turunan di r n n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
TURUNAN DI R n PowerPoint Presentation
Download Presentation
TURUNAN DI R n

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 57

TURUNAN DI R n - PowerPoint PPT Presentation


  • 206 Views
  • Uploaded on

TURUNAN DI R n. FMIPA Universitas Indonesia. Materi Turunan di R n. Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut .

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'TURUNAN DI R n' - abdul-bolton


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
turunan di r n

TURUNAN DI Rn

FMIPA Universitas Indonesia

materi turunan di r n
MateriTurunandiRn

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

tujuan instruksional khusus
TujuanInstruksionalKhusus

Mahasiswamampu

  • Memodelkansuatusituasinyatasertamenjelaskanmaknasetiapsukudalamekspresifungsitersebut.
  • Merepresentasikansebuahfungsiduapeubahsebagaigrafikpermukaan, danmembuatsketsakurvaketinggiandenganbantuan TIK.
  • Memvisualisasikangrafikpermukaandankurvaketinggiansecaratepat.
  • Menghitungturunanparsialdangradien
  • Menggunakangradienuntukmencaribidangsinggung, turunanberarah, danmenginterpretasikansecarageometri

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

tujuan instruksional khusus1
TujuanInstruksionalKhusus

Mahasiswamampu:

  • Menggunakanaturanrantaiuntukmengevaluasiturunanfungsi n peubah.
  • Mencaridanmengklasifikasikantitikkritisdarifungsimultivariabeldenganmenggunakanujiturunankedua.
  • Menggunakanmetode Lagrange untukmemaksimumkanataumeminimumkanfungsimultivariabeldengankendala.
  • Menggunakanmetodekuadratterkeciluntukmelakukanprediksi.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

fungsi n variabel
FMIPA Universitas IndonesiaFungsi n Variabel

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

fungsi 2 variabel
Fungsi-2 Variabel
  • Fungsiduavariabel:adalahaturanf yang mengaitkansetiappasanganterurutdidaerahasalD yang berupabidangdengantepatsebuahbilangan real, ditandaioleh
  • Himpunannilai-nilaifdisebutjangkauan.
  • disebutvariabelbebasfungsidanzadalahvariabelterikat.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 1 mencari daerah asal fungsi
CONTOH 1 : Mencaridaerahasalfungsi

Tentukanlahdaerahasaldarifungsi

  • Penyelesaian
  • Daerah asaldarifadalahsemua (x,y) sedemikiansehinggay ^2 -x ≥0dantitik (2,0) tidaktermasuk.
  • Dari ketaksamaany^ 2- x diperolehdaerahadadaaa.

.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

grafik fungsi dua variabel
GrafikFungsiDuaVariabel
  • Grafikfungsiduavariabeladalahgambardaripersamaanberupapermukaandiruangdengankoordinattitiknyaadalah yang memenuhipersamaan .
  • Setiaptitikdidaerahasalberkorespondensidengantepatsatutitikz.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 2 sketsa grafik fungsi
Contoh 2 : Sketsagrafikfungsi

Sketsalahgrafikdari

  • Penyelesaian:
  • Carititik-titikpotongbidangterhadapsumbu-sumbukoordinatCartesiussepertiberikut :
  • Titikpotong bidang dengan sumbux, y dan zadalah :

(0,0,6),(0,12,0),(18,0,0).

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 3 sketsa grafik fungsi
Contoh 3 : Sketsagrafikfungsi

Sketsalah grafik dari

.

  • Penyelesaian
  • Mula-mulagambargrafikketikax=0 (atauy=0) yaitugrafikpersamaan.
  • Berikutnyagambarkurvauntuknilaiztetap yang berbeda-beda, misalnyaz=1, z=2, z=3, dst., dengandaerah alas berbentuklingkaran

x^2/+/y^2/=/9-z/

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 3 lanjutan
Contoh 3(Lanjutan)
  • Bilakitaperhatikankeduagrafikini, grafikpersamaanmenjadigrafikparaboloida.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 4 sketsa grafik fungsi
Contoh 4 : Sketsagrafikfungsi

.

  • Sketsalahgrafikdari
  • Penyelesaian
  • Grafikiniekivalendengangrafikpersamaan2x^2+y^2+2z^2=4diatasbidang z=0
  • Gambardulugrafikketikax=0 (atauy=0) yaitugrafikpersamaany^2+2z^2=4
  • Gambar kurva untuk nilai ztetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elips

.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 4 lanjutan
Contoh 4 (lanjutan)
  • Grafikpersamaanfmenjadigrafikelipsioda.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

kurva ketinggian
KurvaKetinggian
  • Untukmenggambarpermukaandarifungsiseringkaliamatsukar.
  • Cara lain yang lebihmudahadalahdenganmenggambarkanpetakontur.
  • Setiapbidangz=c memotongpermukaandisuatukurva.
  • Proyeksikurvainidibidang-xydisebutkurvaketinggian.
  • Himpunankurva-kurvaketinggianinilah yang disebutsebagaipetakontur.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 5 sketsa peta kontur
Contoh 5 : Sketsapetakontur
  • Sketsalah peta kontur untuk seperti pada Contoh 3.
  • Penyelesaian:
  • Gambarlah kurva-kurva dari

padaketinggianz=-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; dan 4

  • Kurva-kurvainiberbentuk lingkaran.

Petakontur

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 6 peta kontur untuk
Contoh 6Petakonturuntuk

PetaKontur

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

limit dan kekontinuan
FMIPA Universitas IndonesiaLimit danKekontinuan

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

limit fungsi dua variabel
Limit FungsiDuaVariabel
  • Secaraintuitif, ide limit untukfungsiduavariabelserupadenganide limit padafungsisatuvariabel.
  • Suatunilaifungsif(x,y) dikatakanmendekatiLapabila (x,y) jugamendekatititik (a,b).
  • Masalah : pada limit fungsiduavariabel, (x,y) menghampiri (a,b) darisegalaarah.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

definisi limit fungsi dua peubah
Definisi: Limit FungsiDuaPeubah
  • Fungsif(x,y) dikatakanmemiliki limit Lapabila (x,y) mendekati (a,b) jika:

untuksetiapε> 0 terdapatδ > 0 sedemikiansehinggauntuksetiap (x,y) didaerahasalf yang memenuhi

maka

Penulisannyaadalah

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

aljabar limit
Aljabar Limit
  • Misalkandan

Maka:

  • Jikam, nadalahbilanganbulatdann≠0 , maka

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

aplikasi aljabar limit
Aplikasi Aljabar Limit
  • Bilasifat limit kitaaplikasikanpadafungsipolinomataufungsirasional, makamenghitung limit fungsiapabila

dapatdilakukandenganmenghitungnilaifungsidi .

  • Contoh:

Carilah

Penyelesaian:

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

latihan
Latihan

1. Carilah

2. Tunjukkan

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 7
Contoh 7
  • Tunjukkanbahwaf yang didefinisikansebagai

tidakmemiliki limit dititikasal (0,0).

  • Penyelesaian:
    • Fungsifmemilikinilaidiseluruhbidangkecualidititikasal (0,0).
    • Nilaif disumbu-x, kecualidititikasal, adalah
    • Akibatnya,

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 7 lanjutan
Contoh 7 (lanjutan)
  • Nilaif disumbu-y, kecualidititikasal, adalah
  • Sehingga, nilai limit fungsijikamenujutitikasaldarisumbu-yadalah
  • Jadi, fungsi f tidakmemiliki limit di (0,0) karenaterdapatsembarangtitikdekat (0,0) yang bernilai 1, sedangkantitik lain yang jugadekatdengan (0,0) memilikinilai -1.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

uji dua lintasan untuk ketakberadaan limit
UjiDuaLintasanuntukKetakberadaan Limit
  • Jikafungsimemilikinilai limit yang berbedadaridualintasanmendekati ,
  • makatidakada.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

latihan1
Latihan
  • Tunjukkanbahwafungsi

tidakmemiliki limit dititikasal (0,0).

  • Petunjuk:
    • Carilahnilaifungsifdigarisy=mx, denganmkonstanta yang berubah-ubahdanx≠0.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

penyelesaian
Penyelesaian

Untuksetiapnilaim , fungsif bernilaikonstansepanjanggarisy=mx, x≠0 karena

Nilai limit fungsifpadasaaty=mxberubah-ubahsesuaidengannilaim, sebab

Akibatnya, f tidakpunya limit di (0,0).

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

kekontinuan
Kekontinuan
  • Fungsifdikatakankontinudititik (a,b) jika
    • f terdefinisidi (a,b)
    • ada
  • Fungsifdikatakankontinuapabilaf kontinudisetiaptitikdidaerahasal.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

kekontinuan1
Kekontinuan
  • Secaraintuitif, fungsiduavariabel yang kontinutidakmemilikilompatan, perubahan yang fluktuatifatauperilakutakterbatasdisekitar (a,b).
  • Fungsipolinomselalukontinudisetiapdibidang.
  • Fungsirasionaljugakontinudiseluruhbidangkecualidititik-titik yang memberikannilaipembaginyasamadengan nol.
  • Denganmenggunakansifat limit, kitadapatmengatakanbahwapenjumlahan, pengurangan, perkaliandanpembagianfungsi-fungsikontinujugakontinu (denganmengasumsikanbahwapembaginoldiabaikan).

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan parsial
FMIPA Universitas IndonesiaTURUNAN PARSIAL

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan parsial1
TurunanParsial
  • Bidangy=y0 (PQR) memotongpermukaanz=f(x,y) dikurvaz=f(x,y0) (busurQR).
  • Kurvainiadalahgrafikdarifungsiz=f(x,y0) yang merupakanfungsisatuvariabelx.
  • Turunanparsialfterhadapxdititik (x0,y0) adalahturunanbiasadarif(x,y0) terhadapx dix0.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

arti geometri turunan parsial
Artigeometriturunanparsial
  • Nilaiturunanparsialdarifterhadapxpadatitik (x0,y0) memilikiartigeometri:
  • Kemiringankurvaz=f(x,y0) (busurQR) dititik

padabidangy=y0 (PQR).

ATAU

  • Lajuperubahandarifdi (x0,y0) terhadapxdenganmenganggapytetapyaituy=y0.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

definisi turunan parsial
TurunanParsialterhadapx

TurunanParsialterhadapy

  • Turunanparsialf(x,y) terhadapxpadatitik (x0,y0) adalah
  • denganasumsilimitnyaada.
  • Turunanparsialf(x,y) terhadapypadatitik (x0,y0) adalah
  • denganasumsilimitnyaada.
Definisi: TurunanParsial

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 8 mencari turunan parsial
Contoh 8 : Mencariturunanparsial

Carilah nilai dari ∂f/∂x dan ∂f/∂y di (2,3) dari

Penyelesaian :

  • Untukmencari∂f/∂x, pandangysebagaisuatukonstantakemudianturunkanfterhadapx :
  • Untuk mencari ∂f/∂y, pandang x sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap y:

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

latihan mencari turunan parsial
Latihan: Mencariturunanparsial
  • Cariturunanparsialdandidari
  • Tentukandandari

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan parsial dan kekontinuan
TurunanParsialdanKekontinuan
  • Padafungsisatuvariabel,jikafungsiterturunkandisuatutitikmakafungsitersebutkontinudititiktersebut.
  • Berbedadenganfaktatersebut, padafungsiduaataulebihvariabel, turunanparsialterhadapxdanterhadapy disuatutitiktidakmenjaminkekontinuanfungsidititiktersebut.
  • Jikaturunanparsialdariz=f(x,y) adadanturunanparsialtersebutkontinudiseluruhcakram yang berpusatdi (x0,y0), barulahkitakatakanfungsikontinudi (x0,y0).
  • Perhatikanlahcontohberikut.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 9 menunjukkan turunan parsial f ada tetapi f diskontinu
Contoh 9: Menunjukkanturunanparsial f adatetapi f diskontinu
  • Misalkan
  • danadadititikasal (0,0), yaitu:
  • Nilaif sepanjanggarisadalah 0, kecualidititik (0,0).
  • Maka,
  • Karenadanmakaf takkontinudi (0,0).
  • Namundemikian, turunanparsialdanadadititikasal (0,0).

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 10 menghitung turunan parsial
Contoh 10 : Menghitungturunanparsial
  • Carilahturunanparsialkeduadarifungsi

Penyelesaian :

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

keterturunan
Keterturunan
  • Padafungsiduavariabel, keterturunanjugaberkaitandenganeksistensibidangsinggung.
  • Namun, keterturunanfungsiduavariabelmemerlukanlebihdarisekedarturunanparsial yang hanyamenyatakanperilakufdariduaarahsaja.
  • Dengandemikian, eksistensiturunanparsialtidakmenjaminketerturunansuatufungsiduavariabel.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

aturan rantai
FMIPA Universitas IndonesiaATURAN RANTAI

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

aturan rantai1
AturanRantai

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 11 penggunaan aturan rantai
Contoh 11 : Penggunaanaturanrantai

Misalkandengan , , carilah

Penyelesaian

Fungsiz ,x,danyadalahfungsipolinom yang terturunkanmaka

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 12 penggunaan aturan rantai
Contoh 12 : Penggunaanaturanrantai

Jikadengan, , carilah∂z/∂sdan∂z/∂t.

Penyelesaian

Karenafungsixdanyadalahfungsipolinom yang terturunkandanzadalahfungsilogaritma yang jugaterturunkan, maka∂z/∂sdan∂z/∂tada.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 12 lanjutan
Contoh 12 (lanjutan)

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan fungsi implisit
TurunanFungsiImplisit
  • Misalkanmendefinisikansecaraimplisitysebagaifungsidarix.
  • Makaturunannya:

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 13 mencari turunan fungsi implisit
Contoh 13 : Mencariturunanfungsiimplisit

Carilah dy/dx dari persamaan berikut :

Penyelesaian

Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti berikut.

Kemudiandenganmenyelesaikanpersamaantersebutkitaperolehnilaidy/dx,

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan berarah vektor gradien
FMIPA Universitas IndonesiaTURUNAN BERARAH &VEKTOR GRADIEN

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan berarah vektor gradien1
Turunan Berarah & Vektor Gradien

TurunanBerarah

Mencariturunanberarahdenganvektorgradien

Vektor Gradien

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

turunan berarah
Turunan Berarah
  • Turunanparsialfungsiduavariabelterhadap-xmemilikiartigeometrisebagailajuperubahanfdalamarahi(arahsumbu-x)
  • Bagianiniadalahmempelajarilajuperubahan fdalamsebarangarahvektoru
  • Limit ini, jikaada, adalahturunanberarahdarifdipdalamarahu.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

arti geometri turunan berarah
Artigeometriturunanberarah
  • Vektoru menyatakangarisLpadabidang-xy yang melalui (x0, y0).
  • Bidang yang melaluiLdantegaklurusbidang-xymemotongpermukaanz=f(x,y) padakurvaC.
  • Garissinggungdititik

(x0, y0, f(x0, y0)) memilikikemiringanDuf(x0, y0).

  • Jadi, Duf(x0, y0) menyatakanlajuperubahanfpadaarahu.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

vektor gradien
Vektor Gradien
  • Misalkandanturunanparsialdi .
  • Gradiendarifdip adalah

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

arti geometri vektor gradien
Arti geometri vektor gradien
  • Gradiendarifdip , , adalahsuatuvektor
  • Di setiaptitikpada domain, adalahvektor normal terhadapkurvaketinggian yang melalui

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

aljabar gradien
Aljabar Gradien
  • Perkalian dengan konstanta α
  • Penjumlahan dan pengurangan
  • Perkalian
  • Pembagian

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

mencari turunan berarah dengan vektor gradien
Mencari turunan berarah dengan vektor gradien
  • Misalkanfterturunkandi
  • Makafmempunyaiturunanberarahdipdenganarahvektorsatuan
  • dan
  • yaitu

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

contoh 14 mencari turunan berarah
Contoh 14 : Mencariturunanberarah
  • Carilahturunanberarahdari

dititikdenganarah

  • Penyelesaian
  • Gradiendarifadalah
  • Gradienfdiadalah
  • Jadi,

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

slide57

SELESAI

Hanya digunakan di Universitas Indonesia