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§5. 8 小结

§5. 8 小结. 证明一个问题是 NP 完全问题的方法变化多端， 这是因为要证明的问题本身相互间的差异很大 启示 : 如何着手开始证明过程。 在下面的叙述中我们略去问题 Π 属于 NP 的证明. 1. 限制法. 最简单又最常用的方法。为证明问题 Π 是 NP 完全问题。 选定一已知 NP 完全问题 Π ′ ， 只要证明 Π ′ 是 Π 的特例即可， 即只要对 Π 的实例的叙述作限制就得到了问题 Π ′ 的实例的叙述。 就得到了 Π ′ ∝ Π. Π ′ 是 Π 的特例， 则 Π ′ 的实例就是 Π 的实例

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§5. 8 小结

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  1. §5. 8 小结

  2. 证明一个问题是NP完全问题的方法变化多端， • 这是因为要证明的问题本身相互间的差异很大 • 启示: 如何着手开始证明过程。 • 在下面的叙述中我们略去问题Π属于NP的证明

  3. 1. 限制法 • 最简单又最常用的方法。为证明问题Π是NP完全问题。 • 选定一已知NP完全问题Π′， • 只要证明Π′是Π的特例即可， • 即只要对Π的实例的叙述作限制就得到了问题Π′的实例的叙述。 • 就得到了Π′ ∝ Π

  4. Π′是Π的特例， • 则Π′的实例就是Π的实例 • 很容易构成从Π′到Π的多项式转换。

  5. 例 有向哈密尔顿回路问题(简称DHC) • 实例：有向图D＝(V，A)，其中V是节点集合， • A是有向弧、即有序对(u，v)的集合(u，v∈V)． • 问：图D是否有一条有向哈密尔顿回路 • v1，v2,…vn，(n = IVl) • 即 • (vi，vi+1) ∈ A (i＝1，2，…，n – 1) • (vn，v1) ∈ A

  6. 图论知识告诉我们无向图是有向图的特例 • 对有向图作下述限制，有向图就变成无向图： • 有向图D＝(V，A)任两个节点u，v之间， • 如果有有向弧存在， • 则两条相反方向的弧同时存在， • 即(u，v) ∈ A, 且(v，u) ∈A

  7. 不难证明HC∝DHC． • 由HC问题的实例图G＝(V，E)构造DHC问题的实例D=(V，A)， • 即G和D有相同的节点集合； • (u，v) ∈ A, (v，u) ∈ A当且仅当(u，V) ∈ E． • 显然G有哈密尔顿回路的充分必要条件为D有有向哈密尔顿回路。

  8. 例 打中集合问题(HS) • 实例：集合S及其子集的蒐集C， • 正整数K • 问：是否有元素个数不大于K的子集 • S′⊂S (|S′|≤K)， • 使蒐集C中每一个c ∈ C至少有一个元素属于S′. • 注意: c是S的子集

  9. 顶点覆盖问题(VC)是打中集合问题HS的特殊情况，顶点覆盖问题(VC)是打中集合问题HS的特殊情况， • 只要令C中每一个子集c只含两个元素(|c|=2)即可。 • 由VC实例图G=(V，E)及正整数K, • 构造HS实例如下： • 令S=V, 蒐集C =E, 同样的正整数K. • VC问题实例有K覆盖的充分必要条件为HS问题实例有K打中集合。

  10. 显然VC问题实例有解的充分必要条件为HS问题实例有解。显然VC问题实例有解的充分必要条件为HS问题实例有解。 • 构成的蒐集C = E, C中元素c为E之元素, 即为G之边. • 要求E的边的两端必有一端在打中集合J中. • 因此, 构成的HS的实例和源像VC问题实例一模一样.

  11. 例 子图同构问题(简称SI，见本章第2节) • 集团问题CL是SI问题的特殊情况, • 只要令SI实例中的图G2为完全图即可。 • 不难证明 • CL∝ S1

  12. 一个图称为完全图是指图的任意两个节点之间都有边存在。一个图称为完全图是指图的任意两个节点之间都有边存在。 • CL问题实例为图G＝(V，E)及正整数J. • 由此构造SI问题的实例 • G1＝(V，E)、 G2＝(V2，E2), 即G1与G相同； • | V2 |＝J，即G2为有J个节点的完全图 • 容易证明CL问题实例及由此构造的S1问题的实例必然 • 同时有解或者同时无解。

  13. 例 有界支撑树问题(简称BST) • 实例：图G＝(V，E) • 正整数K≤|V| - 1 • 问：G是否含有支撑树，且树中每一个节点的度数小于或等于K， • 如令K＝2，则BST问题变成所谓的 • 哈密尔顿路径问题(简称HP)

  14. 实例：图G＝(V，E) • 问：G是否有一条哈密尔顿路径，即一个包含所有节点的序列 • vi，vi+1,…vn，(n＝ IVl) • (vi，vi+1) ∈ E (i＝1，2，… ，n - 1) • 易证HP问题是NP完全问题。 • 现在只要证明 • HP ∝ BST • 就证明了BST问题是NP完全问题.

  15. 2．局部替换法 • 这种证明方法中的多项式转换不象限制法那样简单。 • 局部替换法先选定一已知的NP完全问题Π′， • 在Π′的实例中确定一些组成部分(称为基本单元)， • 然后将这些基本单元用统一的方法进行转化， • 这样就得到了待证问题Π的实例。

  16. 证明三可满足问题时使用的就是局部替换法， • 在SAT问题实例中确定的基本单元是 “项”， • 再将SAT实例中的每一项转化成项集合 • 这些新的项都只含三个因子。其间的转化是统一的。 • 要指出的是转化是局部的， • 即一个项的转化不受其它项的影响， • 也不影响其它项的转化。

  17. 例 三角形分割问题(PT) • 实例：图G＝(V，E)， • |V|＝3q (q为正整数) • 问：是否能将G作三角形分割? • 三角形分割是指，将V划分成q个互不相交的子集，每个子集vi含三个节点即 • vi＝ {al，a2, a3} • 且 (al，a2) ∈ E，(a2, a3) ∈ E，(a3，al) ∈ E

  18. 证 选择三覆盖问题为已知的NP完全问题(其证明略)。 • 三覆盖问题(简称X3C) • 实例：有限集合X, • 且IXI＝3q (q为正整数)； • 集合C＝{c}， • 其中c是含三个元素的X的子集 • 问：是否存在C的子集C′， C′⊂ C， • 且使X的每一个元素出现并只出现在C′的一个元素ci中。

  19. 用局部替换法证明PT是NP完全问题， • 确定X3C问题的基本单元为X的子集ci • 即C中的元素。将 • ci＝{xi，yi，zi} • 转化为子图 • Gi＝(Vi，Ei)，| Vi |＝12， | Ei |＝18

  20. ai3 ai9 ai3 ai1 ai2 ai4 ai5ai7ai8 xi yi zi

  21. 在三角形分割问题(PT)的像实例定义为 • G＝(V，E) • 其中 • V＝X UU {ail, ai2, ai3, ai4, ai5, ai6} • i • E＝ UEi • i • 上述将X3C问题的实例转化为PT问题实例的映射是多项式转换

  22. 这个转换把X3C实例的的元 • ci＝{xi，yi，zi} • 转换为一个含有12个结点、18条边的子图. • 转换一个元所需时间为一常数. • 整个转换需要时间为p的多项式 • p = |C| • 现在证明X3C ∝ PT

  23. X3C的实例存在C的子集C′， • C′⊂ C， • 且使X的每一个元素出现并只出现在C′的一个元素ci中 • 的充分必要条件为 • 该实例在PT问题的像实例 • G能作三角形分割

  24. 设X3C的实例存在C的子集C′， C′⊂ C， • 且使X的每一个元素出现并只出现在C′的一个元素ci中 • 现将G作三角形分割如下 • 分两种情况 • ci＝{xi，yi，zi} • ① ci属于C′ ② ci不属于C′

  25. ai3 ai9 ai3 • 情况①, 按红线分割,该子图被分割了 ai1 ai2 ai4 ai5ai7ai8 xi yi zi

  26. ai3 ai9 ai3 • 情况②, 按红线划分 • xi,yi,zi没有被分割, 但是它们必定属于某ci • 所以必定在其它元中被分割了 ai1 ai2 ai4 ai5ai7ai8 xi yi zi

  27. 可以看到, 图G确实被三角形分割了 • 三角形分割是指，将V划分成q个互不相交的子集， • 按红线分成子集vi • 每个子集vi含三个节点 • 并且这三个结点之间有三条边 • 充分性证毕

  28. 现在证明必要性. • 设PT问题的像实例 • G能作三角形分割 • 即能将图的所有结点分成子集vi • 每个子集vi含三个节点 • 并且这三个结点之间有三条边 • 现考虑结点ai3

  29. ai3必定在某子集vi中 • ① ai3和ai6在同一子集中 • ② ai3和ail在同一子集中

  30. ai3 ai9 ai3 ai1 ai2 ai4 ai5ai7ai8 xi yi zi

  31. 只有与ai3有边连接的结点才有可能和ai3 • 在同一个子集中vi • 所以考虑以上两情况 • ① ai3和ai6在同一子集中 • 那么在同一个子集中的第三结点必然是ai9 • 因为只有ai9和ai3、ai6都有边相连接 • ai3、ai6、ai9组成vi

  32. 与此同时xi必定和ai1、ai2组成子集vi • 同理 • yi必定和ai4、ai5组成子集vi • zi必定和ai7、ai8组成子集vi • 情况和前面的分割相同(P25)

  33. ② ai3和ail在同一子集中, • 那么在同一个子集中的第三结点必然是ai2 • ai1、ai2 、ai3组成子集vi • 同理 • ai4、ai5 、ai6组成子集vi • ai7、ai8 、ai9组成子集vi • 情况和前面的划分相同(P26) • 而xi，yi，zi没有在这个元参与分割 • 但是必定在其它元参与分割

  34. 构造X3C实例的解如下 • 考虑前述情况①的元, • 由这些元的三个结点 xi，yi，zi • 组成ci＝{xi，yi，zi} • 情况①的诸ci构成的集合就是C′

  35. 显然, 诸ci是C的元素. 且只含三个元素 • 所以C′⊂ C • 下面证明X的每一个元素出现并只出现在C′的一个元素ci中 • 设x为X的任意一个元素 • 按照转换, x必定属于某些元(可能多个) • 并必定在分割中属于某三角形 • 它只能属于情况①的分割(P25) • 因此, x属于前页构造的ci＝{xi，yi，zi}

  36. 但是它属于情况①的分割(P25) • 只此一次, 因为三角形分割的定义 • 诸vi是互不相交的 • 所以x只出现在C′的一个元素ci中 • 证毕

  37. 例 串行流程问题(SWI) • 实例：T＝{t}为任务集合 • 三个映射 • r： T→ Z (Z为非负整数集合) • d：T→ Z+ (Z+为正整数集合) • l ：T→ Z+ • r(t)表示任务t最早可以开始的时间， • d(t)表示任务最迟必须完成的时间， • l(t)表示任务t完成所需之时间。

  38. 问：是否存在时间表，即映射 • σ： T→ Z • 表示任务t安排在σ(t)时开始。

  39. 且要求每个任务t∈T及t′≠t, 满足三条件 • σ(t) ≥r(t) • σ(t)+l(t)≤d(t) • σ(t′)+l(t′) ≤σ(t) • 或σ(t)+l(t) ≤σ(t′) • 其中第三个条件是指任意两个不同任务的工作不重叠。

  40. 3. 合成法 • 合成法比前两种方法复杂。 • 顶点覆盖问题及 • 哈密尔顿回路问题的 • 证明使用的就是合成法。

  41. 合成法的思路是这样的 • 由已知的NP问题Π′的实例的几种成份 • 构造待证问题Π的实例的成份，再将这些成份拼装成Π的一个实例， • 拼装过程中还要加一些结构 • 才能将那些孤立无关的成份组成一个实例

  42. 在局部替换法中 • 将Π′实例的基本单元统一转化，无须拼装 • 而在合成法中成份的构造不是统一的 • 且还需要拼装才能得到问题Π的实例

  43. 顶点覆盖问题的证明中曾给出映射 • f：3SAT→VC • 映射f将3SAT实例中的成份逻辑变量ui∈U • 转化为一条边， • 将另一个成份Ci ∈ F转化为 • 一个三角形， • 然后再连接边和三角形， • 从而得到VC的实例。

  44. 哈密尔顿回路问题的证明使用了映射 • t：VC → HC • 映射t将VC问题实例的每条边构造成元(有十二个节点、十四条边)， • 由此再对VC实例的每个节点构造链， • 对正整数K构造K个节点， • 映射t最后将这K个节点与n条链连接 • (设VC实例有n个节点)， • 从而构造起Hc问题的实例。

  45. 由于NP完全问题至今还没有高效的算法， • 因此一部分计算机科学家将精力用于 • 寻找NP完全问题的近似解算法

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