第四章多项式与矩阵复习与小结多项式不仅是中学数学的重要内容，也是整个代数学最基本的研究对象之一，在进一步学习数学和实际问题时都经常遇到他，因此有必要进行系统的研究。

第四章多项式与矩阵 复习与小结多项式不仅是中学数学的重要内容，也是整个代数学最基本的研究对象之一，在进一步学习数学和实际问题时都经常遇到他，因此有必要进行系统的研究。本章从两个方面对多项式进行讨论。一方面以纯代数观点，将多项式作为形式表达式，讨论一元多项式的整除理论和因式分解问题；另一方面以函数的观点，讨论一元多项式的性质和根的问题。 1、掌握最大公因式的概念、性质。 2、能熟练应用辗转相除法求最大公因式。 3．掌握互素的有关概念 4．掌握不可约多项式的概念及性质，理解多项式的因式分解定理 5．理解多项式的根的概念， 6．掌握复系数多项式和实系数多项式的根， 7．掌握Gauss引理及有理系数多项式的根， 8．并学会用艾森斯坦因判别法定义设是一个数域，是一个不定元。下面的形式表达式

（其中属于 ，且仅有有限个不是0）称为数域上的一个不定元的一元多项式。数域上一个不定元的多项式的全体记作。零次多项式(常数多项式): f(x)=a0≠0. 零多项式: f(x)=0, 此时规定: degf(x)=－∞ 次数定理：设f(x),g(x)是数域F上的两个多项式,则 (ⅰ)当f(X)+g(x)≠0时，有带余除法定理设，则存在唯一的，使其中或。我们称和分别称为用去除所得的商和余式。最大公因式的概念 1、公因式：如果多项式即是的因式，又是的因式，则称为和的公因式，即如果，则就是与的公因式注：1、对于任意多项式，它就是与0的最大公因式

2、两个零多项式的最大公因式是零 最大公因式存在定理对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，并且 d(x)可以表示成的一个组合，即有中的多项式，使得定义：对于P[x]中的多项式，若，则称互素。不可约多项式的概念定义：设是数域P上次数的多项式，如果它不能表示成数域P上两个次数比次数低的多项式的乘积，就称是数域P上的不可约多项式。注意：（1）、一次多项式就是不可约多项式。（2）、多项式是否可约依赖于系数域。（3）、不可约的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍由此可知：不可约多项式与任一多项式之间只有两种关系或者。因式分解及唯一性定理

数域P上每一次数的多项式 都可以唯一地分解为数域P上一些不可约多项式的乘积，这里的唯一性是指，如果则，并在适当排列因式的次序后有其中为一些非零常数多项式的根的概念定义设如果 =0,那么称c是在F中的根. 复系数多项式的根代数基本定理：，若，则在复数域上必有一根．注：1），若，则存在，使，即在复数域上必有一个一次因式． 2）复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即，若，则可约的．复系数多项式因式分解定理：条件 1），2）若，结论 1）在上可分解成一次因式的乘积．2）分解式唯一艾森斯坦因（）判别法定理（判别法），设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得则在有理数域上是不可约的。

则在有理数域上是不可约的。

第四章 多项式与矩阵 复习与小结 多项式不仅是中学数学的重要内容，也是整个代数学最基本的研究对象之一，在进一步学习数学和实际问题时都经常遇到他，因此有必要进行系统的研究。