Phép chia trong đa thức

1. CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA TRONG ĐA THỨC Người thực hiện: Phạm Hải Bằng Đơn Vị :Tổ Toán-Lí ,Trường THCS Xã Phước Long Ngày báo cáo:24/10/2019 A.Lý thuyết I.Chia đa thức. 1.Khái niệm. +) A B  A=B.Q +) Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho: A=B.Q+R (R=0 hoặc R có bậc nhỏhơn bậc của B) •R=0 ta có pép chia hết. •R 0 ta có phép chia có dư 2. Tính chất. a) A(x) C(x); B(x) C(x) A(x)  B(x) C(x) b) A(x) B(x)  A(x).M(x) B(x) c) A(x) M(x); B(x) N(x) A(x) . B(x) M(x). N(x) II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia. 1.Đa thức chia có dạng x-a (a là hằng số) *Phương pháp: + Sử dụng định lí Bơdu +Sử dụng sơ đồ Hoocne 1.1.Định lí Bơdu a)Định lí: Sốdư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a) Ví dụ: Tìm sốdư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1 Giải: Theo định lí Bơdu ta có sốdư của phép chia f(x) cho x+1 đúng băng f(-1) Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3 Vậy sốdư của phép chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3. b) Hệ quả. +) f(x) (x-a)  f(a)=0. +) Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) (x-1) +) Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) (x+1). 1.2. Sơ đồ Hooc-ne. a)Sơ đồ Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuảphép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực hiện phép chia. GV thực hiện mẫu: 1 -5 a= 2 1 -3 8 2 -4 0 https://dethilop1.com/

2. Ví dụ 2:(x3-7x+6):(x+3) HS thực hiện VD2. GV tổng quát: Với đa thức f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…..+an-1x+an. Ta có sơ đồ Hoocne: a0 a b0=a0 b,Chứng minh sơ đồ (Nâng cao phát triển ) c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tính giá trị của đa thức f(x) tại x=a 2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách ra ởđa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1 C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1 Có x6-1 x2-1;x4-1x2-1;x2-1x2-1 f(x): x2 -1 dư 3x+1 C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với mọi x (1) Đẳng thức (1) đúng với mọi x ,nên Với x=1 có f(x)=a+b=4 x=-1 có f(-1)=-a+b=-2 a=3;a=1 Vậy dư là 3x+1 *Chú ý : +) an-bna-b ( ab) an+bna+b (n lẻ ;a-b) +) xn-1 x-1 x2n-1 x2-1  x-1; x-1 x4n-1 x4-1  x2-1; x2 +1 x3n-1 x3-1  x2+x+1 III Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức *Phương pháp : có 4 cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất) C3:Sử dụng các biến đổi tương đương f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia B.Các dạng bài tập Dạng 1:Tìm dư của phép chia (không làm tính chia) Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần II lí thuyết. Bài1:Tìm dư của phép chia x41 cho x2+1 Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x =x[(x4)10-1]+x a1 b1=a.b0+a1 a2 b2=a.b1+a2 …… …… an-1 bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an an https://dethilop1.com/

3. =x[(x2-1)(x2+1)]10+x  x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x Bài 2.Tìm dư của phép chia f(x) =x50+x49+..........+x2+x+1 cho x2-1. Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp HS: Chọn cách xét giá trịriêng vì đa thức có nghiệm Bài 3.Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x2+1 dư 2x+3 Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1) HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1) f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3 (2) f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c (3) =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4) Từ (2) và (4) b=2;c-a=3 9;a=2 Vậy đa thức dư là 2 Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: Xét giá trị riêng. Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8. HD: Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8 nên ta có: f(x)=(x+1).Q(x)+5 f(x)=(x+2).H(x)+8 Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1) Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2) Từ (1) và (2) ta có: a=3; b=-1. Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho (x- 3)(x-2) được thương là 3x và còn dư. HD: Theo bài ta có: f(x)= (x-3).A(x)+7 f(x)=(x-2).B(x)+5 f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b. các đẳng thức trên đúng với mọi x nên: +Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5 +Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7 a=2; b=1. Do đó dư là 2x+1 F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1 Dạng 3: Chứng minh chia hết 3 b=2;c= 2 3x2+2x+2 9 https://dethilop1.com/

4. Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết. Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1 Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  t2+t+1 Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1. Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1) HD: x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x) Có x2-x+1 x2-x+1 x9+1x3+1 nên x9+1x2-x+1 x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1)x6-1 nên x1945-xx3+1 nên x1945-x x2-x+1 Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1) Bài tập về nhà: Bài 1: Tìm dư khi chia các đa thức sau: a)x43: (x2+1) b)(x27+x9+x3+x):(x-1) c)(x27+x9+x3+x):(x2-1) d)(x99+x55+x11+x+7): (x+1) e)(x99+x55+x11+x+7): (x2+1) Bài 2: Chứng minh rằng: a)x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2 b)x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n là số tự nhiên) c)x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n là số tự nhiên) Bài 3: Cho đa thức f(x), các phần dư trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là 1 và 2. Hãy tìm phần dư trong phép chia f(x) cho x(x-1) Bài 4 : T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - 3 th× dư 2, f(x) chia cho x + 4 th× dư 9, cßn f(x) chia cho x2 +x - 12 th× ®ưîc thư¬ng lµ x2 + 3 vµ cßn dư. Duyệt của tổ chuyên môn: Phước Long, ngày 14 tháng 09 năm 2019 Người thực hiện: Phạm Hải Bằng Đánh giá, nhận xét chuyên đề: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… https://dethilop1.com/