1 / 56

Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh Lớp 11

Trong mu00f4n Tou00e1n u1edf tru01b0u1eddng phu1ed5 thu00f4ng phu1ea7n hu00ecnh hu1ecdc khu00f4ng gian giu1eef mu1ed9t vai tru00f2, vu1ecb tru00ed hu1ebft su1ee9c quan tru1ecdng. Ngou00e0i viu1ec7c cung cu1ea5p cho hu1ecdc sinh kiu1ebfn thu1ee9c, ku0129 nu0103ng giu1ea3i tou00e1n hu00ecnh hu1ecdc khu00f4ng gian, cu00f2n ru00e8n luyu1ec7n cho hu1ecdc sinh u0111u1ee9c tu00ednh, phu1ea9m chu1ea5t cu1ee7a con ngu01b0u1eddi lao u0111u1ed9ng mu1edbi: cu1ea9n thu1eadn, chu00ednh xu00e1c, cu00f3 tu00ednh ku1ec9 luu1eadt, tu00ednh phu00ea phu00e1n, tu00ednh su00e1ng tu1ea1o, bu1ed3i du01b0u1ee1ng u00f3c thu1ea9m mu0129, tu01b0 duy su00e1ng tu1ea1o cho hu1ecdc sinh. Tuy nhiu00ean trong quu00e1 tru00ecnh giu1ea3ng du1ea1y tu00f4i nhu1eadn thu1ea5y hu1ecdc sinh lu1edbp 11 ru1ea5t e ngu1ea1i hu1ecdc mu00f4n hu00ecnh hu1ecdc khu00f4ng gian vu00ec cu00e1c em nghu0129 ru1eb1ng nu00f3 tru1eebu tu01b0u1ee3ng, thiu1ebfu tu00ednh thu1ef1c tu1ebf.

VicentaDeckow
Download Presentation

Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh Lớp 11

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MỞ ĐẦU 1. Lý Do Chọn Đề Tài : Trong môn Toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vaitrò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tínhsáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nămnăm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều họcsinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó. Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Một Số Kỹ Năng GiảiToánHình Học Không Gian Cho Học Sinh Lớp 11” 2. Đối Tượng Và Phạm Vi Nghiên Cứu; Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11C1 và 11C8 năm học 2017 – 2018. Trang 1 https://baigiang.org/

  2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 2,3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song–Quan hệ vuông góc trong không gian” sách giáo khoa Hình học 11 ban cơ bản. 3. Mục Đích Và Phương Pháp Nghiên Cứu: Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh một số dạng toán trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng với đề tài này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở, phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, cũng như cung cấp cho giáo viên một số nội dung giảng dạy môn hình học không gian lớp 11 một cách có hiệu quả hơn. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung khảo sát điều tra thực tế dạy và học tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp. NỘI DUNG Chương 1:Cơ Sở LýLuận Khi giải một bài toánvề chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong hình học không gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, Ta cần phải chú ýđến các yếu tố khác : Vẽ hình như thế tốt chưa? Cần xác định thêm các yếu tố nào trên hình không? Để giải quyết vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán, .có như thế mớ i giúp ta giải quyết được nhiều bài toánmà không gặp khó khăn. Ngoài ra ta còn phải nắm vững kiến thức trong hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc với nhau, tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, tính khoảng cách,... Chương 2:Cơ Sở Thực Tiễn Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góctrong hình học không gian các em Trang 2 https://baigiang.org/

  3. học sinh không biết vẽ hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góctrong hình học không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học không gian 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, bên cạnh đó thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít. Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic hoặc không làm được bài tậpliên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góctrong hình học không gian. Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian Một số bài toán không gian thì các mối liên hệgiữa giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách giải Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng động cơ học tập. Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11. Chương 3:Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề. Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là: Vẽ hình đúng –trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê học tập của học sinh. Vẽ đúng –trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai lầm đáng tiếc. Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học không gian như : hình chóp tứ diện hình chóp đều hình lăng trụ hình hộp hình hộp chữ nhật . quan hệ song song của hai đường thẳng hai mặt phẳng đường thẳng và mặt phẳng, Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lýnhư các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như: Cabri 3D, GSP, .. Trang 3 https://baigiang.org/

  4. Dạy học theo các chủ đề, các dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. Trang 4 https://baigiang.org/

  5. NỘI DUNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ SONG SONG BÀI TOÁN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG(α) VÀ ( ). 1. Phương pháp: Cách 1:Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.          ( ) ( )  ( ) ( )  A B  ( )   ( )  Nếu thì AB Hình 1 Cách 2:Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng Dựa vào các định l ý sau:                ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  a b c   / / / / , , a b c a b c * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu thì ñoàng quy          / /  / / / / a truøng vôùi truøng vôùi a a b d d d b     * Hệ quả: Nếu thì ( ), ( )   ( ) d b a b ( )  Hình 2 Hình 3 Hình 4        / /( ) ( ) ( )   a a thìa // b (Hình 5)  * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu ( )   b Trang 5 https://baigiang.org/

  6.      ( )/ / ( )/ / ( )  d d (Hình 6) * Hệ quả : Nếu thìa // d  ( )   a     ( )         ( )/ /( ) ( )   ( ) a b * Định lý 3: (SGK trang 67)Nếu (Hình 7) thì ( )   / / a b Hình 5 Hình 6 Hình 7 * Nhận xét:Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lývà hệ quả trên) 2.Ví dụ: Bài 1:Trong mp(α) cho tứgiác ABCDcó ABvà CDcắt nhau tại E , ACvà BDcắt nhau tại F. Gọi Slà một điểm nằm ngoài mp(α). Tìm giao tuyến của các mp sau: a) mp SAC và mp SBD b) mp SAB và mp SCD c) mp SEF và mp SAD GIẢI: Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. Trang 6 https://baigiang.org/

  7. Với câu C) GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai. a)Ta có S SBD (1) ; F BD SBD (2) AC SAC F SAC Từ (1) và (2) suy ra : SF SBD SAC ) b)Ta có S SCD (1) ; E CD AB SAB E SAB SCD Từ (1) và (2) suy ra : SE SCD SAB c) Trong mp ADEkéodài EFcắt ADtại N. SEFN SEF S SAD SAD Vậy : SN SEF . SAD Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCDlà hình thang AB CD . a)Tìm giao tuyến của hai mp SAD và SBC . b)Tìm giao tuyến của hai mp SAB và SCD . GIẢI: a) Ta cóSlà điểm chung thứ nhất. Trang 7 https://baigiang.org/

  8. Trong mp(ABCD) có ADcắt BCtại E E E AD BC E E SAD SBC Suy ra : SE SBC SAD b) Ta có Slà điểm chung thứ nhất. AB CD AB//CD SAB SCD Lại có: SAB SCD S S //AB//CD x x Bài 3:Cho tứ diện ABCD. Gọi I,Jlà trung điểm của ADvà BC. a)Tìm giao tuyến của hai mp IBC và JAD b)Mlà một điểm trên đoạn AB, Nlà một điểm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của hai mp IBC và DMN . GIẢI: A a)Ta có: I JAD AD I JAD I IBC I J JAD BC J IBC J IBC D B Khi đó: IJ JAD . IBC J C b) Trong mp ACD cóCIcắt DNtại E. A Vậy Elà điểm chung của hai mp IBCvà DMN . M I F Trong mp ABD cóBIcắt DMtại F. E N D B Vậy Flà điểm chung của hai mp IBCvà DMN . C DMN . Khi đó: EF IBC BÀI TOÁN 2 : TÌM GIAO ĐIỂM CỦAd VÀ mp Trang 8 https://baigiang.org/

  9. Hình 8 Hình 9 1. Phương pháp : * Muốn tìm giao điểm của đường thẳng dvới mp ta tìm giao điểm của đường (Hình 8) thẳng dvới một đường thẳng anằm trên mp .       A A d a thìA = d(α) Tóm tắt : Nếu ( )  * Chú ý:Nếu đường thẳng achưa có trên hình vẽ thì ta tìm giao điểmnhư sau: - Tìm mp chứa d sao cho mp cắt mp . - Tìm giao tuyến acủa hai mp . (Hình 9) và mp - Gọi I d a I d α * Nhận xét :Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng avà chọn mp sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng achưa có trên hình vẽ. 2. Ví dụ : Bài 1 :Cho tứ diện ABCD. Gọi I,Jlần lượt là trung điểm của ABvà AD 2 3 sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJvới mp BCD . AJ AD Nhận xét : - HS dễ dàng phát hiện ra đườngthẳngachính là đường thẳng BD. Trang 9 https://baigiang.org/

  10. - GV cần lưu ýcho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song. GIẢI : 2 3 1 2 Trong ABDcó : và , suy ra IJkhông song song BD. AJ AD AI AB K K IJ BD Gọi BCD K IJ BD BCD . Vậy K IJ Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ýthuộc đoạn SD. a)Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC) b)Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC) c)Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Khôngnhìn ra được đường thẳng nào nằm trong mp  SAC để cắt được BM . - GV gợi ýcho HS biết chọnmp phụ chứa SBDvà xác định giao tuyến của 2mp BMđó là . mp  SBDvà    SAC . Trang 10 https://baigiang.org/

  11. Câu b)  SBCđể cắt - HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp  IM . - GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM . Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SCvà tìm giao tuyến của mp đó với mp . IJM Có mp nào chứa ? SC - GV hướng dẫn HS chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với   IJM thuận lợi. Lời giải: Trang 11 https://baigiang.org/

  12.   a)Ta có BM SBD Xét 2 mp SAC và    SBDcó Slà điểm chungthứ nhất (1) Olà điểm chung thứ hai (2)   Gọi O AC BD     Từ (1) và (2)    SO SAC SBD Trong mp      SBD có BMcắt SOtại P. Vậy P BM SAC    b)Ta có IM SAD Xét hai mp SADvà    SBCcó: Slà điểm chung thứ nhất Elà điểm chung thứ hai   Gọi E AD BC        SE SAD SBC Trong mp      SAEcó IMcắt SEtại . FVậy F IM SBC    c)Ta có SC SBC Xét 2 mp IJMvà          SBCta có : JF IJM SBC Trong mp      SBE có JFcắt SCtại HVậy H SC IJM . Bài 3 :Cho hình chóp . S ABCDcó ABvà CDkhông song song. Gọi Mlà  điểm thuộc miền trong của SCD a)Tìm giao điểm Ncủa đường thẳng CDvà mp . SBM b)Tìm giao tuyến của hai mp SBMvà   . SAC c)Tìm giao điểm Icủa đường thẳng BMvà mp . SAC d)Tìm giao điểm Pcủa đường thẳng SC và mp  . ABM  ABM từ đó suy ra giao tuyến của hai mp SCD và  e)Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp . ABM Lời giải : Trang 12 https://baigiang.org/

  13. a) Trong mp  SCDcó SMcắt CDtại N .           ( CD ) N N SM CD N N SBM      ( ) N CD SBM b) Trong mp  ABCD , ta có:  O O  AC BD AC BN  O          ( ( ) ) O O SAC SBN      ( ) ( ) SO SAC SBN c) Trong mp , ta có BMcắt SOtại . I SBN    .     SO SAC I BM SAC Mà d) Trong mp , ta có SCcắt AItại . P SAC    .     AI ABM P SC ABM Mà Trong mp , SCD ta có PMcắt SDtại . K           ( ( ) K K PM SD K K ABM SCD      ( ) ( ). PK ABM SCD )       e)Ta có : ABM ABCD AB       ABM SBC BP       ABM SCD PK       ABM SAD AK Vậy tứ giác ABPKlà thiết diện cần tìm. Bài tập rèn luyện : Bài 1 :Cho hình bình hành ABCDnằm trên mp  Pvà một điểm Snằm ngoài mp . P . Gọi Mlà điểm nằm giữa Svà, A Nlà điểm nằm giữa Svà B; giao điểm của hai đường thẳng ACvà BDlà . O a) Tìm giao điểm của đường thẳng SOvới mp . CMN b) Tìm giao tuyến của hai mp SADvà   . CMN Trang 13 https://baigiang.org/

  14. c) Tìm thiết diện của hình chóp . S ABCDcắt bởi mp . CMN   Bài 2:Cho hình chóp . S ABCD, trong SBC lấy M trong SCD lấy điểm N , . a) Tìm giao điểm của đường thẳng MNvới mp . SAC b) Tìm giao điểm của SCvới mp . AMN c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp . AMN , , . Bài 3: Cho tứ diện ABCDGọi M Nlần lượt là trung điểm của AB CDGọi E . là điểm thuộc đoạn AN( không là trung điểm AN ) và Qlà điểm thuộc đoạn BC . a) Tìm giao điểm của EMvới mp . BCD b) Tìm giao tuyến của hai mp EMQvà   BCD ; EMQvà   . ABD c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp . EMQ BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNGdSONG SONG VỚI mp .  * Phương pháp:(Định lí 1 SGK trang 61)       ( ) a  d d a Tómtắt:Nếu thìd // (α) / / ( ) Nhận xét:Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó. GV cần làm cho HS biết hướng giải quyết của bài toán làdựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp. Ví dụ: ABC A B C . Gọi Hlà trung điểm của Bài 1:Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ' '. A B a)Tìm giao tuyếncủa hai mp AB Cvà   . ' ' ABC   b)Chứng minh rằng: '/ / ' . CB AHC Trang 14 https://baigiang.org/

  15. Lời giải: C' H      ( ( ' ') A A AB C ABC A' a)Ta có : B' ) Alà điểm chung của   và  . ABC 'C' AB I      ' ' '/ / '   B C B C BC BC Mà ( ' ) ') AB C ABC ( C A x nên       và BC / / ' '/ / B C . ' ' Ax AB C ABC Ax B b)Ta có tứ giác AA CClà hình bình hành ' ' Suy ra ' A Ccắt ACtại trung điểm Icủa mỗi đường ' CB A  / / ' CB (IHlà đường trung bình của ) IH ' ' Do đó   '    '/ / ' . nên IH AHC CB AHC Mặt khác ABD  Bài 2 :Cho tứ diện , , ABCDgọi M Nlần lượt là trọng tâm của và ACD  Chứng minh rằng: .     a) b) / / . / / . BCD ABC MN MN Lời giải : A a)Gọi Elà trung điểm BD ; Flà trung điểm CD . 2 3 AM AE    Trong ABD (Mlà trọng tâm ABD ta có: ) M N 2 3 AN AF   Trong ACD ta có: (Nlà trọng tâm ACD ) B E D F AM AE AN AF   Vậy / / MN EF C       / / . BCD EF BCD MN Mà  b) Trong BCD có : EFlà đường trung bình.  / / BC EF     / / / / / / MN EF BC MN ABC Trang 15 https://baigiang.org/

  16. Bài 3:(Bài 1 trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCDvà ABEFkhông cùng nằm trong một mặt phẳng. a)Gọi Ovà   ADFvà Olần lượt là tâm của ABCDvà   '/ / . BCE ABEFChứng minh rằng: ' . '/ / OO OO  ABE  b) Gọi Mvà Nlần lượt là trọng tâm của ABD   . CEF và Chứng minh rằng : . / / MN Lời giải: C D a)Ta có : DF ( OOlà đường trung bình '/ / OO ' O BDF  ) .     A   '/ / DF ADF OO ADF Mà B O' '/ / CE ( OOlà đường trung bình OO ' Ta có : F E ACE  ). C       '/ / . CE BCE OO BCE Mà D O M b)Gọi Hlà trung điểm của AB . H A B N 1 3 HM HD HN HE   Ta có : O' F E     / / mà MN DE DE CEF   / / . CEF MN Vậy BÀI TOÁN 4 : CHỨNG MINHmp(α) VÀ mp( ) SONG SONG NHAU * Phương pháp :(Định lí 1 SGK trang 64)      , ( ) P I a b a a   Tóm tắt : Nếu thì (P) // (Q) b / /( ), / /( ) Q b Q * Nhận xét :Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng, a bnhưthế nào? Nằm trên mặt phẳng   P hay mp ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề Q của bài toán. Trang 16 https://baigiang.org/

  17. Ví dụ :    Bài 1 :Cho hình chóp . S ABCDđáy là hình bình hành ABCD, AC SC CDChứng minh  . BD O   , . , M Nlần lượt là trung điểm của SAD / / . MNO Gọi Lời giải :  Trong SCD có MNlà đường trung bình     SDmà / / MN SD SAD   (1)  / / . MN SAD  Trong SAC có MOlà đường trung bình     / / SAmà MO SA SAD   (2)  / / MO SAD Từ (1) và (2) suy ra     / / . SAD MNO Bài 2:Cho hai hình vuông ABCDvà ABEFở trong hai mặt phẳng phân biệt.  Trên các đường chéo ACvà BFlần lượt lấy các điểm Mvà N sao cho . AM BN ' Các đường thẳng song song với ABvẽ từ Mvà Nlần lượt cắt ADvà AFtại M NChứng minh rằng: '. và a)     / / . BCE ADF b)     / / ' ' . MM N N DEF Nhận xét:HS dễ dàng chứng minh được câu a, nhưng đối với câu b thì GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng ACvà BFlà ' MMvà bằng nhau, từ đó gợimở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng song song với mp  DEFdựa vào định lí Talét đảo. M N ' ' Lời giải:    a)Ta có: / / . AF BE BCE Trang 17 https://baigiang.org/

  18.   / / . AD BC BCE AFvà ADcùng song song với mp . BCE    , . AF AD ADF mà Vậy :     BCE / / . ADF b)Ta có: ABmà EF '/ / / / MM AB   (*)   '/ / . MM EF AEF ' AM AD AM AC   Mặt khác : '/ / MM CD (1) ' AN AF BN BF   '/ / NN AB (2) AM AC BN BF     , AC AM BN (3) Mà BF ' ' AM AD AN AF (**)     Từ (1), (2) và (3) ' '/ / ( ) M N DE DEF   (***)  ', ' ' ' ' . MM M N MM N N Mà Từ (*), (**), (***)     / / ' ' . MM N N DEF Bài 3:(Bài 3 trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD A B C D . ' ' ' ' a)Chứng minh rằng hai mp BDAvà   '  ' ' B D C song song nhau. b)Chứng minh rằng đường chéo ACđi qua trọng tâm Gvà Gcủa hai tam ' 1 2 ' BDAvà B D C ' ' . giác Lời giải:    / / ' '  ' BD B D B D  a) Ta có: / /( ' ') BD CB D ' ( ' ') CB D    ' ' / / ' (  A D B C B C CB D  ' / /( ' ') A D CB D ' ') Trang 18 https://baigiang.org/

  19.   , ' , ' / /(  ' ') BD A D BD A D CB D BDA Ta có :  ( ')/ /( ' ') BDA CB D ( ')   b) Ta có : AAvà '/ / '/ / '. CC BB ' ' '. CC BB AA AA C Clà hình bình hành. ' ' nên Gọi Ilà tâm của hình bình hành AA C C ' ' Gọi , ' O Olần lượt là tâm hình bình hành ABCDvà ' ' ' A B C D '. Trong mp      AA C Cgọi ; ' ' ' ' ' ' G A C A O G AC C O 1 2  AA C  CC A  G Glần lượt là trọng tâm và , ' ' '. 1 2 (*)    ' 2 2 ' CG G O A G GO và 1 2 2 BDA  ' và B D Ccó ' A Ovà COlà hai trung tuyến nên từ (*) suy ra ' ' ' Xét hai BDA  B D C  ' ; G Glần lượt là trọng tâm và ' ' . 1 2 Bài tập rèn luyện: Bài 1:Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi Mlà trung SA . điểm của cạnh 1)Xác định giao tuyến dcủa hai mp  MBDvà   .   / / SACChứng tỏ SCD d 2)Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  . MBC Thiết diện đó là hình gì? Bài 2:Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. Gọi Elà một điểm thuộc SCD . miền trong của tam giác 1)Tìm giao tuyến của hai mp SACvà   SBE Tìm giao điểm BEvới  . . SAC 2)Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp . S ABCDvới mặt phẳng  . ABE , Bài 3:Cho hình chóp . S ABCDcó ABCDlà hình bình hành tâm OGọi M Nlần . , . SB SC lượt là trung điểm 1)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SACvà   . SBDTìm giao điểm Hcủa đường thẳng ANvà mặt phẳng  . SBD   2)Gọi Ilà giao điểm của AMvà / / . DNChứng minh rằng ABCD SI . Trang 19 https://baigiang.org/

  20. Bài 4:Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlà hình bình hành tâm . OGọi Mlà trung , SC . điểm 1)Tìm giao tuyến của mp ABMvà mp  . SBD 2)Gọi Nlà giao điểm của SDvới mp .   Chứng minh SAB / / . ABM MN Bài 5:Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông tâm . O 1)Xác định giao tuyến của  SABvà  . SBD  . , SCDGọi Ilà trung điểm của SAtìm giao điểm của ICvà mp 2)Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp . IBC Bài 6:Cho hình chóp . , S ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với ABlà đáy lớn. Gọi   , , M Nlầnlượt là hai điểm trên hai cạnh SA SB sao cho và 3 2 . AM SM SN SB 1)Tìm giao tuyến của  SADvà   ;  SABvà   . SCD SBC 2)Chứng minh MNsong song với mp . SCD Bài 7:Cho hình chóp đỉnh Scó đáy là hình thang ABCDvới ABlà đáy lớn.Gọi , M Ntheo thứ tự là trung điểm của các cạnh SBvà SC . 1)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :  SADvà   . SBC 2)Tìm giao điểm của đường thẳng SDvới mặt phẳng  . AMN 3)Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  . AMN Bài 8:Cho hình chóp . S ABCDcác cạnh đáy không song song nhau . Gọi Mlà điểm nằm trong mặt phẳng  . SCD 1)Tìm giao tuyến của hai mặt  SABvà   . SCD 2)Tìm thiết diện của mặt phẳng   Pđi qua Msong song vớiCDvà SA . Bài 9:Cho hình chóp . , S ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Trên hai cạnh SM SN , , SA SBlần lượt lấy hai điểm M N sao cho: . SA SB Trang 20 https://baigiang.org/

  21. 1)Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :  SACvà   SBD ; ADN và   . SBC   2)Chứng minh SCD / / . MN NỘI DUNG 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. Cơ sở lý thuyết 2.1. Các định nghĩa +) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa    0 ( , ) a b 90 a b 0 90 . chúng bằng +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. ( ) ( ): a b a b       +) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng ( )   ( )   (( ),( ))    0 90 0 90 . . bằng +) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng avà blà góc giữa hai đường thẳng ' avà ' bcùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với avà . b +) Định nghĩa 5: . Nếu đường thẳng avuông góc với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng avà mặt phẳng   bằng 0 90 . . Nếu đường thẳng akhông vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa avà hình chiếu ' acủa nó trên mặt phẳng   gọi là góc giữa đường thẳng avà mặt phẳng 0 90 . +) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm Mđến mặt phẳng   (hoặc đến đường thẳng , ∆) là khoảng cách giữa hai điểm Mvà Mtrên mặt phẳng   Htrong đó Hlà hình chiếu vuông góc của (trên đường thẳng ∆). Trang 21 https://baigiang.org/

  22. +) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng ađến mặt phẳng   song song với alà khoảng cách từ một điểm nào đó của ađến mặt phẳng  .  +) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. +) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 2.2. Các định lý thường được sử dụng      a a b d b    Định lý 1: , ( ) P ( ) P d   , a d b        ( ) ( ) ( ) a d   P P   d a Định lý 2: a P     ( ) P d d d  ' ( ) P d Định lý 3: + '/ /    + ( )/ /( ) d P Q  ( ) Q d  ( ) P    / /( ) '  d d P  ' d d + ( ) P      ( ) ( ) Q d d P  ( ) P ( ) Q Định lý 4:         ( ) ( ) P d d ( ) ( ) ( ) P   P Q Q    ( ) Q d Định lý 5:       ( ) ( ) ( ) Q ( ) ( ) ( ) R P P Q R        ( ) R Định lý 6: Trang 22 https://baigiang.org/

  23. BÀI TOÁN 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt 2. Các ví dụ mẫu:  ( ) SA ABC Ví dụ 1: Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABClà tam giácvvuông tại , C  ( ) BC SAC a) Chứng minh rằng:  ( ) AE SBC b) Gọi Elà hình chiếu vuông góc của Atrên SCChứng minh rằng: . c) Gọi mp  Pđi qua AEvà vuông góc với  , SABcắt SBtại . DChứng minh rằng:  ( ) P SB  ( ) AF SAB d) Đường thẳng DEcắt BCtại. FChứng minh rằng:  ( ) (1) gt BC AC Giải: a) Ta có: S Mặt khác, vì D      ( ) SA BC ABC ABC  (2) SA BC ( ) H E B  . A  BC SAB Từ (1) và (2) suy ra:  (3) (gt) AE SC b) Ta có: C    ( ) (4) BC SAB AE BC Theo a)  ( ) AE SBC Từ (3) và (4) suy ra: F  c) Ta thấy: ( ) ( ) P ADE    ( ) (5) AE SBC BC AE Theo b) Trang 23 https://baigiang.org/

  24.  , EH AD H AD Trong mp(ADE) kẻ . Vì        ( ( EH ) ) ( ( ) ) ADE ADE SAB SAB      ( ) (6) AD EH SAB SB EH  AD   ( ) ( ). P SB ADE SB hay Từ (5) và (6) suy ra:      ( ) SA AF ABC ABC  (7) AF SA d) Từ ( )     ( ) (8) ( ) SB ADE AF SB AF SAB Theo c) . Từ (7) và (8) suy ra: Ví dụ 2: Cho hình chóp . , S ABCDđáy S ABCDlà hình vuông, tam giác SABlà tam ) ( SAB ABCD  giác đều, ( ) . Gọi , I Flần F lượt là trung điểm của ABvà FC ADChứng . D A  H ( ). SID minh rằng: I Giải: Ta có: B C F A D       SI SAB AB  2 1   ( SI  ) ( ( ) ( ) ABCD SI ABCD H 1  ) SAB CF  I (1) SI 2 B C Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADIvà DFC có:     Do đó, AID DFC , . từ đó ta có: AI DF AD DC       I F 1 1 C     0 90 D F D 2 2 1 2   0 90 I D 1 2   0 90 FHD  (2) CF ID Hay  ( ) FC SID Từ (1) và (2) suy ra: Trang 24 https://baigiang.org/

  25. BÀI TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Phương pháp:Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông góc có trong hình học phẳng 2. Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlàhình thang vuông tại Avà ( ) SA ABCD  , , B    2 ; a AB . Chứng AD BC a S minh rằng: Tam giác SCDvuông Giải: Ta có:      ( ) SA CD ABCD ABCD I  D (1) SA CD A ( ) + Gọi Ilà trung điểm của AD . Tứ giác ABCIlà hình vuông. Do C B ACI  0 45 đó, (*). Mặt khác, CID  BCI  0 45 là tam giác vuông cân tại Inên: (*).  ACD  0 90 hay AC CD (2) Từ (*) và (**) suy ra:    hay SCD  ( ) CD SAC CD SC vuông tại . C Từ (1) và (2) suy ra: Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp đều . S ABCDđáy ABCDlà hình vuông, Elà điểm , đối xứng của Dqua trung điểm SAGọi M Nlần lượt là trung điểm của AEvà .  BC CMR: MN BD . S E Giải: Gọi , I Plần lượt là trung điểm của , ABvà SAOlà giao điểm của ACvà P M BD . A    / /  IN AC AC BD D  (1) BD IN Ta có: I O B Trang 25 C N https://baigiang.org/

  26.    / / / / IM BE BE PO / / (*) IM PO Mặt khác,  (**) PO BD (vì: BPDlà tam giác cân tại Pvà Olà trung điểm của BD) Mà  (2) BD IM Từ (*) và (**) ta có:    ( ) BD IMN BD MN Từ (1) và (2) ta có: Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: + Chọn mp MNvà vuông góc với BDlà mp   IMNvới Ilà trung điểm của AB( vì BD AC nên chọn mp chứa  IMN ) + Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song.    / /  a a b c b c + Sử dụng định lý: Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlà hình vuông, tam giác SAD ) ( ) SAD ABCD  . Gọi , , M N Plần lượt là trung điểm của đều, ( , SB BCvà CD .  Chứng minh rằng: AM BP S , Giải:Gọi Ilà giao diểm của ANvà BP , Hlà trung điểm của ADKlà giao điểm M của ANvà BH . Xét hai tam giác vuông ABNvà BCPcó: A B K   , AB BC Suy ra, . BN CP I ABN  BAN    H N BCP CBP ANB  , BPC mà D C P      0 0 90 90 BAN hay AN ANB  CBP ANB BP (1)       SH SAD BP AD    Vì ∆SAD đều nên: ( ) ( ) (*) ABCD ABCD SH BP .  ( ) Trang 26 https://baigiang.org/

  27. S Mặt khác, tứ giác ABNHlà hình chử nhật nên Klà trung điểm của HB hay / / (**) MK SH D C  (2) BP MH Từ (*) và (**) suy ra: O A Từ (1), (2) suy ra: ( BP AMN  B   ) BP AM BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3 2.Các ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlà hình thoi , ) ( ) SBD ABCD  Chứng minh . SA SC rằng: (  Giải:+ Ta có: AC BD (1) (giả thiết)  + Mặt khác, SO AC (2) (SAC là tam giác S cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác)  ( ) AC SBD + Từ (1) và (2) suy ra: mà   ( ) nên ( ) ( ) AC ABCD SBD ABCD Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật, A M D    2 ( ) AD a SA ABCD , . Gọi M AB a I , ADIlà giao điểm của là trung điểm của ACvà ( SAC BMChứng minh rằng: ( ) SMB  . B C ) Giải:    ( ) (1) SA ABCD SA BM + Ta có: . Trang 27 https://baigiang.org/

  28. AB AM   + Xét tam giác vuông ABM có: tan 2 AMB . Xét tam giác vuông ACD có:     0 cot cot(180 ( )) AIM AMB CAD 1 CD AD      cot( ) 0 AMB CAD tan CAD . Ta có: 2   0 90 AIM  (2) BM AC Hay .    ( ) ( ) nên ( ) ( ) BM SAC BM SAC SAC SMB mà + Từ (1) và (2) suy ra: 1.4. Bài tập: Bài tập 1: Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABClà tam giác đều cạnh . aGọi Ilà trung 6 a   ( ), SD ABC SD BCDlà điểm đối xứng với A qua , I , điểm của . Chứng 2 minh rằng:  a) ( ) ( ) SBC SAD  b) ( ) ( ) SAB SAC  .  Bài tập 2: Cho hình chóp. , S ABCDcó đáy là hình vuông tâm, O Gọi SA ABCD , , , , . H I Klần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrên SB SC SD          ; ; . a) Chứng minh rằng: BC SAB CD SAD BD SAC , b) Chứng minh rằng: AH AKcùng vuông góc với SCTừ đó suy ra 3 đường . , , thẳng AH AI AKcùng nằm trong một mặt phẳng.  .   c) Chứng minh rằng: Từ đó suy ra HK SAC . HK AI    ; B SA Bài tập 3: Cho tứ diện. S ABCcó tam giácABCvuông tại . ABC  .  a) Chứng minh rằng: BC SAB SAB   b) GọiAHlà đường cao của Chứng minh rằng: . . AH SC . , S ABCD có đáyABCDlà hình thoi tâm Bài tập 4: Cho hình chóp OBiết .   ; . SA SC SB SD  .  a) Chứng minh rằng: SO ABCD Trang 28 https://baigiang.org/

  29. b) Gọi, I Jlần lượt là trung điểm của các cạnh  . IJ SBD  BA BCChứng minh rằng: , . Bài tập 5: Cho tứ diện ABCDcóABC vàDBClà hai tam giác đều. GọiIlà trung BC . điểm của  .  a) Chứng minh rằng: BC AID  .  AID  b) Vẽ đường caoAHcủa Chứng minh rằng: AH BCD . , , Bài tập 6: Cho tứ diệnOABCcó hình chiếu vuông góc của điểmOlên mặt phẳng OA OB OCđôi một vuông góc với nhau. GọiHlà . ABCChứng minh rằng:  .  a) BC OAH b) Hlà trực tâm tam giác ABC . 1 1 1 1    c) . 2 2 2 2 OH OA OB OC d) Các góc của tam giác ABCđều nhọn. Bài tập 7: Cho hình chóp. , S ABCDcó đáy là hình vuông cạnh. aMặt bênSABlà tam giác đều; SADlà tam giác vuông cân đỉnh. SGọi, I Jlần lượt là trung điểm của AB và CD .        a) Tính các cạnh của tam giácSIJ và chứng minh: ; . SI SCD SJ SAB  b) GoịHlà hình chiếu vuông góc củaStrên IJ Chứng minh rằng: . . SH AC  c) GọiMlà một điểm thuộc đường thẳngCD sao cho: . BM SA Tính AM theo . a Bài tập 8: Cho hình chóp. S ABCDcó đáy là hình vuông cạnh, amặt bênSABlà tam  GọiH vàKlần lượt là trung điểm các cạnhAB và giác đều và AD 2. . SC a  .  a) Chứng minh rằng: SH ABCD   b) Chứng minh rằng: AC và . SK CK SD Trang 29 https://baigiang.org/

  30.  Bài tập 9: Cho hình chóp. S ABCDcó đáy là hình chữ nhật và , ; 3. AB a BC a  mặt bênSBCvuông tại, Bmặt bênSCDvuông tạiDvà có 5. SD a    a) Chứng minh rằng: và tính SA SA ABCD . , , b) Đường thẳng qua Avà vuông góc với ACcắt các đường thẳng CB CDlần I JGọiHlà hình chiếu củaAtrên SCHãy xác định các giao điểm . HIJ Chứng minh rằng: lượt tại , . . mặt phẳng  , , K Lcủa SB SDvới       ; . AK SBC AL SCD c) Tính diện tích hình AKHL . vuông tạiMở trong mặt phẳng . MAB  Bài tập 10: Cho PTrên đường thẳng vuông góc với  PtạiAta lấy 2 điểm, C Dở hai bên điểm. A Gọi Clà hình chiếu ' , củaCtrên MD Hlà giao điểm củaAM và CC '.    ' . a) Chứng minh rằng: CC MBD BCD  b) GọiKlà hình chiếu củaH trên AB CMR: Klà trực tâm của . . Bài tập 11: Cho tam giác đều , ABCcạnh. a GọiDlà điểm đối xứng củaA qua BC . Trên đường thẳng vuông góc với mp Chứngminh hai mặt phẳng    ABCtạiDlấy điểmS sao cho 6. SD a SAB và  SACvuông góc với nhau. Bài tập 12: Cho hình tứ diệnABCDcó hai mặt . DBCVẽ các đường cao ABCvà   ABDcùng vuông góc với mặt phẳng BCD  , , BE DFcủa đường caoDKcủa ACD  .  .  a) Chứng minh rằng: AB BCD b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng . ADC ABEvà   DFKcùng vuông góc với mp c) GoịOvàHlần lượt là trực tâm của 2 tam giácBCDvà ADC .  .  Chứng minh rằng: OH ACD  .  Bài tập 13: Cho hình chóp. S ABCDđáyABCDlà hình vuông, SA ABCD Trang 30 https://baigiang.org/

  31. a) Chứng minh rằng   .  SAC SBD SBD  b) Gọi BE DFlà hai đường cao của , . Chứng minh rằng:    ,    .   ACF SBC AEF SAC Bài tập 14: Cho hình chóp . S ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh , a a  .  BM 2 Gọi M Nlà 2 điểm thuộc hai cạnh BC DC sao cho , , , SA ABCD 3 a . Chứng minh 2 mặt phẳng SAM và   DN SMNvuông góc với nhau. 4 Bài tập 15: Cho tam giácABCvuông tại. AVẽ mp . ABC ' BBvà CCcùng vuông góc với ' a) Chứng minh rằng      ' ' . ABB ACC  A BC  , b) Gọi phẳng AH AKlà các đường cao củaABC  ' ' ' ' và Chứng minh hai mặt . AHK ' . BCC Bvà AB Ccùng vuông góc với mặt phẳng  Gọi     Bài tập 16: Cho tam giácABCvuông tạiA có , . Plà mặt AB c AC b phẳng qua BCvàvuông góc với mp ABCSlà 1 điểm di động trên  ; P sao cho , SABClà hình chóp có hai mặt bên SAB SAChợp với đáyABChai góc có số đo lần  lượt là  và 2  . Gọi , , H I Jlần lượt là hình chiếu vuông góc củaStrên , , . BC AC AB  2 a) Chứng minh rằng: . SH HI HJ  b) Tìm giá trị lớn nhất củaSHvà khi đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của.    17: , , AB BC a diện ABCD có AC b Bài tập Cho hình tứ    , . Tìm hệ thức liên hệ giữa, , , DB DC x AD y a b x yđể: a) Mặt phẳng   .  ABC BCD b) Mặt phẳng   .  ABC ACD Trang 31 https://baigiang.org/

  32. Bài tập 18: Cho hình chóp. S ABCDcó đáyABCDlà hình thoi tâmIcạnha và có 6 a  . gócAbằng 600, cạnh SC   và SC ABCD 2 a) Chứng minh rằng:   .  SBD SAC  b) Trong tam giácSCAkẻ IK tại . IK . K . Tính độ dài SA và từ đó suy ra   . 0  90 BKD  c) Chứng minh rằng SAB SAD BÀI TOÁN 4: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng avà bchéo nhau Cách 1:     , ', ' a b trong đó ', ' a blà hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song a b song với avà . bTức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với avà . b Cách 2:     trong đó ' blà đường thẳng cắt đường thẳng avà song song , ', ' a b a b với . bTức là chọn trên a(hoặc b) một điểm Arồi từ đó chọn một đườngthẳng qua Avà song song với b(hoặc . a ) 2. Các ví dụ mẫu: S Ví dụ 1: Cho hình chóp . S ABCDcó đáy là hình thoi cạnh , a   3, SA a SA BC . Tính góc giữa hai đường thẳng SDvà BC . D / / ADvà BC Giải: Ta có: A    / /  BC SA AD BC  0 90 SAD . Do đó, B C   ( , ) ( , ) SD BC SD AD SDA . SA AD     0 tan 3 60 SDA SDA Xét tam giác SADvuông tại Ata có: 0 60 . Vậy góc giữa hai đường thẳng SDvà BCbằng Trang 32 https://baigiang.org/

  33.  Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCDcó Gọi M Nlần lượt là trung điểm của , 2 . a AB CD  3 MN a BCvà AD . Tính góc giữa hai đường thẳng ABvà CD , ? Giải: Gọi Ilà trung điểm của BDTa có: . A    / / / / IN IM AC CD  ( , ) ( , ) AB CD IM IN . 2a Xét tam giác IMNcó: N    , 3 IM IN a MN a . Do đó, a 3  2 2 2 3 1 2 a a    cos MIN 2 D 2 a B I   0 120 MIN 2a M AB CD    0 0 0 ( , ) 180 120 60 Vậy: C Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: + Việc tìm góc giữa hai đường thẳng ABvà CDthông qua góc giữa hai đường thẳng  3. MN a IMvà INnhờ vào giả thiết  + Một số em đồng nhất ( , ) IM IN MIN là chưa chính xác mà  MIN   ( , ) IM IN . Đến đây ta có thể giải quết theo hai hướng: 180    0 MIN MIN  0 90 + Chứng minh góc + Tính ra cụ thể góc MINrồi sau đódựa vào giá trị của góc MINđể kết luận về giá trị của góc giữa hai đường thẳng AB và CD ABC A B Ccó độ dài cạnh bên bằng 2 , ađáy Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ . ' ' '   , 3. AB a AC a ABClà tam giác vuông tại , A  ABClà trung điểm của ' Alên Hình chiếu vuông góc của mp ' BCTính cosin của góc giữa hai đường thẳng AAvà . ' '. B C Trang 33 https://baigiang.org/

  34. BC Giải: Gọi Hlà trung điểm của . Ta có: A' C'    '/ / ' AA B C  BB BD  ( ', ' ') AA B C ' '/ / ( BB BD ', ) I Hay, B'   cos( ', ' ') AA B C cos( ', ) BB BD A C  cos ' HBB H Xét tam giác A’B’H có ' 90 , ' '   0 B A A B a ,    2 2 ' ' A H AA AH    2 2 ' ' ' ' 2 HB A H A B a , . 2       BC    2 ' 3 AA a 2   2 2 2 ' ' 1 4 BH BB BH BB HB   cos ' HBB Do đó, 2. . ' 1 4   cos( ', ' ') AA B C cos ' HBB Vậy Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 3: + Áp dụng cách 1 để giải bài toán này + Điểm mấu chốt của bài toán này là tìm ra được độ dàicủa HB’ thông qua nhận xét A’H vuông góc với mp(A’B’C’) BÀI TOÁN 5: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1.Phương phápxác định góc giữa đường thẳng dvà mặt phẳng   P   ( ) P I d + Tìm + Tìm Athuộc dkẻ AHvuông góc với   P  + ( ,( )) d P AIH Trang 34 https://baigiang.org/

  35. 2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1:Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh , a    ( ) ( ) SAB ABCD , Hlà trung điểm của AB Tính góc giữa , , . SH HC SA AB đường thẳng SCvà mặt phẳng  . ABCD S Giải: 1 2 a     , AH AB , SA AB a Ta có: 2 A D 5. a     2 2 SH HC BH BC 2 H 2 5 a    2 2 2 SA AH AH nên tam Vì 4 B C a  SA giác SAHvuông tại A hay SA ) ( SAB ABCD  AB  mà ( ). ( ) ABCD Do đó, và AClà hình chiếu vuông góc của SClên mp . ABCD 2 SA AC    Ta có: ( ,( )) tan SC ABCD SCA SCA , . 2 2 Vậy góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng   ABCDlà góc có tang bằng . 2 Ví dụ 2:Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlà hình vuông cạnh , aSAvuông góc  6. SA a Tính sin của góc với mặt phẳng đáy, S giữa: a)SCvà  . . SAB b)ACvà  SBC A H D Giải:   (gt) BC AB và SA BC a)Ta có: (vì B C   ) ( ) ( ) BC SAB SA ABCD Trang 35 https://baigiang.org/

  36. Do đó SBlà hình chiếu vuông góc của SCtrên mp . SAB    sin( ,( )) sin SC SAB BSC   ( ,( )) SC SAB BSC . . Ta có: 2 BC SC a     4 2 2 SA AC b) Trong mp    ( ) AH SB H SB SAB kẻ .     ( ) ( ) BC SAB AH BC AH SBC hay CHlà hình chiếu Theo câu a) nên vuông góc của ACtrên mp .   ( ,( )) AC SBC ACH . SBC 1 1 1 7 a 6 7      . AH a Xét tam giác vuông SABcó: 2 2 2 2 6 AH AB SA 21 7 AH AC    sin( ,( )) sin AC SBC ACH + Vậy BÀI TOÁN 6: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1.Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau   Pvà   Q   + Tìm giao tuyến ( ) ( ) Q P + Trong   Ptìm avuông góc với ,  trong   Qtìm bvuông góc với và , a bcắt nhau tại . I +      P     , , Q a b Chú ý:Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì chúng ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính. Công thức hình chiếu: Gọi hình     mp  Lúc đó, ta có công thức sau: ' H có diện tích  ; hình   ' Hlà hình chiếu của S Htrên mặt phẳng   Slà góc giữa mặt phẳng chứa    có diện tích '; H và   .cos S S 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1:Cho hình lập phương ABCD A B C Dcó cạnh bằng . a . ' ' ' ' Trang 36 https://baigiang.org/

  37. Tính số đo của góc giữa  BA Cvà    DA C ' ' Giải: B' C'   ' , ( A C ' ) BH H A C (1) Kẻ A' D'  (gt) BD AC , Mặt khác, ta có:   ')  ' ( ) ' AA  ABCD ( ACA  AA BD  BD A C  ' BD (2) H B Từ (1) và (2) suy ra:  C   ' ( ) ' A C BDH A C DH . Do đó,  (( ' ),( ' )) ( , ) BA C DA C HB HD . A D 1 1 1 3 a    2 2 2 2 ' 2 BH BC BA BCAcó: ' + Xét tam giác vuông 2 3 2 3     . . BH a DH a  2 2 2 1 2 BH BD      0 cos 120 BHD BHD . + Ta có: 2 2 BH  0 (( ' ),( ' )) 60 . BA C DA C AB Vậy Ví dụ 2:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B Cđáy ABClà tam giác cân . ' ' ' C' B' BAC  0   120 ,  và , AB AC a ' BB a Ilà trung điểm của góc giữa hai mp CCTính cosin của  AB I '. A' ABCvà   I ' . Giải: Ta thấy tam giác ABClà hình chiếu B C ' vuông góccủa tam giác phẳng  ABCGọi là góc giữa hai  AB Ilên mặt . ABCvà  A mặt phẳng   AB ITheo ' . S S   cos ABC . công thức hình chiếu ta có: ' AB I Trang 37 https://baigiang.org/

  38. 2 1 2 3 a   0 . . .sin120 S AB AC . Ta có: ABC 4 5, a       2 2 2 2 ' ' 2, AB AB BB a AI AC CI 2 a 13 2    2 2 ' ' ' ' . IB B C IC Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên 2 1 2 10 4 a   . '. S AB AI . ' AB I 3 S S    cos ABC Vậy 10 ' AB I 2.4. Bài tập Bài tập 1: (B-2008)Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng    , 3,( ) ( ). SA a SB a SAB ABCD M Nlần lượt là trung điểm của AB 2 , a , Gọi BCTính cosin của góc giữa hai đường thẳng SMvà DN . . và Bài tập 2:Cho hình chóp đều . S ABCcạnh đáy bằng , acạnh bên bằng 2 3 a . Tính 3 góc giữa SAvà mp . ABC  ( ) SA ABC S ABC Bài tập 3:Cho hình chóp . , a) Xác định góc giữa  ABCvà   . SBC b) Giả sử tam giác ABCvuông tại . B Xác định góc giữa hai mp ABC và   . SBC Bài tập 4:Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCDđáy ABCDlà hình vuông cạnh , a Tính cosin của góc giữa  SABvà   .     SAD . SA SB SC SD a Bài tập 5: Cho hình chóp. S ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh, a tâm O  . SO ABCD  Gọi , M Nlần lượt là trung điểm của các cạnhSA và BCBiết . 0 ( ,( )) 60 MN ABCD  . a) Tính MN và SO . b) Tính góc giữaMN và . SBD Trang 38 https://baigiang.org/

  39. Bài tập 6: Cho hình chóp S ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh , a . ,     và Tính góc giữa: 6. SA ABCD SA a a) SC và  ABCD b) SC và  SAB c) SB và  SAC d) AC và  SBC    ABC A B Ccó đáy là tam giác đều cạnh, a Bài tập 7: Cho lăng trụ ' AA ABC . ' ' ' BCcủa mặt bên BCC Bhợp với   ABB Agóc 300. Đường chéo ' ' ' ' ' AA '. a) Tính BBTính góc giữaMN và  b) GọiNlà trung điểm cạnh ' ' . BA C '. Bài tập 8: Cho hình chóp . , S ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân với       Gọi, ; và E Flần lượt là trung điểm các cạnh AB BA BC a SA ABC . SA a và AC . a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SACvà  . SBC b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SEFvà  . SBC Bài tập 9: Cho hình chóp. , S ABCDcó đáyABCDlà nửa lục giác đềunội tiếp đường      2 ; a SA tròn đường kính và 3. AB ABCD SA a a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SADvà  . SBC b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBCvà  . SCD     Bàitập 10: Cho hình vuôngABCDcạnh và Tính góc , a SA 3. ABCD SA a giữa các cặp mặtphẳng sau: a)  SBCvà   ABC b)  SBDvà   ABD Trang 39 https://baigiang.org/

  40. c)  SABvà   SCD 3 a     Bài tập 11: Cho hình thoi ABCD cạnh , a tâm và , ; O OB SA ABCD 3 6. a SO  3 ASC  0 a) Chứng minh rằng: 90 b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng SABvà   SADvuông góc. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBCvà  . ABC BÀI TOÁN 7:. TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂMMĐẾN mp  P Cách 1: +Tìm mp  Qchứa Mvà vuông góc với mp  Ptheo giao tuyến .  + Từ Mhạ MHvuông góc với  .   H      , MH d M P + Cách 2:         P      Ta có: , , d M P d / / P + Kẻ           P   + Chọn N. Lúc đó,    , , , d M P d d N P Cách 3:         , , d M P d N P MI NI    . Ta có: ( ) P MN I + Nếu và MI     , d N P + Tính NI MI NI          , . , d M P d N P + Chú ý:Điểm Nở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ Nđến mặt phẳng (P) dễ hơn tìm khoảng cách từ M đến mp(P). Trang 40 https://baigiang.org/

  41. 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1:Cho hình chóp đều . S ABCđáy ABCcó cạnh bằng a , mặt bên tạo với đáy )) d A SBC theo avà .  một góc  . Tính ( ,( Giải: S +Gọi Ilà trung điểm của BC      SI AI BC BC và SIA    ( ) BC SAI + Ta có: H   ( ) AH SI H SI mà + Kẻ C    ( ) ( ) ( ) SI SAI SBC AH SBC nên . A I  Do đó, ( ,( )) d A SBC AH + Mặt khác, xét tam giác vuông AHIcó: B 3 a     .sin .sin AH AI 2 3 a    ( ,( d A SBC )) .sin AH Vậy, 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlà SA  S  ( ) ABCD hình vuông cạnh , a , 2 . a SA a) Tính ( ,( )) d A SBC b) Tính ( ,( )) d A SBD H K D Giải: A   ( ) (1) AH SB H SB a) Kẻ O    ( ) (*) SA ABCD SA BC và Ta có: B C  (gt) (**) AB BC .    ( ) (2) BC SAB BC AH . Từ (*) và (**) suy ra:   ( ) hay ( ,( d A SBC )) AH SBC AH Từ (1) và (2) ta có: Trang 41 https://baigiang.org/

  42. 1 1 1 5 a 2 a      AH + Mặt khác, xét tam giác vuông SABcó: . 2 2 2 2 4 AH AB SA 5 2 a  ( ,( d A SBC )) Vậy, 5   b) Gọi O AC BD   ( ) (1) AK SB K SO Kẻ     ( ) (*) (gt) (**) SA ABCD SA BD AC BD và . Ta có:    ( ) (2) BD SAC BC AK . Từ (*) và (**) suy ra:   ( ) hay ( ,( d A SBD )) AK AK SBD Từ (1) và (2) ta có: 1 1 1 9 a 2 a      AK + Mặt khác, xét tam giác vuông SAOcó: . 2 2 2 2 4 3 AK AO SA 2 a ( ,( d A SBD  )) . Vậy, 3 Ví dụ 3: Cho hình chóp . S ABCDđáy ABCDlà hình vuông cạnh , atam giác SAB  đều, ( ) ( ) SAB ABCD . Gọi , I F lần lượt là trung điểm của ABvà ADTính . ( ,( d I SFC )) S Giải:   Gọi K FC ID   ( ) (1) IH SK H K + Kẻ B C H + Ta có: I K          ( ( SI SI ) ) ( AB ( ( ) ) SAB SAB   ABCD ABCD A D F  AB  ( ) SI ABCD ) SAB   (*) SI FC   + Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AIDvà DFCcó: AI DF , . AD DC Trang 42 https://baigiang.org/

  43.     Suy ra, AID DFC , AID DFC ADI DCF mà       0 0 90 90 hay FC ID AID ADI DFC ADI (**)    ( ) FC SID IH FC (2). + Từ (*) và (**) ta có:   ( ) hay ( ,( d I SFC )) IH IH SFC Từ (1) và (2) suy ra: + Ta có: 3 5 1 1 1 5 a 5 a a a        , , SI ID DK 2 2 2 2 2 2 5 DK a DC DF 3 5     IK ID DK 10 1 1 1 32 9 a 3 2 3 2 a a       ( ,( d I SFC )) IH Do đó, . Vậy, 2 2 2 2 8 8 IH SI IK Ví dụ 4: (B-2011) Cho lăng trụ . ' ' ' ', ABCD A B C DABCDlà hình chữ nhật, ' Atrên     , 3 AB a AD a ABCDtrùng với giao điểm . Hình chiếu vuông góc của BDTính ( ',( ' )) d B A BD của ACvà . B' C' Giải: A'   +Gọi O AC BD D'   Vì ' / / ' C Dnên ' / / A BD . ' B C B C B C Do đó, ( ',( ' d B O H A D   )) ( ' ,( ' d B C A BD )) ( ,( ' d C A BD )) A BD + Trong mặt phẳng     , ( ) (1) CH BD H BD ABCDkẻ . Mặt khác:  ' ( ) A O  ABCD CH  ' (2) A O    ( ' A BD ) ( ',( ' d B )) CH A BD CH Từ (1) và (2) suy ra: 1 1 1 4 a 3 a      CH . + Xét tam giác vuông BCD có: 2 2 2 2 3 4 CH BC CD Trang 43 https://baigiang.org/

  44. 3 a   ( ',( ' d B )) A BD CH Vậy: 4 Ví dụ 2: (A-2013)Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABClà tam giác vuông tại , A , SBC   ABC  0 là tam giác đều cạnh a, ( ) ( ) . Tính ( ,( )). 30 SBC ABC d C SAB Giải: S + Trong mặt phẳng   ABCvẽ hình chữ , , M I Jlần lượt là trung nhật ABDC. Gọi BC CDvà , AB . điểm của D   SAB hay / / CD Lúc đó, H   ( ,( d C SAB + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ , ( IH SJ H  )) ( ,( )) ( ,( d I SAB )) d CD SAB I B C M  ) (1) SJ J Mặt khác, ta có: A     IJ SM  AB     (  ) ABC SIJ AB AB SM IH  ( ) (2) AB   ( ) hay ( ,( d C SAB )) IH SAB IH Từ (1) và (2) suy ra: 1 2 1 2 . SM IJ SJ     . . S IH SJ SM IJ IH + Xét tam giác SIJ có: . Với: SIJ 3 13 4 a a a    SM     0 2 2 .sin30 IJ AC BC SJ SM MJ , , . 2 2 . 39 39 SM IJ SJ a a   ( ,( d C SAB  )) IH Do đó: . Vậy 13 13 Ví dụ 3:Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình thang vuông tại Avà , D      , ( ) SD ABCD , 2 , a SD AB AD a CD a . a) Tính ( ,( )) d D SBC b) Tính ( ,( )) d A SBC Trang 44 https://baigiang.org/

  45. Giải: Gọi M là trung điểm của CD,E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. a) Trong mặt phẳng     , ( ) (1) DH SB H SB SBDkẻ . 1 2 S   Tam giác BCD BM AD CD + Vì  (*) BC BD . vuông tại B hay H Mặt khác, vì  M   ( ) (**) SD ABCD SD BC . D C Từ (*) và (**) ta có:    ( ) (2) BC SBD BC DH . A B  ( ) DH SBC hay Từ (1) và (2) suy ra:  ( ,( d D SBC )) DH E + Xét tam giác vuông SBD có: 1 1 1 3 a 2 3 a      DH . 2 2 2 2 2 3 DH SD BD 2 3 a  ( ,( d D SBC )) Vậy, 3 ( ,( ( ,( d D SBC )) )) 1 2 1 2 3 d A SBC AE DE AB CD a       ( ,( d A SBC )) ( ,( d d SBC )) . b) Ta có: 3 3 a  ( ,( d A SBC )) Vậy, 3 Ví dụ 4:(D-2011)Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABClà tam giác vuông tại , B    0   ( ) ( ), 2 3, 30 SBC ABC SB a SBC . Tính ( ,( )). d B SAC 3 , a BC 4 BA a , Giải: +Trong mặt phẳng   trong mặt phẳng     ( ) SM BC M BC SBCkẻ ABCkẻ trong mặt phẳng       ( ) ( ) MN AC N AC MH SN N SN SMNkẻ . Suy ra,    ( ) ( ,( )) MH SAC d M SAC MH Trang 45 https://baigiang.org/

  46.  0 .sin30 SB 3 SM a , + Ta có: S     0 .cos30 SB 3 BM a CM a , . 3 ABCM AC a   MN . 5 Xét tam giác vuông SMNcó: 1 1 1 28 9 a 3 a H      C MH 2 2 2 2 MH SM MN 28 B M 3 a N   ( ,( )) d M SAC 28 + Mặt khác, ta có: ( ,( ( d M SAC )) )) d B SAC BC MC   4 ,( A 6 a    ( ,( d B SAC )) 4. ( d M SAC ,( )) 7 6 a  ( ,( d B SAC )) . Vậy 7 BÀI TOÁN 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dvà ' d Cách 1: + Xác định đường thẳng vuông góc chung của dvà ' d + Tính độ dài đoạn vuông góc chung. Cách 2: +Tìm mp  Pchứa ' dvà song song với . d    + Khi đó ( , ') ( ,( )) d d P ( ,( )) d A P d d d . với A d Chú ý:Mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm ' B d  dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)). 3.2.2. Các ví dụ mẫu Trang 46 https://baigiang.org/

  47. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCDcó tất cả các , AB a A cạnh còn lại bằng 3 . aTính ( , ) d AB CD Giải: J + Gọi , I Jlần lượt là trung điểm của CDvà AB . + Vì ACDvà BCDlà các tam giác đều nên: D       , ( ) (1) CD AI CD BI CD AIB CD IJ   nên tam giác AIBcân tại Mặt khác, ACD ACD B I  (2) IJ AB I. Do đó, + Từ (1), (2) suy ra: IJlà đường vuông góc chung C của ABvà CD . 2 2             3 3 26 2 a a a 2 2      IJ AI AJ . + Ta có: 2 2 26 2 a d AB CD  ( , ) Vậy Ví dụ 2:(A_2010)Cho hình chóp . S ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh . aGọi , , M Nlần lượt là trung điểm của ABvà AD Hlà giao điểm của CNvà   . Tính ( , ). d DM SC ( ), 3 SH ABCD SH a . DM S Giải: K + Trong mp    (1), ( ) HK SC K SC SCHkẻ . D C N + Mặt khác: H A B M     ( ) SH DM ABCD ABCD  (*) SH DM  ( )     , Xét hai tam giác vuông AMDvà DNCcó AMD DNC AM DN AD DC .       AMD DNC 0 0       90 90 ADM DCN DNC ADM NHD Từ đó ta có: 0   90 AMD ADM Trang 47 https://baigiang.org/

  48. (**) DM CN hay .    ( ) (2) DM SCH DM HK . Từ (*), (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra: HKlà đoạn vuông góc chung của DMvà SC 2 2 2 3 CD CN a a  DCN      . + Ta có: HCD HC 3 2 2  CD DN 1 1 1 5 a 15 5 a      Xét tam giác vuông SHCta có: HK 2 2 2 2 3 HK HC HS 15 5 a   ( , ) d DM SC HK Vậy Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B Cđáy ABClà tam giác đều cạnh , a . ' ' ' 2 a AA  ' . Tính ( , '). d AB CB 2 C A Giải: I + Gọi , I Jlần lượt là trung điểm của ABvà ' ' A B . B + Ta có: H    / /( ( ,( d I CA B ' ') ' ')) ( , ') ( ,( ' ')) AB  CA B d AB CB d AB CA B C' A' J + Trong mp    (1), ( ) IH CJ H CJ CIJkẻ B'   Ta có: ' ' A B IJ (vì ABC A B Clà hình lăng trụ . ' ' '    (vì ∆ ABClà tam giác đều) nên ' ' ( ) ' ' (2) A B A B CIJ IH ' ' IC A B . đứng) và   hay ( , ') d AB CB IH ( ' ') IH CA B Từ (1), (2) suy ra: 1 1 1 4 a 2 10 3 a 30 a        IH + Xét tam giác vuông CIJ có: 2 2 2 2 2 2 10 3 IH IC IJ a 30 a   ( , ') d AB CB IH Vậy 10 Trang 48 https://baigiang.org/

  49. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh , a 2 . Tính ( , ). a d AD SB cạnh bên bằng S Giải:     / / ( , ) ( ,( )) AD SBC d AD SB d AB SBC + Vì H A B   . , I Jlần lượt là trung điểm + Gọi O AC BD của ADvà BC . J I O D + Trong mp  C   ,( ) (1) IH SJ H SJ SIJkẻ .        ( ) SO IJ  ABCD AB BC  SO BC BC  ( ) BC SIJ  Theo giả thiết ta có: / / IH IJ (2)   hay ( , ) d AD SB IH ( ) IH SBC Từ (1), (2) suy ra: 1 2 1 2 . SO IJ SJ     + Xét tam giác SIJcó: . Với: IJ=a, . . S IH SJ SO IJ IH SIJ 3 2 . 7 4 a 2 2 2 2       . . , SO SA AO a SJ SB BJ . 2 21. SO IJ SJ a   Suy ra: IH 7 2 21 a   ( , ) d AD SB IH Vậy 7 Ví dụ 5: Cho hình chóp . SADlà tam giác đều,  , S ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh , atam giác  SADvuông góc với mặt phẳng đáy. Tính ( , ). d SA BD Giải: S + Qua Akẻ đường thẳng dsong song với BD .   ; , I Mlần lượt là trung điểm O AC BD Gọi   ; . của ADvà OD N d IM H D C M + Ta có: I O N A   ( d SA BD , ) (( , ), ) ( ,( , )) d SA d BD d M SA d B Trang 49 https://baigiang.org/

  50. + Trong mp    (1), ( ) MH SN H SN SMNkẻ     SI SAD AD     ( ) (*) Theo giả thiết: SI ABCD SI d ( ) ( ) ABCD     / / d BD AO BD    (**) AO MN d MN . Mặt khác ta có: / /    ( ) (2) d SMN d MH . Từ (*), (**) suy ra:  ( , ) MH SA d . Từ (1), (2) suy ra: 1 2 1 2 . SI MN SN     với . . S MH SN SI MN MH + Xét tam giác SMN có: SMN 3 2 10 4 a a a 2 2       , , SI MN AO SN SI IN . Do đó, 2 2 15 5 a . 15 5 SI MN SN a d SA BD    ( , ) MH . Vậy Ví dụ 6: (A-2011)Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABClà tam giác vuông tại, B hai mặt phẳng    . ABCGọi Mlà trung điểm của , ABmặt phẳng qua SMvà song song với BCcắt SABvà     2 , a SACcùng vuônggóc với mặt phẳng AB BC Ngóc giữa hai mặt phẳng  SBCvà    60 .Tính ( , ). d AB SN 0 , ACtại ABCbằng Giải: S + Gọi Ilà trung điểm của BC . H / / Do BCnên Nlà trung điểm của ACDo đó, MN . J  AB hay ( , ) ( ,( )) d AB SN d AB SNI / / . IN A N + Trong mp    ,( ) (*) AJ IN J IN ABCkẻ C M I Trong mp    ,( ) (1) AH SJ H SJ SAJkẻ B + Theo giải thiết ta có:      ( ( ) ) ( ( ) ) SAB SAC ABC ABC    ( ) (**) SA ABC SA IN Trang 50 https://baigiang.org/

More Related