Вписанные и описанные окружности.

1. Вписанные и описанные окружности.

2. Основные определения.

3. Окружность называется вписаннойв многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности. B A O C D

4. Окружность называется описаннойоколо многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник называется вписанным в эту окружность. B A O C D

5. Теоремы.

6. Определение:В любой треугольник можно вписать окружностьи только одну. Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения биссектрис треугольника ABC. A M C K O Проведём из точки О перпендикуляры ОК, ОL и OM к сторонам АВ, ВС и СА. L Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L , М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОK, ОL и OM. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. 2) А если предположить, что в треугольник можно вписать две окружности, то можно доказать, что они совпадут. B

7. Замечание… В отличии от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

8. Примите к сведенью. B b В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. c C b c Обратное утверждение: a d A a D d Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

9. Определение:около любого треугольника можно описать окружность и только одну. B Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника и проведём отрезки OA, OB и OC. Т. к. точка О равноудалена от вершины треугольника ABC, то OA = OB = OC. O Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. A Теорема доказана. C 2) А если допустить, что около треугольника можно описать две окружности, то можно доказать, что они совпадут.

10. В отличии от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность. Замечание…

11. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800. Примите к сведенью. Обратное утверждение: Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

12. Задачка… АВС - равностор. Окр. (O; r) - впис. P  = 12 см Дано: B Найти:r впис. окр.- ? O A C

13. Решение: Окр. (О; r) - впис.  О - точка пересечения Бис-с этого треугольника. ОН АС, т.к. ВН – высота  АС – касательная к окр. (О; r)  ОН = r (ОН – r окр.)  АВС - равностор.  бис-сы – медианы и высоты, они равны. О принадлежит BH – медиане, высоте и бис-се АВС – прямоугольный; АВ – гипотенуза; АН = ½ АВ. АВ = 1/3  12 = 4 АВ2 = ВН + АН2 Решаем уравнение и получаем ВН = 6 (см) О – точка пересечения медиан. ВО/ВН = 2/1; 2ОН = ВО 3ОН = ВН ОН = 6 : 3 = 2 (см)

14. Задачка… Дано: Окр. (O; r) - опис. АВС – впис. АВ – диаметр окр. ВС = 1340 Найти: углы треугольника B O A C

15.  ВС лежит против  А; Решение:  ВС = 1340   А = 134 : 2 = 670 АВ – диаметр окр.   АСВ = 900  А +  В +  С = 1800 (по теореме о сумме углов треугольника)  С = 900 ;  А = 670  В = 1800 – 900 – 670 = 230 в Оглавление