不定积分的概念和性质 换元积分法和分部积分法 定积分的概念和性质 定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的应用和推广

1. 不定积分的概念和性质 换元积分法和分部积分法 定积分的概念和性质 定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的应用和推广 第三章 一元积分学

2. 不定积分的计算 一、第一换元法（“凑”微分法） 二、第二换元法(变量替换法) 三、分部积分法

3. 定理1（定积分的凑微分法） 已知变换函数 在区间 上有连续的导函数，函数 在变换函数 的值域区间上连续，且 ，则 §4 定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元积分法

5. （令 ） 例 1 或者直接地 定积分“换元必换限 , 不换元不换限”．所以是否换元一般可根据计算的复杂程度来判断。

6. 例 2

7. 例 3

8. 例 4

9. 定理2（定积分的变量替换法） 已知函数 在区间 上，变换函数 （1）在区间 或 上有连续的导函数； （2） 时 ； （3） 。 则

10. 注意 (1) 不定积分必回代原变量，定积分第二换元 “换元 必换限”。 (2) 换元后定积分 的上、下限分别是

11. 时 ； 时 令 ，则 例 5

12. 令 ，则 时 ； 时 例 6

13. 已知 在 上连续，试证： 分析：注意到两定积分的积分区间没有变动，被积函数中含有共同的 。我们要寻找的变换函数必须满足这些要求。 时 ； 时 令 ，则 例 7 证明：

14. 移项并化简后即得结论。 此例说明：定积分的变量替换法可以用来证明积分恒等式。

15. 在 上连续，试证： 令 ，则 时 ； 时 例 8 证明：

16. 为连续奇函数时， 为连续偶函数时， 左边 =右边。 特别地:

17. 例 9

18. 例 10

19. 二、 定积分的分部积分法 定理3（定积分的分部积分法） 已知函数 都可导，则

20. 例 11

21. 例 12

22. 例 13

23. 在 上可积，且 求 令 ，则 例 14

24. 例15 所以

25. 为偶数时， 为奇数时。 又 所以 这就是所谓的Wallis公式。