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Respuesta en Frecuencia. Circuitos Eléctricos 2. Resonancia en paralelo. La resonancia es la condición que existe en todo sistema físico cuando una excitación senoidal de amplitud constante produce una respuesta máxima.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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respuesta en frecuencia

Respuesta en Frecuencia

Circuitos Eléctricos 2

resonancia en paralelo
Resonancia en paralelo

La resonancia es la condición que existe en todo sistema físico cuando una excitación senoidal de amplitud constante produce una respuesta máxima.

Para una red eléctrica la resonancia es la condición que existe cuando la impedancia de entrada de la red es puramente resistiva.

Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de las terminales de entrada se encuentran en fase.

circuito resonante en paralelo
Circuito resonante en paralelo

ILC

IL

IC

La frecuencia resonante w0

I

R

L

C

V

La frecuencia resonante natural wd

patr n de polos y ceros
Patrón de polos y ceros

Patrón de polos y ceros para la admitancia

Patrón de polos y ceros para la impedancia

jw0

jwd

jwd

w0

Plano s

Y(s)

Plano s

Z(s)

-a

-a

-jwd

-jwd

respuesta en funci n de la frecuencia
Respuesta en función de la frecuencia

El máximo ocurre en w0.

|I|R

0.707|I|R

IC,0= -IL,0= jw0CRI

w2

w1

w0

factor de calidad q
Factor de calidad Q

Máxima energía almacenadaEnergía total perdida por ciclo

Q = factor de Calidad = 2p

otras relaciones
Otras relaciones

Relaciones entre Q0, a y wd

Entonces

Donde z es el factor de amortiguamiento

variaci n de los ceros
Variación de los ceros

Cuando R>= ½L/C la respuesta del circuito es subamortiguada y a varia de 1/LC hasta 0 y Q0 varia de ½ a 

Q = R = 

jw0

jwd

Q= ½

Y(s)

w0

-a

Los dos ceros de la admitancia se mueven en un círculo cuando R cambia de ½L/C a .

w0

-jwd

-jw0

ancho de banda
Ancho de banda

El ancho de banda (de media potencia) de un circuito resonante se define como la diferencia de dos frecuencias de media potencia. Si w1 es la frecuencia inferior de mitad de potencia y w2 es la frecuencia superior de mitad de potencia, entonces

Los valores los encontramos cuando el voltaje vale 0.707 de su valor máximo.

Expresemos ahora el ancho de banda en términos de Q0 y de la frecuencia resonante

slide10

La admitancia de circuito RLC en paralelo

en términos de Q0

o

Para que la magnitud de Y sea 2/R, debemos obtener las frecuencias en las que la parte imaginaria tenga magnitud igual a 1.

Al resolver tenemos

slide11

La diferencia entre estas expresiones proporciona una formula muy simple para el ancho de banda

Los circuitos con Q0 mas alta presentan un ancho de banda mas estrecho y tienen una selectividad de frecuencia o calidad superior.

También se cumple

ejemplo 1
Ejemplo 1

R = 0.500 L = 0.200 C = 0.200

a = 5.00

w0 = 25.00

wd = 24.49

Q0 = 2.50

z = 0.20

w1 = 20.50

w2 = 30.50

ancho de banda = 10.00

ejemplo 2
Ejemplo 2

R = 1.000 L = 0.200 C = 0.200

a = 5.00

w0 = 25.00

wd = 24.87

Q0 = 5.00

z = 0.10

w1 = 22.62

w2 = 27.62

ancho de banda = 5.00

aproximaciones para circuitos de alta q
Aproximaciones para circuitos de alta Q

Un circuito de alta Q es un circuito en el cual Q0 es igual o mayor que 5

Dado que

Entonces:

Y las ubicaciones de los ceros se podrían aproximar por

slide15

jwd

En el circuito de alta Q,

Cada frecuencia de media

Potencia se ubica aprox.

A la mitad del ancho de

Banda a partir de la frecuencia

resonante

jw2 j(w0 + ½)

½

jwd jw0

s2

jw1 j(w0 – ½)

Plano s

Y(s)

-a

–½

slide16

Las ubicaciones de las dos frecuencias de media potencia también se

pueden aproximar

o

s = jw

s – s2

La admitancia esta dada de manera aproximada por

s = jw0

s2

½ 

slide17

Sustituyendo

La parte imaginaria de esta ecuación vendría siendo el numero de mitades de ancho de banda de resonancia y se abreviaría por medio de N, quedando así:

donde

slide18

La magnitud de la admitancia es

Y el ángulo estará dado por la tangente inversa

resonancia en serie
Resonancia en serie

RS

LS

CS

  • VS

Frecuencia w0 es la frecuencia a la que la parte imaginaria de la frecuencia de entrada se hace cero.

El factor de calidad esta dado por

resonancia en serie20
Resonancia en serie

Las dos frecuencia w1s y w2s se definen como las frecuencias a las cuales la magnitud de la impedancia es 2 la magnitud mínima de la impedancia.

Estas también son las frecuencias a las cuales la respuesta de corriente es igual al 70.7 % de la respuesta máxima.

Donde es la diferencia entre la frecuencia superior e inferior de la mitad de potencia .

Este ancho de banda de la mitad de potencia esta dado por

resonancia en serie21
Resonancia en serie

La impedancia de entrada también puede expresarse en forma aproximada para circuitos con valores altos de Qs.

Donde

El circuito resonante en serie se caracteriza por una baja impedancia resonante

resumen
Resumen

ILC

RS

LS

IL

IC

CS

I

R

L

V

  • VS

C

tabla de expresiones
Tabla de expresiones

Expresiones exactas

Expresiones aproximadas

Q0 >=5 0.9w0<= |w| <=1.1w0

wd= w0w2, 1= w0  ½ 

tarea
Tarea

Un circuito resonante serie tiene un ancho de banda de 100 Hz y contiene una inductancia de 20 mH y una capacitancia de 2 mF. Determine a) f0, b) Q0, c) Zent y d) f2.

796 Hz, 7.96, 12.57 + 0j Omhs, 846 Hz

otras formas resonantes
Otras formas resonantes

Circuito RLC paralelo más realista y su equivalente para un rango limitado de frecuencias.

R1

Y

R2

Re

C

Ce

Le

L

ejemplo
Ejemplo

Sean R1 = 2 Ohms, L = 1H, C = 1/8 F y R2 = 3 Ohms.

w0 = 8 – 22 = 2 rad/s

Y = 1/3 + j2(1/8) + 1/(2 + j(2)(1)) = 1/3 + 1/4 = 0.583 S

Z(2j) = 1/0.583 = 1.714 Ohms

Si R1 fuera cero

w0 = 2.83 rad/s

Z(2.83j) = 1.947/_-13.26° Ohms

Frecuencia del máximo

wm = 3.26 rad/s

Z(3.26j) = 1.980/_-21.4° Ohms

slide28

Grafico de la impedancia del ejemplo

1.980

1.947

1.714

w0= 2

2.83sin R1

3.26máximo

transformaci n serie paralelo
Transformación serie paralelo

El factor de calidad Q se puede definir para cualquier frecuencia, no necesariamente la de resonancia.

Puede mostrarse que para las redes serie y paralelo de las figuras el valor de Q esta dado por la expresión correspondiente.

Rs

Yp

Rp

Ys

jXs

jXp

Qs = |Xs|/Rs

Qp = Rp/|Xp|

slide30

Para que las dos redes sean equivalentes se debe cumplir lo siguiente

Esto se cumple si

Dividiendo ambas

Las Q’s de las dos redes deben ser iguales Qs = Qp = Q, por tanto

ejemplo31
Ejemplo

En w = 1000 rad/s, encuentre la red paralela equivalente a la red serie

100 Ohms

Rp = 100 (1 + (8*1000)2/1002)

= 640 kOhms

Xp = 8*1000(1 + 1/ ((8*1000)2/1002))

= 8000 = 1000*Lp

Lp = 8 H

8H

ejemplo 232
Ejemplo 2

Suponga una red serie RLC con R = 20 W, L = 10 mH y C = 0.01 mF. La red es exitada por una fuente de 0.5 V y se desea medir el voltaje en el capacitor con un voltímetro con 100000 W de resistencia interna.

Antes de conectar w0 = 105 rad/s, Q0 = 50 y VC = 25 V.

El arreglo del capacitor en paralelo con la resistencia del voltímetro es equivalente a un arreglo serie de un capacitor y una resistencia.

Para calcular los valores del circuito equivalente se debe suponer que la frecuencia de resonancia es también de 105 rad/s, la Q de la red RC estará dada por

Q = Rp/|Xp| = wRC = 100

Los elementos equivalentes son

Cs = Cp y Rs = Rp/Q = 10 W

La nueva Q del circuito RLC es 33.3.

El voltaje en el arreglo serie es

|VC| = (0.5/30)|10 – j1000| = 16.67 V

tarea33
Tarea

Dados una resistencia de 10 W en serie con un condensador de 10 mF, determinar los dos elementos en el equivalente en paralelo si w = : a) 200, b) 1000, c) 5000 rads/s.

Resp. : 50 W, 8 mF; 1 k W, 10 mF; 25 k W, 10 mF

Para w = 105 rads/s, hallar el valor eficaz de Q para las redes RC de dos terminales que se muestran en las figuras

+---+---+ +---R2---+---+ +---+---R2---+---+ | | | | | | | R1 C R1 C R3 R1 C | | | | | | |+---+---+ +--------+---+ +---+--------+---+

R1 = 4 kW, R2 = 10 W, R3 = 500 W, C = 5mF

Resp. : 2, 10, 20

cambio de escala
Cambio de Escala

El Procedimiento de cambio de escala nos permite analizar redes formadas por elementos con valores prácticos haciendo un cambio de escala para permitir cálculos numéricos mas convenientes, tanto en magnitud como en frecuencia.

slide35

En el siguiente ejemplo los valores poco prácticos de sus elementos nos llevan a la improbable curva de respuesta.

Z

2.5

½ H

2F

cambio de escala36
Cambio de Escala

El cambio de escala en magnitud: se define como el proceso por medio del cual la impedancia de una red de dos terminales aumenta por un factor de Km y la frecuencia permanece constante.

cambio de escala en magnitud
Cambio de Escala en Magnitud

Por consiguiente “la red sufrira un cambio de escala en magnitud por un factor de 2”, esto significa que la impedancia de la nueva red sera el doble de la red original:

Los siguientes cambios darán como resultado la red con otra escala en magnitud por el factor Km:

R KmR

L  KmL

C 

Cambio de escala en magnitud

slide38

Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

2F

Z

2.5

½ H

10–3 F

Z

5 k

1000 H

slide39

La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje vertical, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.

cambio de escala en frecuencia
Cambio de Escala en Frecuencia

El cambio de escala en frecuencia se define como el proceso por medio del cual la frecuencia a la que ocurre cualquier impedancia aumenta por un factor Kf

Al igual que en el caso anterior “la red sufre un cambio de escala en frecuencia por un factor de 2”.

El cambio de escala se logra cambiando la escala en frecuencia de cada elemento pasivo.

slide41

Los cambios necesarios en cada elemento pasivo para hacer un cambio de escala en frecuencia por un factor Kf son:

R  R

L 

C 

Cambio de escala en frecuencia

slide42

Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

10–3 F

Z

5 k

1000 H

200 pF

Z

5 k

200 mH

slide43

La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje horizontal, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.

slide44

Una impedancia dada como función de s también puede cambiar su escala, sea en magnitud o en frecuencia.

Para un cambio de escala en magnitud de Z(s): solo multiplicamos Z(s) por el factor Km .

Ejemplo:

La impedancia Z´(s) de la red con cambio de escala en magnitud es:

Z´(s)=Km Z(s)

slide45

Para el cambio de escala en frecuencia:

Z´´(s)=Z´

Siempre y cuando Z´´(s) y Z´(s) deben dar valores idénticos de impedancia

Estos dos tipos de cambios de escala también pueden ser realizados a las fuentes dependientes

tarea46
Tarea

Un circuito resonante en paralelo tiene una frecuencia de resonancia 2500 rad/s, un ancho de banda de 100 rad/s y una inductancia de 200 mH. Halle el nuevo ancho de banda y capacitancia si se emplea una escala en el circuito en a) la magnitud por un factor de 5; b) la frecuencia por un factor de 5; c) magnitud y la frecuencia por factores de 5.

Una tensión V(s) aplicada a una red dada produce una salida I2(s) = (2s+5)/(3s2 + 4s+ 6)A. Hallar I2(s) si la red tiene una escala en a) frecuencia por un factor de 2; b) magnitud por un factor de 2; c) frecuencia y magnitud por factores de 2; b)

diagramas de bode
Diagramas de Bode

Definición: Una magnitud en decibeles se obtiene tomando el logaritmo en base 10 de la magnitud y multiplicando por 20.

HdB = 20 log|H(jw)|

La operación inversa es:

|H(jw)| = 10(HdB/20)

Algunos valores comunes son:

|H(jw)| = 1  HdB = 0 dB

|H(jw)| = 2  HdB = 6 dB

|H(jw)| = 10  HdB = 20 dB

|H(jw)| = 10n HdB = 20n dB

20 log 5 = 20log(10/2) = 20log10 – 20log2 = 20 – 6 = 14 dB

2 20log21/2 = 10x0.3 = 3dB

1/2  -3dB

ejemplo48
Ejemplo

Gráfico de Bode para la magnitud de un cero simple

HdB = 0 si w << aHdB = 20 log(w/a) si w >> a

Diagrama de Bode

w = logspace(-2,2,100);a = 1;H = 1 + j*w/a;HdB = 20*log10(abs(H));semilogx(w,HdB)

slide49

Gráfico de Bode para la fase de un cero simple

H(s)| = 1 + s/a

ang H(jw) = ang(1+jw/a) = tan-1w/a

ang H(jw) = 0° si w < 0.1a ang H(jw) = 90° si w > 10a

Diagrama de Bode

w = logspace(-2,2,100);a = 1;H = 1 + j*w/a;Hang = angle(H);semilogx(w,Hang)axis([0.01,100,0,2.5])

slide50

1 k W

20 mF

s

+

-

+ -

Vx

200

40

Vent

Vsal

4 k W

Vx

10 nF

5 k W

20

1

101

102

103

104

105

106

|H(s)| =-2s/(1 + s/10)(1 + s/20000)-2  6 dBs 20 dB/década en 01 + s/10  -20 dB/década en 101 + s/20000  -20 dB/década en 20000

cruza por 0 en w = 400,000

1 +s/10

1 +s/20000

w = logspace(-1,6,100);H = -2*j*w./((1 + j*w/10)....*(1 + j*w/20000));HdB = 20*log10(abs(H));semilogx(w,HdB)axis([0.1,10e6,-20,40])grid

slide51

H(s)| =-2s/(1 + s/10)(1 + s/20000)-2  6 dBs 20 dB/década en 01 + s/10  -20 dB/década en 101 + s/20000  -20 dB/década en 20000

106

1

101

102

103

104

105

-90

w = logspace(-1,6,100);H = -2*j*w./((1 + j*w/10)....*(1 + j*w/20000));Hang = atan(imag(H)./real(H))...*180/pi-180;semilogx(w,Hang)grid

algunas consideraciones
Algunas consideraciones

Un término sn representa una magnitud que pasa por w = 1, con una pendiente de 20n dB/década, la respuesta en fase es un ángulo constante de 90n°.

Un cero múltiple (1+ s/a)n representa la suma de n curvas de respuesta en magnitud o fase de un cero simple. Por tanto se obtiene una respuesta de 0 dB para w<a y que tiene una pendiente de 20n dB/década cuando w>a. el error es –3n dB en w=a, y –n dB en 0.5a y 2a.

El diagrama de fase es 0° para w<0.1a, 90n° para w>10a, 45n° para w=a, y una línea recta con pendiente de 45n°/década para 0.1a<w<10a. El error es 5.71n° en las dos frecuencias.

ejemplo53
Ejemplo

Haga el diagrama de la función

H(s) = (1 + s/10)/((1 + s/500)(1 + s/10,000)2)

(1+s/10)

30

20

10

101

102

103

104

105

1

1 +s/500

(1 +s/10,000)2

pares complejos conjugados
Pares complejos conjugados

|H(s)| = 1 + 2z(s/w0) + (s/w0)HdB = 20 log|H(s)| = 20 log|1 + j2z(w/w0) - (w/w0)2|

Si z = 1 se tiene un cero de segundo orden.

Se tiene una asíntota en 0dB y otra que corresponde al término cuadrático de –40 dB/década.

Para w = w0 hay que hacer un ajuste, HdB = 20log(2z)

Si z = 0.1, HdB = –14 dB.

w = logspace(-2,1,100);w0 = 1;zeta = 1;H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -... (w/w0).^2;HdB1 = 20*log10(abs(H1));

z = 1

z = 0.5

z = 0.25

z = 0.1

slide55

ang H(s) = tan-1(2z(w/w0)/(1 - (w/w0)2))

Debajo de w = 0.1w0 ang H(s) = 0°

Arriba de w = 10w0 ang H(s) = 180°

Para w = w0 ang H(s) = 90°

z = 1

z = 0.5

w = logspace(-2,2,100);w0 = 1;zeta = 1;H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -... (w/w0).^2;Hang1 = angle(H1)*180/pi;

z = 0.25

z = 0.1

ejemplo56
Ejemplo

H(s) = 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2))

w = logspace(-1,3,100);w0 = 100;zeta = 0.1;H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 + ... 2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2));HdB = 20*log10(abs(H));semilogx(w,HdB)

ejemplo57
Ejemplo

ang H(s) =ang( 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2)))

w = logspace(-1,3,100);w0 = 100;zeta = 0.1;H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 +... 2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2));Hang = angle(H)*180/pi;semilogx(w,HdB)

tarea58
Tarea

Haga el diagrama de Bode de magnitud de

H(s) = 1000s2/(s2+5s+100)