1 / 77

9 장 . IIR 디지털필터의 설계

9 장 . IIR 디지털필터의 설계. 9.1 IIR 디지털필터의 개요 9.2 아날로그필터 설계 9.3 간접 설계 9.4 직접 설계 9.5 IIR 디지털필터의 구성. 9.1 IIR 디지털필터의 개요. 입출력관계. (9-1). 전달함수. (9-2). 분모다항식이 존재하므로 필터의 안정성이 문제된다 => 극이 항상 z 평면상의 단위원내에 오도록 설계. 9.1 IIR 디지털필터의 개요. 전달함수 결정 간접설계 (indirect design)

adair
Download Presentation

9 장 . IIR 디지털필터의 설계

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 9장. IIR 디지털필터의 설계 9.1 IIR 디지털필터의 개요 9.2 아날로그필터 설계 9.3 간접 설계 9.4 직접 설계 9.5 IIR 디지털필터의 구성 Circuits & Systems Lab.

  2. 9.1 IIR 디지털필터의 개요 • 입출력관계 (9-1) • 전달함수 (9-2) 분모다항식이 존재하므로 필터의 안정성이 문제된다 => 극이 항상 z평면상의 단위원내에 오도록 설계 Circuits & Systems Lab.

  3. 9.1 IIR 디지털필터의 개요 • 전달함수 결정 • 간접설계(indirect design) -. 회로망이론에서 취급하는 아날로그필터 설계이론을 이용 -. H(s)를 구한 후 s-z 변환법을 이용하여 H(z)를 구한다 -. s-z 변환법 : impulse invariant design, bilinear z transform • 직접설계(direct design) -. magnitude squared function를 이용 -. H(s)를 거치지 않고 처음부터 디지털 영역인 z영역상에서 H(z)를 구한다 Circuits & Systems Lab.

  4. Butterworth lowpass filter 1) 버터워스 필터의 특성 : 진폭특성이 통과역에서는 거의 평탄하고(맥동이 존재하지 않고) 차단주파수를 지나면 감소 는 N차 함수 는 차단주파수 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) (9-3) Circuits & Systems Lab.

  5. (9-4) ① , 직류 이득은 1이고 0[dB]이다. ② 로 되는 주파수, 즉 를 차단주파수라 한다. ③ ④ 가 커지면(높은 주파수), 는 단조로운 감소특성을 보인다. ⑤ 가 적어지면(낮은 주파수), 식 (9.4)를 Taylor 급수로 전개하면 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) Circuits & Systems Lab.

  6. 로 되어 직류점 에서 도함수를 계산하면 다음과 같이 된다. 따라서 버터워스 필터의 특징은 2N-1차까지 도함수가 모두 0이다 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) Circuits & Systems Lab.

  7. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 그림 9.1 버터워스 특성 Circuits & Systems Lab.

  8. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 2) 버터워스 필터의 극 전달함수 가 복소수일 경우 이때, 를 대입하여 변형하면 이 때 분모다항식의 근, 즉 필터의 극 는 s평면의 단위원상에서 등간격으로 배치되고 그 위상은 다음과 같이 주어진다. (9-5) Circuits & Systems Lab.

  9. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) • 안정된 버터워스 필터를 얻기 위해서는 식 (9.5)의 극배치에서 s평면의 좌반평면에 있는 것을 선택 • N=3차의 경우 차수가 홀수이므로 식 (9.5)의 위의 식을 택하면 된다. Circuits & Systems Lab.

  10. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 따라서 다음과 같이 좌반평면에 있는 극를 택하면 된다. 이 때, 전달함수는 다음과 같이 주어진다. Circuits & Systems Lab.

  11. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) • 버터워스 필터 전달함수의 일반식 [N이 짝수일 경우] (9-6) [N이 홀수일 경우] (9-7) Circuits & Systems Lab.

  12. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) [N이 짝수일 경우] (9-8) [N이 홀수일 경우] (9-9) Circuits & Systems Lab.

  13. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 2) 버터워스 저역통과 필터의 설계법 저지역 통과역 그림 9.2 설계 스펙 Circuits & Systems Lab.

  14. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 통과역 : 저지역 : (9-10) (9-11) 으로 되지만 에서 각각 등식의 조건이 성립하면 설계스펙을 만족한다. 따라서 식 (9.10)과 (9.11)은 통과역 : 저지역 : 로 된다. 식 (9.3)을 이용하여 위의 식을 변형하면 통과역 : 저지역 : (9-12) (9-13) Circuits & Systems Lab.

  15. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 로 된다. 식 (9.12)와 (9.13)을 N과 의 연립방정식으로 보고 식 (9.13)을 (9.12)로 나누면 (9-14) 로 된다. 대수를 취하면 차수 N은 다음 식과 같이 주어진다. (9-15) 한편 차단주파수 는 차수 N을 식 (9.12)와 (9.13)에 대입하면 (9-16) (9-17) Circuits & Systems Lab.

  16. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) 그림 9.3 차단주파수의 결정 (9-18) Circuits & Systems Lab.

  17. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) • 버터워스 저역통과 필터의 설계 순서 step 1 : 필터의 스펙이 주어진다. 즉, 이 주어진다. step 2 : 식 (9.15)로부터 차수 N을 구한다. 이 때의 값이 정수로 되지 않을 경우에는 그 값 보다 큰 값의 정수를 차수로 한다. step 3 : 식 (9.18)로부터 차단주파수 를 선택한다. step 4 : 식 (9.8) 혹은 식 (9.9)로부터 필터의 전달함수 H(s)를 구한다. Circuits & Systems Lab.

  18. 9.2 아날로그필터 설계 (Butterworth) <예제 9.1> 다음과 같은 스펙을 만족하는 버터워스 필터를 설계하라 [풀이]우선, 주파수 을 각주파수 로 표현하면 로 된다. 따라서 식(9.15)로부터 차수 N을 구하면, 로 되어 차수 N은 5차로 하면 된다. 그리고 식(9.16) 및 식 (9.17)로부터 로 되기 때문에 식(9.18)을 만족하는 값으로 로 하면 버터워스 필터의 전달함수 는 다음과 같이 주어진다 Circuits & Systems Lab.

  19. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 2. Chebyshev lowpass filter 그림 9.4 각종 체브체프 특성 (a) 체브체프 특성(체브체프 I 형) (b) 역체브체프 특성(체브체프 II형) (c) 연립체브체프 특성 Circuits & Systems Lab.

  20. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 1) 체브체프 필터의 특성 : 통과 대역의 진폭특성이 약간의 맥동이 있지만 비교적 평탄한 특성을 갖고 같은 차수의 경우 버터워스 필터보다 급준한 차단 특성을 가진다 (9-19) 은 통과대역내의 진폭손실이고 는 정규화 되어있음 Circuits & Systems Lab.

  21. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 체브체프 함수 는 다음과 같이 주어진다 (9-20) 단, 구체적으로는 Circuits & Systems Lab.

  22. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 그림 9.5 체브체프 다항식 Circuits & Systems Lab.

  23. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 통과역에서는 일 때, 이므로 (9-21) • 저지역에서는 (9-22) 따라서 식 (9.22)에 식 (9.20)의 아래 식과 식 (9.21)을 각각 대입하면 로 되어 와 같이 주어지고, 이식을 차수 N에 대하여 정리하면 (9-23) 식 (9.23)의 값은 일반적으로 정수가 되지 않기 때문에 큰 쪽의 정수값을 N으로 한다. Circuits & Systems Lab.

  24. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 체브체프 필터의 극 식(9.19)에서 를 대입하여 변형하면 (9-24) 위 식에서 분모를 0이라고 하면 의 경우를 고려하면 식(9.20)으로부터 분모는 다음과 같이 된다. 이 때 로 두고 로 하면 로 된다. (9-25) Circuits & Systems Lab.

  25. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 따라서 로 되어 는 (9-26) 로 표시된다. 그리고 식(9.25)로부터 로 된다. 위의 식으로부터 로 주어진다 이 때 또는 이므로 로 된다. Circuits & Systems Lab.

  26. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 따라서 (9-27) 로 된다. 그리고 이므로 다음과 같이 주어진다 (9-28) 식(9.26), (9.27) 및 식(9.28)로부터 극배치를 표시하는 실수부 와 허수부 는 각각 다음과 같이 주어진다 (9-29) 따라서 극배치는 N과 이 주어지면 결정된다 Circuits & Systems Lab.

  27. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 그런데 이므로 식(9.28)과 (9.29)에 의해 (9-30) 안정된체브체프필터를 얻기 위해서는 s평면의 좌반 평면에 있는 것을 선택 그림 9.6 체브체프 필터의 극배치 Circuits & Systems Lab.

  28. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) <예제 9.2> 체브체프 저역필터에서 필터의 차수 N=3차이고, 인 경우의 전달함수를 구하라 [풀이]로 주어지므로 로 된다 식(9.29)를 이용하면 s평면에서의 극배치를 구할 수 있다. 그 결과 6개의 극이 구해지는데 s평면의 좌반 평면에 있는 극을 선택하면 로 되기 때문에 전달함수는 Circuits & Systems Lab.

  29. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 2) 역체브체프 필터의 특성 : 통과 대역에서는 맥동을 가지지 않고 저지역에서 맥동을 갖는다 Step 1 [체브체프 진폭특성에서 양변을 제곱] Step 2 [위의 식을 1에서 뺀다] Step 3 [ 를 로 치환] (9-32) Circuits & Systems Lab.

  30. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 그림 9.7 역체브체프 필터 특성 Circuits & Systems Lab.

  31. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) • 버터워스, 체브체프, 역체브체프의 특성 비교 • 버터워스 특성 : (직류) 부근의 주파수에서 이상특성과의 • 오차를 가능한 적게 할 목적으로 유도 • 체브체프 특성 : 통과대역 전체에 걸쳐서 이상특성과의 오차를 • 거의 동일하게 되도록 분배해서 천이역을 좁혀 • 급준한 차단특성을 갖도록 하였다 • => 버터워스 필터보다 통과역의 특성이 많이 • 개선되지만 저지역의 특성은 별로 차이가 없다 • 역체브체프 특성 : 저지역에 맥동을 갖도록하여 감쇠량을 동일하게 • 하고 통과역에서는 최대평탄으로 되어 버터워스 • 특성보다 급준한 경사를 가지는 것이 특징이다 Circuits & Systems Lab.

  32. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 3) 연립체브체프 필터(타원필터) : 통과역과 저지역에 다같이 맥동을 두어 두 대역의 특성을 모두 개선 예) 저역필터 설계스펙이 다음과 같다면 버터워스 필터 : N=17차 체브체프 필터 : N=8차 역체브체프 필터 : N=8차 연립체브체프 필터 : N=5차 그림 9.8 연립체브체프 필터 특성 Circuits & Systems Lab.

  33. 9.2 아날로그필터 설계 (Chebyshev) 3. Bessel lowpass filter : 위상특성에 역점을 둠으로써 통과영역에서 주파수에 대하여 위상이 직선적으로 변한다 즉, 지연특성이 평탄 베쎌 필터의 전달함수 단, 여기서, B(s)는 베쎌 다항식이다 Circuits & Systems Lab.

  34. 9.3 간접 설계 H(s) : 아날로그 필터의 전달함수 s-z 변환법 (임펄스 불변법, 쌍 1차 z변환법) H(z) : 디지털 필터의 전달함수 Circuits & Systems Lab.

  35. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) 1. Impulse invariant design 프로토타입 필터의 임펄스응답 h(t)의 샘플값을 구하고자 하는 디지털필터의 임펄스응답 h(nT) 와 동일하게 하도록 한다. 즉, 로 한다 이와 같이 t=nT의 시점(표본화 시점)에서 임펄스응답을 동일하게한다는 의미에서 이 설계법을 임펄스 불변법이라고 부른다 Circuits & Systems Lab.

  36. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) 아날로그필터의 전달함수가 와 같이 주어질 때 임펄스응답은 라플라스 역변환에 의해 로 된다. 따라서 구하고자 하는 디지털필터의 임펄스응답은 로 주어지고 Z 변환하면 Circuits & Systems Lab.

  37. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) • 임펄스 불변법을 이용한 s-z 변환순서 Step 1 : 먼저 H(s)를 부분분수로 전개하여 임펄스응답 h(t)를 구한다 Step 2 : 주기 T로 표본화한다 Step 3 : 표본화된 임펄스응답 h(nT)를 z변환 한다 Circuits & Systems Lab.

  38. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) • 연속신호 h(t)가 로 대역제한되어 있을 경우, 즉 가 성립할 경우 => 아날로그필터와 디지털필터의 주파수특성은 일치 • 연속신호 h(t)가 로 대역제한되어 있지 않은 경우 => 에일리어싱이 발생 따라서 이 변환법은 대역이 제한된 필터, 예를 들면 협대역(narrow band) 저역필터의 설계에는 이용되지만 고역이나 대역저지 필터의 설계에는 적당하지 않다. 광대역필터(wide band filter)를 설계하고자 하는 경우는 다음에 설명하는 쌍 1차 z변환법이 적당하다. Circuits & Systems Lab.

  39. 9.3 간접 설계 (impulse invariant design) <예제 9.3> 다음과 같은 전달함수로 주어지는 아날로그 프로토타입 필터에 대응하는 디지털필터의 전달함수 H(z)를 임펄스 불변법을 이용하여 구하라 [풀이] 따라서 임펄스 불변법을 이용하면 다음과 같이 주어진다 Circuits & Systems Lab.

  40. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 2. Bilinear z transform 아날로그필터와 디지털필터에서 사용되는 주파수를 구별하는 의미에서 복소변수 s를 로 쓰고, 를 아날로그필터의 각주파수라고 하자. 또한 요구되는 디지털필터에 대해서 (9-35) 이것은 프로토타입 필터의 복소변수 를 의 쌍곡선함수로 치환하는 것을 표시하는 것으로 위의 식에 를 대입하면 (9-36) => 아날로그필터와 디지털필터의 주파수 관계를 나타냄 Circuits & Systems Lab.

  41. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 그림 9.9 아날로그필터와 디지털필터의 주파수 관계 • 아날로그필터의 주파수 가 라고 해도 대응하는 디지털 필터 는 로 제한된다 Circuits & Systems Lab.

  42. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 식(9.35)는 이므로 를 대입하면 (9-37) : 쌍 1차 변환(bilinear transform) 이와 같이 쌍 1차 변환에서는 로 변환하는 것에 의해, 아날로그필터가 대역제한되어 있지 않아도 일단 이내의 주파수로 변환한 후에 z변환을 적용함으로 에일리어싱 오차는 발생하지 않는다. Circuits & Systems Lab.

  43. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) • 왜곡효과(warping effect) : 아날로그필터의 주파수 의 눈금이 등간격일 때도 이에 대응하는 의 눈금에는 왜곡을 가져오는 현상 => 사전왜곡 과정의 도입으로 제거 가능 • 사전왜곡(prewarping) 과정 아날로그필터의 통과역 및 저지역의 단부(edge) 주파수를 , 이에 대응하는 디지털필터의 단부주파수를 라 하면 식 (9.36)에 의하여 (9-38) 만약, 디지털필터에서 원하는 통과역 및 저지역의 단부주파수를 라 하면 이에 대응하는 아날로그필터의 단부주파수 가 다음 관계를 만족하도록 아날로그필터를 설계하여야 한다. (9-39) Circuits & Systems Lab.

  44. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) <예제9.4> 다음과 같은 스펙을 만족하고 체브체프 특성을 갖는 저역 디지털필터를 설계하라 그림 9.10 설계 스펙 Circuits & Systems Lab.

  45. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) [풀이]우선 디지털필터의 스펙에 대응하는 아날로그필터를 설계해야 한다. 식 (9.36)에 대입하면 이와 같은 스펙을 만족하는 아날로그필터의 최소 차수를 식 (9.23)으로부터 구하면 N=2차로 된다. 따라서 극배치에 의해 아날로그필터의 전달함수 H(s)는 로 주어진다 Circuits & Systems Lab.

  46. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) 다음으로 쌍 1차 z 변환, 즉 을 적용하면 디지털필터의 전달함수 H(z)는 그림 9.11 쌍 1차 z 변환에 의한 설계 Circuits & Systems Lab.

  47. 9.3 간접 설계 (Bilinear z transform) • 쌍 1차 z변환법을 이용한 s-z 변환순서 Step 1 : 디지털필터의 스펙이 주어진다 Step 2 : 식(9.36)에 의해 대응하는 아날로그필터 스펙으로 고친다 Step 3 : 버터워스 특성 혹은 체브체프 특성의 아날로그필터를 설계 한다 즉, 전달함수 H(s)를 구한다 Step 4 : 식(9.37)에 의해 디지털필터 전달함수 H(z)를 구한다 Circuits & Systems Lab.

  48. 9.3 간접 설계 (주파수 변환) 3. 주파수 변환 Step 1 : 디지털필터 스펙을 이용하여 적합한 저역필터를 결정. Step 2 : 사전왜곡을 과정을 고려하여 디지털필터의 한계주파수를 결정. 저역필터/고역필터의 한계주파수는 band edge 혹은 차단주파수. 대역통/대역저지의 경우에는 하한주파수와 상한주파수. Step 3 : 요구되는 필터에 따라 다음 변환 중 한 개를 이용하여 전달함수 H(s)에서 s를 다음식으로 치환한다 저역 => 저역 저역 => 고역 저역 => 대역통과 단, 저역 => 대역저지 Step 4 : 새로운 전달함수 H(s)를 쌍 1차 z변환법을 이용하여 H(z)을 구한다 Circuits & Systems Lab.

  49. 9.3 간접 설계 (주파수 변환) <예제 9.5> 2차 버터워스 저역필터에 기초를 두고 아래의 설계스펙을 만족하는 디지털필터의 전달함수 H(z)을 구하라. 단, 쌍 1차 z 변환법을 사용한다. [풀이]프로토타입 필터의 규격화 저역필터는 다음과 같이 주어진다 이 때 아날로그필터의 차단주파수는 (저역 => 저역) (쌍 1차 z 변환 적용) Circuits & Systems Lab.

  50. 9.4 직접 설계 • 일반적으로 디지털필터의 전달함수는 유리함수로 표현되고, 진폭자승함수는 삼각함수를 변수로 하는 유리함수로 된다. • 이 때 디지털필터의 임펄스 응답이나 전달함수 혹은 주파수특성이 어떠한 조건에서는 희망특성을 실현하기 좋은 형태로 되는 것을 이용하여 디지털필터의 전달함수를 직접 근사할 수 있다. • 직접근사란 디지털필터의 전달함수 H(z)을 z의 함수로 필터의 계수를 직접 계산하는 것을 의미 Circuits & Systems Lab.

More Related