Aula T05 – BCC202 Análise de Algoritmos (Parte 3) Túlio Toffolo decom.ufop.br/toffolo

1. Aula T05 – BCC202 Análise de Algoritmos (Parte 3)Túlio Toffolowww.decom.ufop.br/toffolo

2. Como escolher o algoritmo mais adequado para uma situação? (Continuação)

3. Comportamento Assintótico de Funções • Nas aulas passadas aprendemos: • Como calcular a função de complexidade f(n). • Melhor caso x Caso médio x Pior caso • Qual a influência desta função em algoritmos aplicados sobre problemas de tamanho pequeno? • E sobre problemas grandes? • Estuda-se o comportamento assintótico das funções de custo. O que isto significa?

4. Qual a função de complexidade para MaxMin1? Seja f(n) o número de comparações entre os elementos de A, se A contiver n elementos. Logo f(n) = 2(n-1)para n > 0, para o melhor caso, pior caso e caso médio. void MaxMin1(int* A, int n, int* pMax, int* pMin) { int i; *pMax = A[0]; *pMin = A[0]; for (i = 1; i < n; i++) { if (A[i] > *pMax) *pMax = A[i]; if (A[i] < *pMin) *pMin = A[i]; } } 2*(n-1)

5. Exemplo - Maior e Menor Elemento (2) MaxMin1 pode ser facilmente melhorado: a comparação A[i] < *pMin só é necessária quando a comparação A[i] > *pMax dá falso. void MaxMin2(int* A, int n, int* pMax, int* pMin) { int i; *pMax = A[0]; *pMin = A[0]; for (i = 1; i < n; i++) { if (A[i] > *pMax) *pMax = A[i]; else if (A[i] < *pMin) *pMin = A[i]; } }

6. Qual a função de complexidade para MaxMin2? Melhor caso: quando os elementos estão em ordem crescente; f(n) = n – 1 Pior caso: quando o maior elemento é o primeiro no vetor; f(n) = 2(n – 1) Caso médio: No caso médio, A[i] é maior do que Max a metade das vezes. f(n) = 3n/2 – 3/2 void MaxMin2(int* A, int n, int* pMax, int* pMin) { int i; Max = A[0]; Min = A[0]; for (i = 1; i < n; i++) { if (A[i] > *pMax) *pMax = A[i]; else if (A[i] < *pMin) *pMin = A[i]; } }

7. Comportamento Assintótico de Funções • Nas aulas passadas também aprendemos: • Comportamento assintótico das função de complexidade f(n). • Dominação Assintótica • Notação O. • Notação Ω e Notação Ө.

8. Dominação Assintótica • f(n)domina assintoticamenteg(n) se: • Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, temos |g(n)| ≤ c|f(n)|.

9. Notação O O valor da constante m mostrado é o menor valor possível, mas qualquer valor maior também é válido. Definição: uma função g(n) é O(f(n)) se existem duas constantes positivas c e m tais que g(n) ≤ c f(n), para todo n ≥ m.

10. Operações com a Notação O

11. Qual a complexidade da função MaxMin1? Seja f(n) o número de comparações entre os elementos de A, se A contiver n elementos. Logo f(n) = 2(n-1)para n > 0, para o melhor caso, pior caso e caso médio. void MaxMin1(int* A, int n, int* pMax, int* pMin) { int i; *pMax = A[0]; *pMin = A[0]; for (i = 1; i < n; i++) { if (A[i] > *pMax) *pMax = A[i]; if (A[i] < *pMin) *pMin = A[i]; } } O(n)

12. Exercício da Última Semana... void exercicio1 (int n) { int i, a; a = 0; i = 0; while (i < n) { a += i; i += 2; } } void exercicio2 (int n) { int i, j, a; a = 0; for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < i; j++) a += i + j; } O(n) O(n2)

13. Notação Ω • Especifica um limite inferior para g(n). • Definição: Uma função g(n)é Ω(f(n)) se: • Existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, temos |g(n)| ≥ c|f(n)|.

14. Notação Ө • Exemplo gráfico de dominação assintótica que ilustra a notação Ө. • Especifica um limite assintótico firme para g(n). • Para ser Ө(f(n)), uma função deve ser ao mesmo tempo O(f(n)) e Ω(f(n)).

15. Notação Ө Ω(n), se considerarmos apenas entradas ímpares Ω(n2), se considerarmos apenas entradas pares Se considerarmos qualquer entrada possível, então g(n) é Ω(n) • Para mostrar que g(n) = 3n3 + 2n2 é Ω(n3) basta fazer:c = 1, e então 3n3 + 2n2 ≥ n3 para n ≥ 0. • Seja g(n) = n2 para n par (n ≥ 0) g(n) = n para n ímpar (n ≥ 1).Neste caso g(n) poderá ser:

16. Perguntas.... • n é O(n log n)? Esta afirmação é útil? • n3 é Ω(n)? Esta afirmação é útil? • n é O(n)? • n é Ω(n)? • n é Ө(n)? • n é Ө(n log n)?

17. Data da Prova 1 • Quanto mais longe, mais matéria acumula =( • Tipo Abstrato de Dados • Análise de Algoritmos • Função de complexidade • Notações O, Ω e Ө • Classes de comportamento assintótico • Limites inferiores • Alocação Dinâmica • Recursividade • Valor: 2,0 pontos

18. Data da Prova 1 • Site: www.decom.ufop.br/toffolo • Listas de exercício estarão disponíveis aindahoje no site • Próximas aulas • Classes de comportamento assintótico • Limites inferiores • Alocação Dinâmica (reforço em TAD e ponteiros) • Recursividade • Aula de dúvidas para a prova • Sugestão de data para a prova: até dia 21/Setembro

19. Horários de Monitoria • Kayran (4h/semana) • Terça-feira: 19h – 21h • Quinta-feira: 19h – 21h • Tiago (8h/semana) • Segunda-feira: 19h – 21h • Terça-feira: 19h – 21h • Quarta-feira: 19h – 21h • Quinta-feira: 19h – 21h

20. Aula(s) Extra(s) • Presença não obrigatória • Tema: Reforço sobre algoritmos e programação • Interessados: • Enviar e-mail para tulio@toffolo.com.br com o assunto [BCC202 – Aula Extra] • Provavelmente próxima sexta-feira (manhã ou tarde). • Data/horário a serem decididos por votação no site: www.decom.ufop.br/toffolo

21. Quem vê, entende... Mas é quem faz que aprende!

22. Exercício 1 void ex1(int n) { int i, j, x, y; x = y = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = i; j <= n; j++) x = x + 1; for (j = 1; j < i; j++) y = y + 1; } } • Obtenha a função de complexidade f(n) dos algoritmos abaixo. Na função de custo, considere apenas as operações envolvendo as variáveis x e y. Responder também, para cada algoritmo: • Qual o valor da variável x ao final da execução do algoritmo? • O algoritmo é O(n2)? É Ω(n3)? • O algoritmo é Ө(n3)? void ex2(int n) { int i, j, k, x; x = 0; for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= n; j++) for (k = 1; k <= j; k++) x = x + j + k; x = i; }

24. Exercício 2 • Indique se as afirmativas a seguir são verdadeiras ou falsas e justifique a sua resposta • É melhor um algoritmo que requer 2n passos do que um que requer 10n10 passos. • 2n+1 = O(2n). • f(n) = O(u(n)) e g(n) = O(v(n)) => f(n) + g(n) = O(u(n) + v(n)) • f(n) = O(u(n)) e g(n) = O(v(n))=> f(n) - g(n) = O(u(n) - v(n))