增减性、增减的速度与函数图像的关系等。

22. ④考查函数与方程（组）、不等式的横向联系 • 例9.（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y= , 则（　A　） ①如果 ，那么0＜a＜1； ②如果 ，那么a＞1； ③如果 ，那么﹣1＜a＜0； ④如果 ，那么a＜﹣1． A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是① D．错误的命题只有③

23. 例10.（2013 德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4

24. 解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误；解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误； • 当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误； • ∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确； • ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．

25. 考法分析及复习教学对策 • 例9考查了二次函数与不等式组的关系，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键． • 例10考查了函数与方程、不等式的关系. • 教学中要让学生深刻领会函数与方程、不等式之间的联系，重视数学结合思想，形成知识网络。

26. ⑤应用函数建模思想和方法解决方案设计、最大利润等实际问题⑤应用函数建模思想和方法解决方案设计、最大利润等实际问题 • 例11.（2013十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： （1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

27. 解（1）应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏 （2）设商场销售完这批台灯可获利y元， 则y=（45﹣30）x+（75﹣50）（100﹣x） =﹣5x+2000， ∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴100﹣x≤3x，∴x≥25， ∵k=﹣5＜0，∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元） 答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．

28. 例12（2013徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：例12（2013徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： （1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费150元；

29. （2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

30. 分析：（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；分析：（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用； （2）结合统计表的数据，根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可； （3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况： x＞125，175﹣x≤75时； 75＜x≤125，175﹣x≤75时； 75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．

31. 考法分析及复习教学对策 • 例11需要利用方程思想和函数建模思想解决方案设计和最大利润问题. • 例12考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

32. 考法分析及复习教学对策 • 2013年的安徽中考试题非常注重数学思想方法的考查，例如第16 题的待定系数法、第17 题数形结合思想、第18 题的归纳思想、第20 题的方程思想、第22 题的函数模型思想、第21 题的样本估计总体的统计思想、第23 题的分类思想等． • 数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想．只要我们掌握了这些基本的思想方法，我们在解决数学问题时，就能抓住了中学数学知识的精髓．

33. ⑥函数图像与相似、解直角三角形等几何知识的综合应用⑥函数图像与相似、解直角三角形等几何知识的综合应用 例13.（2013东营）如图，已知直线l：y= x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l 的垂线交y轴于点A2；……按此 作法继续下去，则点A2013的坐标 为. （注：以上两答案任选一个都对）

34. ⑥函数图像与相似、解直角三角形等几何知识的综合应用⑥函数图像与相似、解直角三角形等几何知识的综合应用 • 例14.（2013上海） 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM，求∠AOM的 大小； （3）如果点C在x轴上，且 △ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

35. 分析：1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小． 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

36. 考法分析及复习教学对策 • 例13是一次函数与解直角三角形的综合应用，还要求学生能通过对前几次变换进行计算，发现规律并应用该规律完成解题。 • 例14是二次函数与解直角三角形、相似、分类讨论等知识的综合应用。 • 这种题型体现了“数形结合”的思想，综合程度高，难度较大，是中考中区分度较大的题型。要求学生有扎实的基本功和良好的综合应用能力。

37. ⑦函数图像与运动问题 • 例15（2013江苏扬州）如图，抛物线y＝x2－2x－8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B. （1）求直线AB对应的函数关系式； （2）有一宽度为1的直尺平行 于轴；在点A、B之间平行移动； 直尺两边长所在直线被直线AB 和抛物线截得两线段MN、PQ. 设M点的横坐标为m；且0<m<3. 试比较线段MN与PQ的大小.

38. 分析：(1）A（(0，一8)，B（4，0)，直线AB的解析式为y＝2x－8分析：(1）A（(0，一8)，B（4，0)，直线AB的解析式为y＝2x－8 (2）由题意知M点坐标为（m，2m－8) ，N点坐标为（m，m2－2m－8)，且0＜m＜3 所以MN＝(2m－8)一（m2－2m－8) ＝－m2＋4m 同理可得PQ＝－（m＋1)2十4(m＋1) ＝－m2十2m＋3 • ①当PQ＞MN时，－m2十2m＋3＞－m2＋4m，解得m＜ ，∴0＜m＜ 时，PQ＞MN • ②当PQ＝MN时，－m2十2m＋3＝－m2＋4m，解得m＝ ，∴m＝ 时，PQ＝MN • ③当PQ＜MN时，－m2十2m＋3＜－m2＋4m，解得m＞ ，∴当 ＜m＜3 时PQ＜MN． • 注：写m的取值范围时未考虑0＜m＜3条件的统一扣1分．

39. 考法分析及复习教学对策 • 例15是二次函数综合题型，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，同时需要分类讨论。

40. 四、中考复习的一些建议 • 明确方向，制定切实可行的目标计划 • 加强基础知识教学，保证基本题学生不丢分 • 重视学生数学思想方法的教学 • 培养学生认真审题的习惯，提高学生解题速度 • 作业、试卷讲评要到位