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1.2.2 空间中的平行关系（ 1 ）

1.2.2 空间中的平行关系（ 1 ）. 一 . 平行直线. 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 3. 公理 4 ：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性. a // c ， b // c a // b. 公理 4 的符号表述为：. 公理 4 反映了两条直线的位置关系 . 公理 4 主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据. 4. 等角定理：.

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1.2.2 空间中的平行关系（ 1 ）

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  1. 1.2.2空间中的平行关系（1）

  2. 一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.

  3. a//c，b//c a//b. 公理4的符号表述为： 公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据.

  4. 4. 等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.

  5. 因为， 所以AA1D1D是平行四边形， 证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.

  6. 所以 同理可得 所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.

  7. 5. 空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。

  8. 如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线

  9. 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.

  10. O a′ O b′ b ？ P θ a′ a 6． 异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a，b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角.

  11. 若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：

  12. 空间两条直线的位置关系有三种：

  13. EH//BD，EH= BD， 例1.已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 证明：在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以

  14. 同理，FG//BD，FG= BD， 所以EH//FG，EH=FG， 所以四边形EFGH是平行四边形。

  15. 例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1. 证明:连结AC. 在△ABC中, E, F分别是AB, BC 的中点. 所以 EF ∥ AC

  16. 又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC∥A1C1 从而 EF∥A1C1.

  17. 例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证：∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.

  18. 练习 题 D (1) 下列结论正确的是（ 　） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交

  19. D (2) 下面三个命题, 其中正确的个数是（ ） ①三条相互平行的直线必共面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 一个也不正确

  20. D (3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ 　） A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° (4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（　） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 B

  21. 6. 如果OA∥O1A1, OB∥O1B1 ,那么∠AOB与∠A1O1B1 ( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上答案都不对 5. 设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1 平行的棱共有＿＿＿条． 3 C

  22. A1 A B1 B C1 C 7.如图，已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面 且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1. 求证：△ABC ≌ △A1B1C1.

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