Sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy Toán tạo hứng thú học tập cho HS Lớp 12

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦNGHĨA VIỆT NAM SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG Trường THPT Võ Thành Trinh Độc lập - Tự do - Hạnh phúc An Giang, ngày 14 tháng 02 năm 2019 BÁO CÁO Kết quả thực hiện sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến bộ kỹ thuật hoặc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I.Sơ lược lý lịch tác giả: -Họvà tên: Nguyễn Thị Mỹ Trang Nam, nữ: Nữ -Ngày tháng năm sinh: 26/10/1986. -Nơi thường trú: Xã Khánh Hòa Huyện Châu Phú Tỉnh An Giang. -Đơn vịcông tác: Trường Trung học phổthông Võ Thành Trinh. -Chức vụ hiện nay: Giáo viên. -Trình độchuyên môn: Cửnhân Toán. -Lĩnh vực công tác: Dạy Toán, kiêm nhiệm. II.Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị: 1.Thuận lợi: -Được sựquan tâm giúp đỡ của Ban Giám Hiệu, của giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong tổvà trong nhà trường. -Đa số học sinh có ý thức học tập tốt, được sựquan tâm của giáo viên chủ nhiệm, giáo viên bộmôn và phụ huynh học sinh trong suốt quá trình học tập. -Hệ thống cơ sở vật chất đủđiều kiện để phục vụ cho việc dạy ứng dụng công nghệthông tin. 2.Khó khăn: -Trình độ học sinh ở các lớp chưa đều, còn khá nhiều học sinh yếu. 1 https://baigiang.org/

2. 3.Tên sáng kiến/đềtài giải pháp: “Sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Võ Thành Trinh”. 4.Lĩnh vực: Toán học. III.Mục đích yêu cầu của đềtài, sáng kiến: 1.Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến -Đa số học sinh cảm thấy áp lực khi học môn Toán. -Học sinh còn thiếu kỹnăng tư duy trong một sốbài toán liên quan đến không gian, “hình học động” -Đa số học sinh rất sợ học hình học không gian, các bài toán liên quan đến đồ thịhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối hay những bài toán về thểtích khối đa diện, khối tròn xoay… -Chưa có nhiều thời gian đểquan sát hình ảnh trong thực tế. -Những mô hình dụng cụ dạy học khá cồng kềnh, khó khăn trong việc di chuyển. 2.Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến Tạo cho học sinh sự hứng thú trong Toán học thông qua các hình ảnh trực quan, những mô hình không gian hoặc những bài toán có liên quan đến sự chuyển động là việc vô cùng cần thiết trong việc phát huy khảnăng tư duy và sáng tạo của học sinh trong lĩnh vực Toán học và các lĩnh vực khoa học khác. 3.Nội dung sáng kiến 3.1.Đặt vấn đề 3.1.1.Lý do chọn đềtài Những năm gần đây, công nghệthông tin trở thành một công cụng không thể thiếu đối với đời sống con người, trên tất cả mọi lĩnh vực nói chung và trong giáo dục nói riêng, nhờcông nghệphát triển chúng tacó thểnhìn thấy những hình ảnh mà trước đây chỉcó trong trí tưởng tượng, trong những năm qua,công nghệthông tin đóng vai trò hết sức to lớn trong việc phát triển trí tuệ, phát huy khảnăng sáng tạo, tư duy và khám phá của con người. 2 https://baigiang.org/

3. Trong lĩnh vực giáo dục nói chung, sự xuất hiện của nhiều phần mềm ứng dụng giúp khảnăng tư duy của người dạy và người học đạt đến trình độ cao nhất có thể, những phần mềm hỗ trợ việc dạy và học môn Toán cũng xuất hiện không ít, và trong đó một công cụ mới và đắt lực mà chúng tôi nhận thấy hiện nay chính là phần mềm Geogebra, có thểnói đây là trợ thủđắc lực cho giáo viên trong việc giảng dạy một số nội dung có liên quan đến “hình học động”, những hình ảnh mà trước đây thế hệ chúng tôi chỉcó thểnhìn thấy trong tưởng tượng của mỗi cá nhân, chưa được đồng bộ một cách chính xác mà chỉcó thể hiểu theo cách riêng cuả mỗi người. Đến thời điểm hiện tại, giáo dục của nước ta không ngừng đổi mới từphương pháp giảng dạy đến hình thức thi cử, đòi hỏi người học phải tiếp thu kiến thức nhanh chóng và chính xác, những nội dung liên quan đến “hình học động” cần có một sựmô tảrõ ràng từphía giáo viên đểngười học có thểhình thành kiến thức một cách chân thực nhất từ những hình ảnh đó. Và đáp ứng những nhu cầu đó, một sốchuyên gia về lĩnh vực phần mềm đã cho ra đời công cụGeogebragiúp hỗ trợ giảng dạy môn Toán hiệu quả nhất. Việc khai thác và sử dụng các phương tiện dạy học luôn là một việc vô cùng quan trọng đối với giáo viên, nó làm tăng đáng kể hiệu quả giảng dạy. Phương tiện dạy học, từ những tài liệu in ấn và những đồdùng dạy học đơn giản cho đến những phương tiện kỹ thuật hiện đại như thiết bịnghe, nhìn, công nghệthông tin và truyền thông…. Giúp thiết lập những tình huống chứa đựng ý đồsư phạm, tổ chức hoạt động học tập giảng dạy và giao lưu giữa giáo viên và học sinh. Đặc biệt là việc ứng dụng phần mềm dạy học đang được sử dụng rộng rãi vào quá trình giáo dục ở nhiều quốc gia trên thế giới nói chung và ởnước ta nói riêng thu được kết quả cao. Với mục tiêu cho người học nhìn ảnh những hình ảnh trực quan sinh động mà trước đây chưa từng thấy, nhằm phát huy tối đa khảnăng tư duy của người học chúng tôi chọn nghiên cứu đềtài “Sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Võ Thành Trinh”. 3.1.2.Cơ sởlí luận Hiện nay, các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức đặc biệt là môn Toán, chỉtính riêng chương trình Giải Tích 12 cơ bản, học sinh phải trải qua việc vẽđồ thị của các hàm số từđơn giản đến phức tạp, hình ảnh về sựtương 3 https://baigiang.org/

4. giao của đồ thịcác hàm số, vịtrí điểm chuyển động trênđồ thị, quỹtích, tập hợp điểm, những ứng dụng của tích phân trong hình học,….đòi hỏi người học phải có một sức tập trung và tư duy cao độđểcó thểtưởng tượng được các mối quan hệ vềhình dạng trong các bài toán đó, sựhình thành các khối tròn xoay cho đến việc tính thểtích hay diện tích của những hình ảnh phức tạp, những hình ảnh lúc động lúc tĩnh đó đã gây không ít khó khăn cho người dạy lẫn người học….Ngày nay sựra đời của công nghệthông tin đã từng bước đưa vào nhà trường những phần mềm hỗ trợ giảng dạy vô cùng đắc lực, nó nối dài và gắn kết khảnăng truyền đạt - tiếp thu giữa giáo viên và học sinh, thể hiện được toàn bộý tưởng của người truyền tải thông tin đến học sinh, là cầu nối giúp học sinh liên kết được các phần kiến thức riêng biệt lại thành một thể thống nhất đểtư duy vấn đềhoàn thiện nhanh chóng và chính xác. Ngoài ra, một vấn đềmà không một giáo viên nào không trăn trở, đó là việc đổi mới phương pháp giảng dạy thếnào cho hiệu quả nhất, làm thếnào đểgiáo dục của chúng ta không bị lỗi thời mà phải bắt kịp thời đại, bắt kịp với nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, làm thếnào để học sinh có một nền tản kiến thức bền vững và kiên cố nhất,… có như thếgiáo dục mới thực sự gọi là “giáo dục”, cái mà người dạy học chúng tôi muốn hướng đến là làm thếnào để dạy học mang một phong cách thoải mái nhất, từng bước từng bước làm cho người học lấy được kiến thức một cách nhẹnhàng tựnhiên nhất, không phải là áp đặt, cũng không phải “vì thi mà học”, làm thếnào để người học cảm nhận được việc tiếp thu một lượng kiến thức nào đó cũng như một chuyến phiêu lưu đầy thú vị. Muốn thực hiện những mong muốn đó, chúng tôi không thểkhông nói đến công nghệthông tin, và phần mềm Geogebra hiện nay với chúng tôi vô cùng hữu hiệu để thực thi nhiệm vụgiáo dục đó. Hiện nay, phần mềm Geogebrađược phổ biến rộng rãi và được rất nhiều giáo viên sử dụng đạt hiệu quả cao, nhằm thực hiện những mong muốn nêu trên và tạo cho mình những công cụ giảng dạy hiệu quả, chúng tôi thiết kế sẵn một sốcông cụ thường xuyên sử dụng trong các tiết dạy về vẽđồ thị, sựtương giao giữa các đường, hình học không gian, về khối tròn xoay, vềứng dụng tích phân trong hình học,… nhằm giúp tiết kiệm thời gian vẽhình và giúp học sinh nhìn thấy những hình ảnh trực quan sinh động, tạo cho các em nguồn hứng khởi trong việc tiếp thu kiến thức mới cũng như vận dụng nó vào từng tình huống cụ thểtrong đời sống. 4 https://baigiang.org/

5. Cơ sở thực tiễn: Ngoài những lí luận nêu trên, với điều kiện học tập và cơ sở vật chất hiện nay của nhà trường, chúng tôi hoàn toàn có thể thực hiện giảng dạy bằng công nghệthông tin một cách dễdàng. Hầu hết các phòng học của nhà trường đều trang bịtivi đểgiáo viên trình chiếu các hình ảnh bằng các phần mềm hỗ trợ, có thể thực hiện dạy ứng dụng công nghệthông tin mọi lúc khi cần thiết, đó là điều tuyệt vời đểgiáo viên và học sinh cùng nhau học tập và liên tục cập nhật những ứng dụng mới có liên quan đến giáo dục để phục vụ tốt nhất cho việc giảng dạy cũng như việc phát triển những tài năng tương lai của đất nước. 3.1.3.Mục đích nghiên cứu -Xây dựng công cụ hỗ trợgiảng dạy các bài toán về“hình học động” tạo hứng thú học tập cho học sinh, đồng thời đáp ứng cho kì thi Trung học phổthông quốc gia. -Làm sáng tỏcác vấn đềliên quan đến kiến thức học sinh đang được học. -Xây dựng hình ảnh trực quan sinh động trong việc tiếp thu kiến thức mới cho học sinh. -Làm tăng hứng thú học tập cho học sinh thông qua các mô hình có màu sắc đẹp mắt, có thểnhìn thấy một sốđối tượng chuyển động như điểm, đường thẳng, hoặc mặt phẳng, việc tạo thành các khối tròn xoay trong bài toán về thểtích… -Học sinh tựmình thấy được những hình ảnh trừu tượng, từđó giúp các em tự tin hơn trong việc tiếp thu kiến thức hình không gian. -Rèn luyện khảnăng tư duy và năng lực giải quyết vấn đề trong thực tiễn. -Tạo động lực đểcác em học sinh tự tin khi giải toán, nâng cao chất lượng dạy và học. -Đáp ứng nhu cầu học tập trong giai đoạn mới. -Tạo ra nền tản kiến thức bền vững cho các em trong việc phát triển tư duy về Toán học. 3.1.4.Phương pháp nghiên cứu a.Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu sách giáo khoa,sách tham khảo Toán, sách hướng dẫn sử dụng phần mềm Geogebra, cách thiết kếcông cụ giảng dạy trên phần mềm Geogebra… quá trình chỉnh lí sách giáo khoa Toán phổthông qua các giai đoạn, nghiên cứu các 5 https://baigiang.org/

6. trang mạng về giáo dục, những đổi mới qua những năm gần nhất cho phù hợp tình hình thực tế, ngoài ra nghiên cứu những thông tin cần thiết liên quan đến chuyên đề. b.Nghiên cứu thực tế Khảo sát chất lượng học tập môn Toán của học sinh vào đầu năm học, những nguyện vọng của các em đối với Toán học. Làm kiểm tra nghiên cứu quá trình học tập và rèn luyện tư duy giải toán qua các giờ dạy chính khóa, trái buổi, tinh thần và thái độ hợp tác khi làm việc nhóm để giải quyết tình huống của giáo viên đặt ra, tổ chức thực nghiệm một số vấn đề cụ thể vềcác khối tròn xoay, các mô hình “hình học động”, tổ chức các cuộc thi đố vui nhỏtrong quá trình hình thành kiến thức mới liên quan Toán học. Khảo sát vềcơ sở vật chất, điều kiện thực tế của nhà trường đểcó thểáp dụng chuyên đềđạt hiệu quả tốt nhất. c.Nghiên cứu phần mềm Geogebra GeoGebralà mộtphần mềm “hình học động”hỗ trợ giảng dạy trong trường học. Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, quốc tịch Áo, giảng viên Toán - Tin học thuộc trường đại học University of Salzburg, Cộng Hòa Áo. Dự án phần mềm GeoGebrea được khởi tạo năm 2001 và đãtrải qua nhiều năm liên tục phát triển. Phần mềm GeoGebra đã đoạt nhiều giải thưởng tại nước chủ nhà Áo và Liên minh châu Âu về phần mềm giáo dục tốt nhất trong nhiều năm liền. Geogebralà một ứng dụng khá phức tạpnhằm mục đích nghiêm chỉnh với nhữngứng dụngcó tính toán khó,nhưng lợi thế mà GeoGebracung cấp trên các ứng dụng tương tự là nó cung cấp nhiều biểu diễn của các đối tượng được liên kết động. Ý tưởng là để kết nối các đại diện hình học, đại số và số theo cách tương tác. Điều này có thể được thực hiện với các điểm, vectơ, đường thẳng và các phần conic. GeoGebracho phép người sử dụngtrực tiếpnhập và thao tác các phương trình và tọa độ, cho phép chúng tavẽ các hàm; làm việc với thanh trượt để điều tra các thông số; tìm các dẫn xuất tượng trưng; và sử dụng các lệnh mạnh mẽ như Root hoặc Sequence. Một mặt, Geogebra làphần mềm hình học động, chúng tacó thể định nghĩa các điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường cô-nic cũng như hàm số và thay đổi chúng một cách linh động. Mặt khác, phương trình và tọa độ có thể được nhập trực 6 https://baigiang.org/

7. tiếp. Vì thế, GeoGebra có thể xử lý biến số, vectơ và điểm, tìm đạo hàm và tích phân của hàm số và đưa ra những lệnh như Nghiệm hay Cực trị. GeoGebra là phần mềm miễn phí. Trong tương lai, đây là phần mềm sẽ được sử dụng trong nhiều trường phổ thông của Việt Nam, thay thế các phần mềm thương mại như Geometry Cabri, Geometer's Skethpad. Hơn nữa, nó dễ dàng được sử dụng cho các ứng dụng web (như các GeoGebra Applets) mà không cần quan tâm đến vấn đề bản quyền. Một giao diện điển hình của Geogebra Mặc dù thoạt nhìn, đây có vẻ làmột ứng dụng phức tạp nhưng lợi thế của nó so với các ứng dụng tương tự khác đó là: cung cấp nhiều đối tượng được liên kết chặt chẽ. Mục đích của việc thiết kế raGeoGebrađó là hỗ trợ kết nối hình học, đại số và các yếu tố toán học khác theo một cách tương tác và chặt chẽ hơn. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụngcác điểm, vectơ, đường thẳng, hình tam giác, hình nón, vv. Bên cạnh đó,GeoGebracòn cho phép người dùng trực tiếp nhập và thao tác các phương trình toán học và tọa độ. Với tất cả những đặc điểm trên,GeoGebrahiện đang là một trong những phần mềm toán học được yêu thích nhất trên thế giới và đã nhận được nhiều giải thưởng quý giá. Nó đã mang lại những cải tiến và tiến bộ vượt bậc trong quá trình giảng dạy và học tập của học viên trên toàn thế giới. 7 https://baigiang.org/

8. Ưuđiểmnổibậtcủa GeoGebra -Phầnmềmtoánhọcnàyhoàntoànmiễnphívàhỗtrợhiệuquảcôngviệchọc tập,giảngdạyvàđánhgiá. -Giao diệndễdàngsửdụngvàkhảnăngtươngtácđầyđủvớinhiềutínhnăng mạnhmẽ. -Cósẵnởnhiềungônngữ, bao gồmcả:tiếngViệt -Cung cấpmộtcáchthúvịđể xem vàtrảinghiệmcácmôntoáncũngnhư khoa học. -Thíchứngtốtvớibấtkỳchươngtrìnhhọchoặcdựánnào. -Đượcsửdụngbởihàngtriệungườitrênkhắpthếgiới. Nhượcđiểmcủa GeoGebra -Mộtnhượcđiểm duy nhấtcủa GeoGebra: hơiphứctạp cho ngườimớibắtđầu. 3.1.5.Nội dung và tiến trình thực hiện chuyên đề a.N i dung của chu ên đề Thiết kếcông cụ dạy học cho các chương sau: Giải tích 12 cơ bản: Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽđồ thịhàm số. Chương III: Nguyên hàm- tích phân. Hình học 12 cơ bản: Chương I: Khối đa diện. Chương II: Mặt tròn xoay. b. iến t ình thực hi n Thiết kếcông cụtrình chiếu các hình ảnh chuyển động có liên quan đến nội dung giảng dạy trong các chương đã nêu trên. Thực hiện theo khung kế hoạch phân phối chương trình của Tổchuyên môn đã đề ra từđầu năm học. c.Thời gian thực hin 8 https://baigiang.org/

9. Thời gian thực hiện sáng kiến: năm học 2018 -2019 trên lớp 12C2 trường THPT Võ Thành Trinh. d.Bi n pháp tổ chức Đặt vấn đềở mỗi bài giảng về sựhình thành những hình ảnh có thể xuất hiện trong từng bài học cụ thể. Khảo sát sựhình thành ý tưởng về những hình ảnh mà học sinh phải học trong từng bài, từng chương. Thực nghiệm, cho học sinh quan sát hình ảnh “hình học động” bằng phần mềm geogebra tạo ra hứng thú học tập và chính xác hoá ý tưởng hình ảnh trong suy nghĩ của các em. Cụ thể: Hỗ trợ dạy học định lý toán học Quy trình dạy học định lý toán học với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra gồm các bước như sau: Tiếp cận định lý: Trước hết, giáo viên gợi động cơ, sựtò mò, động viên và thu hút học sinh. Thiết lập mục đích dạy học, gợi lại kiến thức cũ liên quan đến nội dung dạy học. Tiếp theo, giáo viênđưa ra các ví dụở dạng động, trực quan và yêu cầu học sinh quan sát các ví dụvà thực hiện các hoạt động sau: + Quan sát, đo đạc, thử nghiệm trên các ví dụ hoặc phản ví dụ. + Phân tích, so sánh, phân loại, tìm tòi, tìm kiếm và đưa ra các dựđoán vềhướng giải quyết bài toán. Phát hi n a định lý, tạo đ ng cơ chứng minh: Nếu học sinh sử dụng phần mềm để tạo ra đối tượng và sau đó cho đối tượng thay đổi mà vẫn giữnguyên các giả thiết ban đầu thì có thể sẽphát hiện được những bất biến chứa ẩn trong đối tượng trên cơ sởquan sát trực quan. Đây chính là quá trình học sinh thể hiện năng lực quan sát đểtìm và dựđoán. Mặt khác, học sinh có thể sử dụng các công cụ của phần mềm GeoGebrađể kiểm tra ngay dựđoán đó. Đây chính là quá trình trợgiúp học sinh phát hiện ra định lý. Việc phát hiện ra định lý có thể hoặc học sinh tựmình khám phá và phát hiện ra định lý hoặc học sinh phát hiện ra định lý thông qua một sốbước kiểm nghiệm theo sựđịnh hướng của giáo viên. 9 https://baigiang.org/

10. Thể chếhóa: Giáo viên cho biết điều vừa phát hiện là một định lý cần học. Yêu cầu học sinh phát biểu định lý. Giáo viên sử dụng phần mềm hỗ trợ học sinh tìm cách chứng minh. Mặc dù phần mềm không có các chức năng để chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đềtoán học, nhưng trong quá trình chứng minh định lý có thể sử dụng phần mềm trong một sốcông đoạn. Nhận dạng và thể hin định lý: Trong dạy học định lý, hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” có vai trò đặc biệt quan trọng, chức năng của phần mềm GeoGebra hỗ trợ học sinh phân tích một tình huống nào đó cho khớp với định lý nào đó không hoặc tạo ra những tình huống phù hợp với một định lý cho trước. Củng cốvà vận dụng định lý: Giáo viên đưa ra các bài tập củng cốvà vận dụng định lý. Hỗ trợ dạy học giải bài tập toán học Khai thác phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học trong giải bài tập được tiến hành theo các bước sau: - Bước 1. Tìm hiểu bài toán: Sử dụng phần mềm GeoGebra vẽhình đểtìm hiểu bài toán, xác định các yếu tốban đầu. - Bước 2. Xây dựng chương trình giải bài toán: Cho thay đổi hình vẽđểquan sát các yếu tố cần tìm hiểu để từđó phát hiện ra những vịtrí đặc biệt, những mối quan hệ, tính chất bất biến của các đối tượng trong bài toán. - Bước 3. Thực hiện chương trình giải bài toán: Trong quá trình thực hiện lời giải, phần mềm có thểgiúp kiểm tra các giả thuyết, trả lời các câu hỏi phục vụcho quá trình lập luận và viết lời giải của bài toán. - Bước 4. Kiểm tra lời giải của bài toán: Sau khi giải xong, chúng ta sử dụng các chức năng của các phần mềm để minh họa, kiểm tra lại kết quảvà toàn bộquá trình giải toán và cho thay đổi các yếu tốđầu bài của bài toán đểnghiên cứu mở rộng bài toán. 3.2. Nội dung chuyên đề Giải tích 12: Chương I. Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽđồ thịhàm số Đúc kết kinh nghiệm qua các năm giảng dạy, trong chương này người dạy và người học gặp rất nhiều khó khăn trong việc tươngtác với nhau qua các bài toán về sự 10 https://baigiang.org/

11. tương giao giữa các đồ thị, giữa đường thẳng và đường cong hoặc giữa các đồ thị của các hàm sốcó chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nó hạn chế rất nhiều về mặt kỹ thuật vẽhình và thời lượng giảng dạy. Để giải quyết những khókhăn đó, chúng tôi tiến hành thực hiện ý tưởng giảng dạy như sau: Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn chi tiết cách vẽcác loại đồ thị theo phương pháp tự luận trước đây, sau khi học sinh đã nắm vững các ý tưởng và thực hành vẽđược các loại đồ thịcơ bản, giáo viên mới đưa vào giảng dạy sựtương giao đồ thịhàm số bằng phần mềm Geogebra nhằm tiết kiệm thời lượng và tạo hứng thú học tập giải toán nhanh chóng cho học sinh. Các dạng toán thường gặp về sựtương giao nhất thiết phải có hình ảnh minh hoạ trực quan để học sinh thấy và tư duy hình ảnh chính xác.   C     3 2 Bài toán 1: Sựtương giao giữa hàm số bậc ba y ax bx cx d và   d .   y mx n một đường thẳng Để minh hoạrõ nét mối quan hệ giữa hai đồ thịhàm sốvà biện luận số nghiệm   cx d    , ta lần lượt thao tác trên công cụ 3 2 ax bx mx n của phương trình Geogebrađã được thiết kế sẵn như sau: Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Thanh trượt Hộp nhập dữ liệu cho hàm số 11 https://baigiang.org/

12. Lần lượt nhập các hệ sốa,b,c,d của hàm số      3 2 và hộp f x ax bx cx d nhập dữ liệu ta được đồ thịhàm số  f xnhanh chóng và trực quan. Đối với đường thẳng y ta cũng nhập các hệ sốm,ntương ứng, trên  mx n màn hình sẽnhanh chóng hiển thịđồ thị của hai hàm sốvà thể hiện rõ ràng số giao điểm của hai đường. Ngoài ra ta có thểthay đổi các hệ sốm,n,p,qtương ứng trên hộp nhập dữ liệu để tạo ra đường thẳng   g x hoặc một hàm sốkhác hay một đường thẳng song song với trục Ox. Công cụđắc lực chính là thanh trượt, nếu hàm số  viên có thểđiểu chỉnh thanh trượt đểcho đồ thịhàm số  g xcó chứa tham số giáo g x di chuyển để hiển thị số giao điểm nếu có của hai đường tuỳvào từng giá trị của tham sốđã có trong hàm số   g x . Với công cụnày, giáo viên có thể minh hoạnhanh chóng cho ý tưởng vềđồ thị và sựtương giao giữa chúng. Bài toán 2: Sựtương giao giữa hàm số bậc bốn (trùng phương)   bx c C   và một đường thẳng y    d .   4 2 mx n y ax Lần lượt nhập các hệ sốa,b,c của hàm số    và hộp nhập 4 2 f x ax bx c dữ liệu ta được đồ thịhàm số  f x . Đối với đường thẳng y ta cũng nhập các hệ sốm,ntương ứng, trên  mx n màn hình sẽnhanh chóng hiển thịđồ thị của hai hàm sốvà thể hiện rõ ràng số giao điểm của hai đường. Nếu hàm số  cho đồ thịhàm số  vào từng giá trị của tham sốđã có trong hàm số  chuột phải vào thanh trượt và chọn lệnh “hiệu ứng trên” đểcho đường thẳng   g xcó chứa tham sốgiáo viên có thểđiểu chỉnh thanh trượt để g x di chuyển để hiển thị sốgiao điểm nếu có của hai đường tuỳ g x . Hoặc giáo viên có thể nhấp g x tự chuyển động lên xuống và chỉ cần quan sát xem sốgiao điểm mà không cần trực tiếp di chuyển thanh trượt. 12 https://baigiang.org/

13. Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Thanh trượt Hộp ẩn hiện Hộp ẩn hiện   ax cx b d Bài toán 3. Sựtương giao của hàm nhất biến     0    và f x ad bc đường thẳng    mx n.  g x Tương tựnhư hai bài toán trên, ta thao tác tương tựcho hàm nhất biến   ax cx b d   f x   0    , đối với hàm này có xuất hiện thêm hai đối tượng mới là ad bc hai đường tiệm cận, tuy nhiên, ta chỉ cần nhập các hệ sốtương ứng a,b,c,dđồ thị sẽ tựđộng hiển thịhai đường tiệm cận, các thao tác còn lại hoàn toàn tương tựnhư hai bài toán trên. Công cụnày hỗ trợ rất hiệu quảvà tiết kiệm thời gian đối với việc vẽđồ thị của các hàm nhất biến hoặc các hàm nhất biến chứa dấu giá trị tuyệt đối. 13 https://baigiang.org/

14. Thanh trượt Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Hộp nhập dữ liệu cho hàm số   f x    cx d  3 2 ax bx Bài toán 4. Sựtương giao của hàm số và đường thẳng    mx n.  g x Với nhu cầu học tập hiện nay, khối lượng bài tập là rất nhiều, vì vậy việc minh hoạ cho học sinh thấy được đồ thị của các hàm sốcó chứa dấu giá trị tuyệt đối là một điều mà chúng tôi luôn băn khoăn, vì trong thời lượng 45 phút thì thời gian vẽhình sẽ chiếm đáng kể, vì vậy với công cụdưới đây, giáo viên chỉ cần nhập dữ liệu vào là trên màn ảnh sẽnhanh chóng hiển thịđồ thịtương ứng, thể hiện rõ ràng sựtương giao nếu có giữa đồ thịcác hàm số, tiết kiệm rất nhiều về thời gian và làm cho việc tương tác của giáo viên và học sinh đạt hiệu quả cao. Giáo viên có thể cho hiển thịtheo như trình tự giải một bài toán đồ thịthông thường, trước tiên là vẽđồ thịhàm số  f x     3 2 ax bx cx d nhấp vào hộp ẩn f x , từđồ thị  hiện hàm số  h xđể hiển thịđồ thị hàm số ban đầu là    f x suy ra f x nhấp vào hộp ẩn hiện hàm số  đồ thịhàm số f xđể cho hiển thịđồ thị hàm f x ,giáo viên có thể cho ẩn hoặc hiển thịđồ thịhàm số    f x tuỳtheo tình hình cụ thể, cuối cùng là hoàn chỉnh bài toán với một hình vẽ cuối cùng trên màn ảnh. 14 https://baigiang.org/

15.   f x với một đường Nếu cần minh hoạ sựtương giao của đồ thịhàm số thẳng    (nlà hằng số) song song với trục Oxgiáo viên chỉ cần điều chỉnh g x n thanh trượt thì học sinh sẽ thấy được sốgiao điểm ứng với những giá trị của tham số n. Hoặc có thểcho thanh trượt tự di chuyển lên xuống đểta quan sát sốgiao điểm của đồ thịhai hàm sốvà biện luận theo tham sốn về sốgiao điểm đó của hai đồ thị. Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Thanh trượt Bài toán 5. Sựtương giao của hàm số  3 2     f x a x b x c x d và đường thẳng    mx n.  g x Trước tiên vẽđồ thịhàm số      3 2 f x ax bx cx d ta nhập vào các hệ số a,b,c,dtrên hộp nhập dữ liệu và nhấp vào hộp ẩn hiện để hiển thịđồ thị  này chưa cho hiển thịđồ thịhàm số  f   f x . h x, lúc x . Trên màn hình chỉ hiển thịđồ thịhàm số f xsuy ra đồ thịhàm số  f xta được đồ thịhoàn chỉnh của hàm số  Từđồ thịhàm số  f x , nhấp vào hộp ẩn hàm số   h xvà hiển thịđồ thịhàm số  f x . 15 https://baigiang.org/

16. Nếu cần minh hoạ sựtương giao của đồ thịhàm số  thẳng   g x n  (nlà hằng số) song song với trục Oxgiáo viên chỉ cần điều chỉnh f x với một đường thanh trượt thì học sinh sẽ thấy được sốgiao điểm ứng với những giá trị của tham số n. Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Hộp ẩn hiện Hộp ẩn hiện  ax b cx    f x   0 Bài toán 6. Sựtương giao của đồ thịhàm số    ad bc d với đường thẳng    mx n.  g x   ax cx b d Việc vẽđồ thịhàm số nhất biến    mất khá nhiều thời gian, bên f x cạnh đó đồ thịnày xuất hiện thêm hai đối tượng nữa là hai đường tiệm cận, nên việc suy từđồ thịhàm số  f xsang hàm số   f x mất khá nhiều thời gian. Vì vậy, công cụdưới đây sẽgiúp chúng ta vẽhình và suy đồ thị một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian đểcó thể giải quyết một khối lượng bài tập nhiều hơn,đồng thời học sinh thấy được những hình ảnh trực quan sinh động sẽlàm cho các em hứng khởi hơn trong việc giải toán. Thao tác tương tựnhư những công cụtrên, ta nhập vào hộp nhập dữ liệu các hệ sốtương ứng a,b,c,dtrên màn hình sẽ tựđộng hiển thịcác đường tiệm cận và hình 16 https://baigiang.org/

17. dáng đồ thịtương ứng, tiếp đó là điều khiển thanh trượt đểquan sát và biện luận số giao điểm giữa đồ thịvà đường thẳng theo tham sốđã cho trong bài toán, ngoài ra ta có thểthay đổi các hệ sốđểcó những bài toán mới cho học sinh quan sát và khắc sâu kiến thức hơn. Hộp ẩn hiện Hộp ẩn hiện Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Thanh trượt   a x c x b d Bài toán 7. Sựtương giao của đồ thịhàm số    0    f x ad bc với đường thẳng    mx n.  g x Hộp ẩn hiện Hộp ẩn hiện Hộp nhập dữ liệu cho hàm số Thanh trượt Hộp nhập dữ liệu cho hàm số 17 https://baigiang.org/

18. Hình học 12 cơ bản: Chương I. Khối đa diện Bài toán 8. Minh hoạ cho khối chóp và phân chia khối chóp Di chuyển thanh trượt để cắt và phân chia khối chóp Bài toán 9. Minh hoạ cho khối lăng trụvà phân chia khối lăng trụ Di chuyển thanh trượt để tạo và phân chia khối lăng trụ, có thể di chuyển thêm điểm J đểtách rời khối lăng trụthành hai khối chóp riêng biệt. 18 https://baigiang.org/

19. Hình học 12 cơ bản: Chương II. Khối nón, khối trụ, khối cầu Bài toán 10. Minh hoạ sự tạo thành mặt tròn xoay. Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để quan sát sự tạo thành mặt tròn xoay. 19 https://baigiang.org/

20. Bài toán 11. Minh hoạ sự tạo thành mặt nón tròn xoay Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để quan sát sự tạo thành mặt nón tròn xoay. 20 https://baigiang.org/

21. Bài toán 12. Minh hoạ sự tạo thành mặt trụtròn xoay Nhấp chuột phải vào điểm D và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm D di chuyển để quan sát sự tạo thành mặt trụtròn xoay. Bài toán 13. Sự tạo thành mặt cầu Nhấp chuột phải vào điểm C và chọn “hiệu ứng trên” cho điểm C di chuyển để quan sát sự tạo thành mặt cầu. 21 https://baigiang.org/

22. GIẢI TÍCH 12: Chương III. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, học sinh phải làm quen với những bài toán liên quan đến hình học không gian và sự tạo thành các khối tròn xoay có hình dạng phức tạp. Vấn đề là làm thếnào để minh hoạ trực quan nhất sự tạo thành của các khối tròn xoay đó. Công cụdưới đây sẽ hỗ trợ rất hiệu quả cho phần này. Chúng tôi thiết kế sẵn mô hình gồm hệ trục Oxyzvà chỉ cần nhập vào hộp nhập dữ liệu hàm sốcó một đồ thịlàđường cong quay quanh trục Ox, sau đó điều khiển thanh trượt là ta sẽcó một mặt tròn xoay trực quan sinh động. Trường hợp 1. Sự tạo thành vật thểtròn xoay Người sử dụng có thểthay đổi hàm sốvà kích thước độdài đường cong tuỳý, chỉ cần nhấp thay đổi giá trị cận trên và giá trị cận dưới ta sẽcó một đường cong theo ý muốn, tiếp theo chỉ cần nhấp phải vào thanh trượt và chọn “hiệu ứng trên” ta sẽ thấy đường cong di chuyển quay quanh trục Oxđể tạo ra mặt tròn xoay vô cùng đẹp mắt. Trường hợp 2: Sự tạo thành khối nóntròn xoay  Nhấp vào hộp nhập dữ liệu thay đổi hàm sốy sinx  (a thành hàm sốy a là hằng số), nhập giới hạn cận trên và cận dưới, sau đó cho di chuyển thanh trượt ta được khối nón cần minh hoạ cho phần bài giảng về khối nón. 22 https://baigiang.org/

23. Trường hợp 3. Sự tạo thành khối trụtròn xoay Mởfile lên và chỉ cần di chuyển thanh trượt ta quan sát được sự tạo thành khối trụtròn xoay Trường hợp 4. Sự tạo thành khối cầu Giáo viên mở file phần mềm Geogebra và chỉ cần di chuyển thanh trượt sẽ quan sát được sự tạo thành khối cầu từcác phía trong không gian. 23 https://baigiang.org/

24. Bài toan 14. Minh hoạ cho việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   y f x ,Ox,x a,x b.    hàm số Đầu tiên nhập vào hộp nhập dữ liệu hàm số  f x . Nếu đồ thị  f x cắt trục hoành tại 2 điểm A,Bthì nhập cận dưới là giá trị hoành độđiểm A, cận trên là giá trịhoành độđiểm B ta sẽcó một hình ảnh thể hiện phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S. 24 https://baigiang.org/

25. Nếu đồ thị  f x cắt trục hoành tại 3 điểm A,B,C thì nhập cận dưới là giá trị hoành độđiểm A, cận trên là giá trịhoành độđiểm C ta sẽcó một hình ảnh thể hiện phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S. Bài toán 15. Minh họa cho việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị     y f x ,y g x ,x a,x b.     hàm số Trường hợp   f x và  g x cắt nhau tại 2 điểm 25 https://baigiang.org/

26. Đầu tiên nhập vào hộp nhập dữ liệu hàm số    f x ,g x . Nếu đồ thị  f x cắt   g x tại 2 điểm A,Bthì nhập cận dưới là giá trịhoành độđiểm A, cận trên là giá trịhoành độđiểm B ta sẽcó một hình ảnh thể hiện phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S. Trường hợp   f x và  g x cắt nhau tại 3 điểm Nếu đồ thị  f x cắt   g x tại 3 điểm A,B,Cthì ta nhập vào các giá trị lần lượt a ( là giá trịhoành độđiểm A), b(là giá trịhoành độđiểm B),c(là giá trị (vì không có giao điểm D) ta sẽcó một hình ảnh thể hiện hoành độđiểm C ), d c phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S. Trường hợp   f x và  g x cắt nhau tại 4 điểm Nếu đồ thị  f x cắt   g x tại 4 điểm A,B,C,Dthì ta nhập vào các giá trị lần lượt a( là giá trịhoành độđiểm A), b(là giá trịhoành độđiểm B),c(là giá trị hoành độđiểm C ), d(là giá trịhoành độđiểm D) ta sẽcó một hình ảnh thể hiện phần diện tích cần tính và giá trị diện tích cũng được thể hiện là S. 26 https://baigiang.org/

27. Bài toán 16. Minh hoạ sự tạo thành vật thểtròn xoay giới hạn bởi hai hàm số Giáo viên có thể nhập vào hàm số  f x tuỳý để tạo ra đường cong, sau đó chỉ cần cho di chuyển thanh trượt sẽquan sát được sự tạo thành mặt tròn xoay, có thể di chuyển hệ trục đểquan sát tất cảcác phía đối với khối hình vừa xây dựng. 27 https://baigiang.org/

28. Bài toán 17. Minh hoạ sự tạo thành vật thểtròn xoay giới hạn bởi hai hàm số Lần lượt nhập vào hộp nhập dữ liệu các hàm số    f x ,g x, các giá trị cận dưới a, cận trên bđể tạo các đường cong, sau đó di chuyển thanh trượt đểquan sát khối hình được tạo thành. 3.3. HIỆU QUẢ CỦA CHUYÊN ĐỀ Qua quá trình áp dụng chuyên đề, chúng tôi nhận thấy sự cải thiện rõ nét về mặt tâm lí cũng như chất lượng học tập của học sinh thông qua các bài thi, kiểm tra định kì được nâng lên đáng kể. Thái độ học tập và khảnăng vốn có của các em được phát huy một cách tích cực và hiệu quả. Các em tựtin vào khảnăng học tập của mình và kĩ năng tư duy và giải quyết vấn đềđược thực hiện một cách nhanh chóng và đạt độ chính xác cao. Sau đây là một số thống kê. 28 https://baigiang.org/

29. Khảo sát mức độyêu thích của học sinh khi học Toán bằng các mô hình công cụ Geogebra Kết quả Hình thức Sĩ Lớp Bình Không số áp dụng Thích Tỉ lệ Tỉ lệ Tỉ lệ thường thích 12C3 44,1% 35,3% 20,6% 34 Không áp dụng 15 12 7 12C4 64,5% 25,8% 9,7% 31 Ítáp dụng 20 8 3 Áp dụng 12C2 100% 0% 0% 33 33 0 0 thường xuyên Biểu đồ biểu diễn mức độyêu thích của học sinh khi học Toán bằng các mô hình Geogebra 100% 100 90 80 64,5% 70 60 44,1% 50 35,3% 40 25,8% 30 20,6% 20 9,7% 10 0% 0% 0 yêu thích không thích bình thường 12C3 12C4 12C2 29 https://baigiang.org/

30. Khảo sát kết quả học tập môn Toán của học sinh cuối học kỳ I (2018 – 2019) Kết quả Hình thức Sĩ Lớp Trung Tỉ số áp dụng Giỏi Tỉ lệ Khá Tỉ lệ Tỉ lệ Yếu bình lệ Không áp 0% 88,24% 11,76% 12C3 34 0 30 4 0 dụng 3,23% 61,29% 35,48% 12C4 31 Ítáp dụng 1 19 11 0 Áp dụng 54,55% 45,45% 0 12C2 33 thường 18 15 0 0 xuyên Biểu đồ biểu diễn kết quả học tập của học sinh cuối học kỳ I (2018 – 2019) 88,24% 90 80 70 61,29% 54,55% 60 45,45% 50 35,48% 40 30 20 11,76% 10 3,23% 0% 0% 0% 0% 0% 0 Giỏi Yếu Khá Trung bình 12C3 12C4 12C2 30 https://baigiang.org/

31. MỘT SỐHÌNH ẢNH THỰC NGHIỆM 31 https://baigiang.org/

32. 3.4.MỨC ĐỘẢNH HƯỞNG Với nhu cầu hội nhập vàđổi mới giáo dục hiện nay của nước ta, việc ứng dụng công nghệthông tin vào tất cảcác lĩnh vực là một điều vô cùng cần thiết, nó góp phần cải thiện và nâng cao đáng kể hiệu quảlàm việc. Trên tất cả mọi lĩnh vực của đời sống nói chung và trong giáo dục nói riêng, các phần mềm ứng dụng được tất cả mọi người sử dụng rộng rãi và đạt hiệu quả cao. Việc ứng dụng phần mềm Geogebra vào dạy học Toán giúp tăng đáng kể khảnăng tiếp thu kiến thức và cải thiện rõ rệt hiệu quả dạy và học, góp phần nâng cao chất lượng dạy học và đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục hiện nay. Với việc tổ chức thi Trung học phổthông quốc gia hiện nay, chuyên đề có thể được áp dụng rộng rãi đối với toàn học sinh lớp 12, giúp cho các em khắc sâu kiến thức hơn khi được tìm hiểu và xây dựng những công thức đang học. Đồng thời chất lượng học Toán và tham gia kì thi Trung học phổthông quốc gia đạt hiệu quả cao hơn. Đề xuất, kiến nghị: Với tình hình thực tế hiện nay, chúng ta cần xây dựng nhiều mô hình dạy học mang yếu tố trực quan hơn nữa cho việc học tập và nghiên cứu của giáo viên và học sinh. Vì thế, việc phát hiện và sử dụng có hiệu quả một số phần mềm ứng dụng trong Toán học là điều rất cần thiết. Nếu có thể, các nhà quản lí giáo dục cần tổ chức rộng rãi và tập huấn các phần mềm mới cho giáo viên để hỗ trợ kịp thời cho việc dạy và học hiện nay nhằm hoàn thành mục tiêu đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục như Bộ giáo dục và đào tạo nước ta đã đề ra. 3.5.KẾT LUẬN Trên đây là những công cụmà chúng tôi đã thiết lập sẵn, chỉ cần mởvà nhập dữ liệu nó sẽ cho những hình ảnh vô cùng thú vị, thu hút sựchú ý và tìm tòi học hỏi của học sinh, giúp cho môn Toán có thêm những sắc màu mới. Ngoài những công cụtrên đây, phần mềm còn hỗ trợ khảnăng soạn bài giảng, lập trình giải toán và soạn bài trắc nghiệm phục vụ hiệu quả cho việc giảng dạy môn Toán. Phần mềm GeoGebralà một món quà quí giá cho các nhà trường Việt Nam. Trong thời đại phát triển vũ bão của Internet và khung cảnh hội nhập của Việt Nam 32 https://baigiang.org/

33. trên thị trường toàn cầu, việc xuất hiện dự án GeoGebrathật có ý nghĩa, phần mềm Geogebrakhá dễ sử dụng, khá đơn giản nhưng vô cùng mạnh mẽ và hữu ích. Các giáo viên phổ thông của Việt Nam từ Trung học cơ sởđến Trung học phổ thông đều có thể tiếp cận với phần mềm này, sử dụng nhanh chóng và có thể sử dụng ngay trong công việc giảng dạy hàng ngày của mình. Với chuyên đề này, chúng tôi mong rằng có thể giúp cho việc giảng dạy môn Toán tiết kiệm thời gian và đạt hiệu quả cao hơn, trong thời gian tới chúng tôi hy vọng sẽ thiết lập và phát huy nhiều hơn nữa những công cụ dạy học và công nghệ để đưa giáo dục Việt Nam bước lên một tầm cao mới, bên cạnh đó chúng tôi cũng mong nhận được sự hỗ trợ từ các cấp quản lý giáo dục, tạo điều kiện để chúng tôi học tập nghiên cứu để đáp ứng tốt nhất cho việc nâng cao chất lượng giáo dục cho những thế hệ tương lai. Qua chuyên đề này chúng tôi cũng mong nhận được những đóng góp của quý đồng nghiệpđể chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn. Trân trọng! 33 https://baigiang.org/

34. LỜI CAM ĐOAN Chúng tôi xin cam đoan đề tài “Sửdụng phần mềm Geogebra trongdạy Toán tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Võ Thành Trinh”là một chuyên đề độc lập không có sự sao chép của người khác. Đề tài là một sản phẩm mà chúng tôi đã nổ lực thực hiện nghiên cứu trong quá trình giảng dạy tại trường. Trong quá trình thực hiện chúng tôi có tham khảo một số tài liệu có nguồn gốc rõ ràng, việc học tập và nghiên cứu phần mềm nhờ vào sự hỗ trợ và tạo điều kiện của Sở Giáo dục và đào tạo An Giang, của nhà trường và của các đồng nghiệp. Tôi cam đoan những nội dung báo cáo làđúng sự thật. Xác nhận của đơn vịáp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến Nguyễn Thị Mỹ Trang 34 https://baigiang.org/

35. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đào Văn Dũng –Ba Phương Pháp Giải Toán Hình Không Gian Nxb Giáo Dục. 2.Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm –Đặng Hùng Thắng, Giải Tích 12 Nâng Cao Nxb Giáo Dục. 3.Đoàn Quỳnh –Văn Như Cương – Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng -TạMân, Hình Học 12 Nâng Cao Nxb Giáo Dục. 4.Trần Văn Hạo – Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Hình Học 12 Nxb Giáo Dục. 5.Trần Văn Hạo –Vũ Tuấn –Lê ThịThiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất, Giải Tích 12 Nxb Giáo Dục. 6.Văn Như Cương – Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng – TạMân , Bài Tập Hình Học 12 Nâng Cao Nxb Giáo Dục. 7.Vũ Tuấn –Lê ThịThiên Hương – Nguyễn Thu Nga – Phạm Phu – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất, Bài Tập Giải Tích 12 Nxb Giáo Dục. 35 https://baigiang.org/