Chuyên đề Sử dụng biệt thức Delta vào giải một số dạng toán

1. MỤC LỤC Nội dung Trang 1 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 21 21 21 22 22 23 23 Mục lục 1.Tóm tắt đề tài 2. Giới thiệu 2.1. Lí do chọn đề tài 2.2. Giải pháp thay thế 2.3.Vấn đề nghiên cứu 2.4. Giả thuyết nghiên cứu 3. Phương pháp 3.1. Khách thể nghiên cứu 3.2. Thiết kế nghiên cứu 3.3. Quy trình nghiên cứu 3.3.1. Giai đoạn 1 3.3.2 .Giai đoạn 2 3.4. Đo lường 4. Kết quả 5. Bàn luận 6. Kết luận –Khuyến nghị 7. Tài liệu tham khảo 8. Kế hoạch dạy thực nghiệm. “Sử dụng biệt thức Delta vào giải một số dạng toán”. 1 Lop8.com.vn

2. Chuyên đề SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA VÀO GIẢI TOÁN 1. Tóm tắt chuyên đề “ Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu” chủ trươngđóđã thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và Nhà nước ta; khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước; bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH. Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học công nghệ hiện nay, trình độtri thức của con người phát triển rõ rệt. Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triển ở học sinh “ những năng lựctrí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề ở từng góc độ khác nhau. Tìm tòi những cái cũ trong cái mới”. Để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới. Sử dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai là nội dung cơ bản, quan trọng của chương trình đại số 9. Tuy nhiên sử dụng triệt để biệt thức Delta để giải một số dạng toán khác như thế nào? Điều này cũng được nhiềunhà nghiên cứu giáo dục đề cập.Song trong quá trình thực hiện còn tùy thuộc vào trình độ học sinh và điều kiện của giáo viên.Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều, việc thử nghiệm các nội dung giảng dạy không chỉ nhằm rút kinh nghiệm cho bản thân mà còn làm cơ sở thực tiễn để cùng đồng nghiệp bàn luận nhằm xây dựng những phương án giảng dạy thích hợp. Việc xây dựng các chuyên đề chuyên môn là cần thiết nhằm hệ thống hóa bài tập và phương pháp giải giúp học sinh nắm kiến thức sâu rộng và chắc chắn hơn. Trong các vấn đề trên “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán”là chuyên đề mà bản thân tôi đang cố gắng lựa chọn và phân loại bài tập để chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh của mình trực tiếp giảng dạy. Trong chuyên đề này tôi xin phép chỉ giới thiệu một số dạng bài tập quen thuộc thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện…Trong quá trình giảng dạy tiếp theo tôi tiếp tục thu thập tài liệu và các dạng toán cũng như các bài tập phong phú hơn có thể giải bằng sử dụng Delta để chuyên đề thêm phong phú và sâu rộng hơn 2. Giới thiệu. 2.1 Lý do chọn đề tài. 2 Lop8.com.vn

3. Trong chương trình toán 9, xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến tam thức bậc hai có dạng: - Giải phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số - Giải phương trình, hệ phương trìnhnghiệm nguyên. - Chứng minh bất đẳng thưc. - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị hàm số… Đây là một nội dung khó đối với chương trình toán 9. Khi giải bài tập dạng này học sinh gặp nhiều khó khăn, vướng mắc dẫn đến không hứng thú, bởi vì các em chưa tìm ra được phương pháp thích hợp. Mặt khác công cụ giải các bài toán trên còn nhiều hạn chế. Không vì thế mà giáo viên xem nhẹ các dạng này mà giáo viên cần phải bắt đầu từ đâu, dẫn dắt như thế nào để các em không ngại. Chính vì vậy, giáo viên cần đưa các em từ những bài toán đơn giản đến phức tạp bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp. Trong chương trình toán THCS có nhiều dạng bài tập liên quan đến sử dụng biệt thức delta , xong tôi chỉ đưavào đây một số bài tập điển hình. Tôi nghĩ trong quá trình giảng dạy vận dụng biệt thức Delta thì chất lượng học sinh sẽ tốt hơn rất nhiều. 2.2. Giải pháp thay thế: Để Giáo viên cũng như học sinh nắm được các dạng toán và biết thêm nhiều bài tập “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán”. Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản nhất của các cách “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán”. Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống. Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau. 2.3.Vấn đề nghiên cứu. Từ việc nghiên cứu vấn đề, giúp bản thân phát hiện ra những phương pháp hay và có hiệu quả nhất để vận dụng vào quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, nhằm đạt kết quả cao hơn. 2.4. Giải thuyết nghiên cứu Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng cách sử dụng biệt thức Delta. Tuy nhiên trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số bài tập thuộc các dạng sau. Giải các phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số. Giải phương trình nghiệm nguyên. Chứng minh bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị… 3 Lop8.com.vn

4. 3.Phương pháp 3.1 Khách thể nghiên cứu Giáo viên: Hà Minh Tâm –giáo viên trường THCS Chấn Hưng trực tiếp nghiên cứu và áp dụng. Nhóm học sinh của lớp 9A Trường THCS Chấn Hưng - Huyện Vĩnh Tường -Tỉnh Vĩnh Phúc 3.2 Thiết kế nghiên cứu -Thời gian nghiên cứu: Hai năm và một học kì của năm học thứ ba. Bắt đầu từ năm học: 2015-2016 Kết thúc là học kì I của năm học: 2016-2017 - Đúc rút một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệp và bản thân tìm hiểu và tham khảo nhiều tài liệu liên quan ở trên sách, trên mạng internet, và các đề thi của các cấp . 3.3 Quy trình nghiên cứu 3.3.1 Nghiên cứu các dạng toán Xuất phát từ bài toán gốc: Cho phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = b2–4ac ≥ 0 ( hoặc ∆’ = b’2 - ac ≥ 0 ) */ Các dạng toán: Dạng 1:GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Để giải bài toán dạng này học sinh thường phân tích vế trái thành nhân tử hoặc đưa vế trái thành tổng các bình phương còn vế phải bằng 0, hay bằng phương pháp loại trừ…Các phương pháp này học sinh biến đổi thường gặp nhiều khó khăn dẫn đến bài toán bế tắc. Nhưng sử dụng biệt thức Delta thì việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn. Bài toán 1: Giải phương trình 5y2– 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (1) Cách 1:Ta phân tích vế trái thành tổng các bình phương. 5y2– 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (x2 + y2 + 1 – 2xy + 2x – 2y ) + (x2– 4xy + 4y2 )= 0  (x – y + 1)2 + (x – 2y)2 = 0  x – y + 1 = 0 và x – 2y = 0 Tìm được (x, y) + Phương pháp này mất nhiều thời gian và rất tốn công để nhẩm, ghép các số hạng sao cho trở thành bình phương của một tổng. + Nhằm khắc phục khó khăn giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hướng đi để giải bài toán tiết kiệm được nhiều công sức 4 Lop8.com.vn

5. + GV hướng dẫn học sinh đưa phương trình trên về dạng phương trình bậc hai có ẩn là y. Cách 2:Sử dụng biệt thức Delta Tìm điều kiện để phương trình đó có nghiệm 5y2– 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0  5y2– 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + 1 = 0 (2) (2) là phương trình bậc hai ẩn y và có: ∆’ = (3x + 1)2– 5(2x2 + 2x + 1) = 9x2 + 6x + 1 – 10x2– 10x – 5 = - x2– 4x – 4 = -(x + 2)2≤ 0 (2) có nghiệm  x + 2 = 0  x = -2 Thay x = - 2 vào (1)  y = -1 Cách 3:Để giải bài toán (1) ta còn có thể biến đổi (1) về dạng phương trình bậc hai một ẩn với ẩn là x, rồi sử dụng biệt thức Delta để giải. * Như vậy ta đã sử dụng công cụ biệt thức Deltađể giải phương trình trên nhanh hơn, đồng thời học sinh dễ hiểu và áp dụng tốt hơn Ta xét bài toán 2. Bài toán 2:Giải hệ phương trình  + + − y − x − = 2 2 4 4 2 2 0 ) 1 ( x y x xy y   + + − − − = 2 2 4 4 2 56 0 ) 2 ( x xy y Hệ phương trình nhiều ẩn và không phải là hệ bậc nhất, không ít học sinh lúng túng để tìm ra cách giải. Nhiều học sinh sẽ đi phân tích, hoặc nghĩ đến phương pháp cộng và thế.Tuy nhiên việc làm đó sẽ mất nhiều thời gian, gây khó khăn và rất khó nhớ. Nếu hướng dẫn học sinh sử dụng biệt thức Delta thì hầu hết các em khá giỏi có thể đưa mỗi phương trình trong hệ về phương trình bậc hai ẩn x hoặc ẩn y để áp dụng Delta Giải:  + + − y − x − = 2 2 4 4 2 2 0 ) 1 ( x y x xy y   + + − − − = 2 2 4 4 2 56 0 ) 2 ( x xy y Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x. 0 2 2 4 4 = − − − + + y xy x y x 2 2  x2 + (1- 4y)x + 4y2– 2y -2 = 0 5 Lop8.com.vn

6. ∆ = (1- 4y)2– 4(4y2– 2y - 2) = 1 – 8y + 16y2– 16y2 + 8y + 8 = 9 = −  2 2 x y  1 = + 2 1 x y 2 Tương tự ta đưa PT (2) về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x. 2 4 4 − − − + + y x y xy x = 2 2 56 0  4x2 + 2(2y - 1)x + y2– y -56 = 0 ∆’ = (2y - 1)2– 4(y2– y - 56) = 4y2– 4y + 1 – 4y2 + 4y + 224 = 225 = 152 − 2  8 y = x  3   − − 7 y  = x   4 2 =  x x 1 3  = x x  Để (x;y) là nghiệm của hệ thì 1 4  = x x 2 3   = x x 2 4 Giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình trên là : (2,8; 2,4) ; (-3,2; -0,6) (3,4; 1,2) ; (-2,6; -1,8) Một số bài tập tương tự: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1) x2 + 2y2 - 2xy + 2y – 4x + 5 = 0 2) x2– 4xy + 5y2– 2y + 1 = 0  − + = 2 2 4 1 x xy y  3)  − = 2 3 4 y xy  + + y = 3 x y z  4)  + + = 2 2 2 1 x z 6 Lop8.com.vn

7. Xuất phát từ bài toán (2) ta đặt ra bài toán mới. Bài toán 3:Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình  + + 2 − − − = 2 2 4 4 2 2 0 ) 1 ( x y x xy y   + + − − + = 2 2 2 2 1 0 ) 2 ( x y xy x y HS sẽ rất lúng túng khi gặp phải dạng toán giải hệ phương trình nghiệm nguyên. Tuy nhiên với việc sử dụng biệt thức Delta và giải bài toán 2 thì học sinh sẽ rất dễ dàng nhớ phương pháp và giải bài toán 3 này nhanh gọn hơn Giải:  + + 2 − − − = 2 2 4 4 2 2 0 ) 1 ( x y x xy y   + + − − + = 2 2 2 2 1 0 ) 2 ( x y xy x y Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc 2 với ẩn là x. ) 1 ( 0 2 2 4 4 = − − − + + y xy x y x 2 2  x2 + (1- 4y)x + 4y2– 2y -2 = 0 ∆ = (1- 4y)2– 4(4y2– 2y - 2) = 1 – 8y + 16y2– 16y2 + 8y + 8 = 9 = −  2 2 x y  1 = + 2 1 x y 2 Tương tự đưa phương trình 2 về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x. 1 2 2 2 = + − − + + y x xy y x  x2 + 2(y - 1)x + y2– 2y + 1 = 0 ∆’ = (y - 1)2– y2 + 2y – 1 = 0  x3 = x4 = 1 – y Để hệ phương trình có nghiệm thì x1 = x3 = x4 và x2 = x3 = x4 Ta được: (x; y) = (1; 0) hoặc (x; y) = (0; 1) là nghiệm nguyên của hệ phương trình đã cho + Tiếp tục khám phá ta thấy biệt thức Delta còn có ứng dụng để giải phương trình nghiệm nguyên. Dạng 2:GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHNGHIỆM NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP: Ta viết phương trình f(x,y,z,…) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai với một 2 2 0 ) 2 ( 7 Lop8.com.vn

8. ẩn nào đó(ẩn x) khi đó các ẩn còn lại coi là tham số (y,z,…là tham số). Để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên thì ta cần điều kiện:    0  0 a    k = 2 k     N Bài toán 4:Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + xy + y2– 4 = 0 (1) HS giải bài toán này giống như bài toán 1 Giải: Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆ = y2– 8(y2 - 4) = - 7y2+ 32 ≥ 0  7y2≤ 32  y2≤ 4 Vì y  Z  y = 0; ± 1; ± 2 Với y = -2 thay vào (1) ta được 2x2– 2x = 0  2x(x – 1) = 0 =  0 x  = 1 x Với y = -1  x = -1 hoặc x = 3/2 (loại) Với y = 0  x = ± 2(Loại) Với y = 1 x = 1 hoặc x = 3/2 (loại) Với y = 2 x= 0 hoặcx = -1 Đáp số: (0; -2) ; (1; -2) ; (-1; -1); (1; 1); (0;2); (-1;2) là các nghiệm nguyên của phương trình (1) Bài toán 5:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2x – 4y2 + 9 = 0 (1) Giải: Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆’= 1 + 4y2– 9 = 4(y2 - 2) ≥0  y2≥ 2  Đến đây học sinh thấy bế tắc không đưa ra được kết quả.  2 y 8 Lop8.com.vn

9. GV hướng dẫn học sinh: để phương trình có nghiệm nguyên ngoài điều kiện ∆’ ≥ 0 ta cần thêm điều kiện ∆’ là số chính phương.  4(y2–2) phải là một số chính phương ∆’ = 4y2– 8 = k2 ( k N)  4y2– k2 = 8  ( 2y – k )(2y + k) = 8 Vì 2y –k + 2y + k = 4y là số chẵn nên 2y –k và 2y + k cùng tính chẵn, lẻ Và ( 2y –k )(2y + k) = 8 ( 8 chẵn ) nên 2y –k và 2y + k cùng chẵn  3 − = =  2 2 y k y   (loại)   2 + = 2 4 y k   = 1 k  3 − = − = −  2 2 y k y  (loại) Hoặc   2 + = − 2 4 y k   = − 1 k Vậy phương trình không có nghiệm nguyên Từ các bài toán trên ta thấy được vai trò của biệt thức Delta vô cùng quan trọng. Khi giải các em phải xem xét mọi tình huống xảy ra, cần vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Một số bài tập tương tự: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau 1) 4xy – y + 4x – 2 = 9x2 2) x2y2– y2 – 2y + 1 = 0 3) y2– 2xy + 5x2 = x +1 4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) * Trở lại với bài toán 1 5y2– 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 1 = 0 (1) Bây giờ ta thay hạng tửtự do ở PT (1) bởi số 2 thì được bài toán mới Bài toán 6:Giải phương trình 5y2– 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 = 0 (2) HS giải tương tự bài toán 1 Giải: Biến đổi PT (2) về dạng phương trình bậc hai ẩn y 5y2– 2(3x + 1)y + 2x2+ 2x + 2 = 0 (2’) 9 Lop8.com.vn

10. ∆’ = (3x + 1)2– 5(2x2 + 2x + 2) = 9x2 + 6x + 1 – 10x2– 10x – 10 = - x2– 4x – 9 = - (x + 2)2– 5 < 0 Vì ∆’< 0 nên PT (2’) vô nghiệm Vậy PT (2) vô nghiệm Không chỉ dừng lại ở đó, sử dụng biệt thức Delta còn giúp ta giải quyết được một số bài toán còn khó hơn và thường xuyên xuất hiện trong các câu khó của đề thi tuyển sinh vào lớp 10, các đề thi khảo sát đội tuyển và các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào trường chuyên, lớp chọn đó là chứng minh bất đẳng thức Dạng 3:CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1)Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c (a ≠ 0) 2 2 −  2     ( a ) 4 f x b c b b ac b   ì = + + = + − = + − 2     x x x x 2 2 2 2 a a a a 4 4 a a ( ) f x > 0  f(x) luôn cùng dấu với a Nếu ∆ < 0 thì a 2   ( ) b f x b ≥ 0  f(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = = ) Nếu ∆ = 0 thì + −   x 2 2 a a a ( ) f x = (x – x1)(x – x2). Giả sử x1 < x2 Nếu ∆ > 0 thì a  f(x) trái dấu với a nếu x1 < x < x2 hoặc f(x) cùng dấu a nếu x < x1 hoặc x > x2 2) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a >0) + f(x) ≥ 0 với  x   R  ∆ = b2–4ac ≤ 0    c  0 ( ) 0 x b ct     ) 0 ( 0 ( ) 0 f     x   0 ( ) 0 x b + f(x) ≥ 0 với  x ≥ 0    ct       ( ) 0 ( ) 0 f  ct Vận dụng kiến thức đó ta giải các bài toán sau: Ta xét bài toán mới. 10 Lop8.com.vn

11. Bài toán 7: Chứng minh bất đẳng thức: 5y2– 6xy + 2x2 + 2x –2y + 2 > 0 với mọi (x,y) Vận dụng kết quả bài toán 6 học sinh dễ dàng giải bài toán 7: Giải: Đặt f(y) = 5y2– 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 Ta có ∆’ = - (x+2)2–5 < 0 với mọi x f(y) > 0 với mọi x,y Qua bài toán 7 ta thấy biệt thức Delta lại có vai trò quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức Bài toán 8: Cho a, b, c là độdài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi nào? Khi đó tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài toán này ở lớp 8 các em học sinh khá giỏi cũng đã được chứng minh, ngoài ra ta có thể chứng minh bằng công cụ biệt thức Delta. Nếu chọn a làm ẩn ta có bất phương trình bậc 2 dạng 2a2– 2(b + c)a + b2 + c2≥ 0 Đặt f(a) = 2a2– 2(b + c)a + b2 + c2 Ta có ∆’ = b2 + 2bc + c2– 2(b2 + c2 ) = - (b - c)2≤ 0 Nếu ∆’ = 0  - (b - c)2 = 0 b = c thì tam thức bậc 2 f(a) có nghiệm Trong tam thức f(a) có hệ số a = 2 > 0  f(a) = 2a2– 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0 với mọi a, b, c Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c khi đó tam giác ABC là tam giác đều Bài toán 9: Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện: p2 + q2 > a2 + b2 + c2 + d2 Chứng minh rằng: (p2– a2– b2)(q2– c2– d2) ≤ (pq – ac - bd)2 Giải: Từ giả thiết suy ra : (p2– a2– b2) + (q2– c2– d2) >0  p2– a2– b2> 0 hoặc q2– c2– d2 > 0 + Nếu p2– a2– b2> 0, suy ra p ≠ 0 , xét tam thức bậc hai 11 Lop8.com.vn

12. f(x) = (p2– a2– b2 )x2– 2(pq – ac - bd)x + q2– c2– d2 = p2x2– 2pqx + q2 - ( a   ) ( ) + − + + + 2 2 2 2 2 2 b x ac bd x c d = (px –q)2– (ax - c)2– (bx - d)2 2 2     q ta có f(p q) = aq bp Tại x = p         − − − −  0 c d p p Do: p2– a2– b2> 0 và theo định lý đảo của tam thức bậc hai, tam thức f(x) có nghiệm, do đó: ∆’ = ( pq – ac – bd)2– (p2– a2– b2)(q2– c2 - d2) ≥ 0 Ta được điều phải chứng minh + Nếu q2– c2– d2 > 0, suy ra q ≠ 0, xét tam thức bậc hai f(x) = (q2– c2– d2 )x2– 2(pq – ac - bd)x + p2– a2– b2 = (qx - p)2– (cx - a)2– (dx - b)2 p  Và có ta cũng được điều phải chứng minh    ( ) 0 0 f q Bài toán 10: Cho a, b, c dương : Chứng minh rằng a2 + b2 + c2+ 2abc +1 ≥ 2(ab + bc + ca) Đây là bài toán khá tiêu biểu cho các bất đẳng thức không thuần nhất và không có điều kiện. HS sẽ lúng túng và khó có PP giải GV hướng dẫn đưa về tam thức bậc hai ẩn a Giải: Đặt f(a) = a2 + 2(bc – b - c)a + (b – c)2 +1 ∆’ = (bc – b - c)2– (b - c)2– 1 = bc(b – 2)(c – 2) – 1 + Nếu bc – b –c ≥ 0 đpcm + Nếu bc – b –c ≤ 0  (b - 1)(c - 1) ≤ 1 - Có đúng một trong hai số b, c lớn hơn 2, số còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 2. Ta thấy ∆’≤ 0 - Cả hai số b, c đều nhỏ hơn 2. Theo AM-GM ta có b(2 - b) ≤ 1; c(2 –c) ≤ 1 => ∆’≤ 0 Vậy BĐT đã được chứng minh Bài toán 11:Chứng minh bất đẳng thức: 12 Lop8.com.vn

13. x2 + 5y2 + 2z2– 4xy - 2yz - 2z +1 ≥ 0 với mọi x, y, z Với kiến thức đã có sẵn học sinh không bất ngờ trước bài toán 11, và học sinh giải bài toán này một cách đơn giản. Giải: Đưa vế trái về dạng tam thức bậc hai với ẩn là x. f(x) = x2– 4xy + 5y2 + 2z2– 2yz -2z + 1 ∆’ = 4y2– 5y2– 2z2 + 2yz + 2z – 1 = - (y - z)2– (z - 1)2≤ 0 với mọi y, z f(x) ≥ 0 với mọi x, y, z ( điều phải chứng minh) Ta có thể giải bài toán này bằng nhiều cách khác nhau. Đến đây giáo viên đã kích thích sự hứng thú say mêcủa học sinh, học sinh có nhu cầu giải các bài toán với mức độ khó hơn. Ta xét bài toán sau: Bài toán 12:Cho đẳng thức: x2– x + y2– y = xy (1) 4 ; (x - 1)2≤ 3 4 Chứng minh rằng: (y - 1)2≤ 3 ( Có thể học sinh cho rằng đây là bài toán rất lạ chắc khi giải sẽ gặp nhiều khó khăn lắm đây ) GV hướng dẫn học sinh biến đổi bài toán 12 về dạng quen thuộc Giải: Đưa đẳng thức (1) về dạng phương trình bậc 2 đối với ẩn x x2– x + y2– y = xy (1)  x2– (y + 1)x + y2– y = 0 ∆ = (y +1)2– 4(y2– y) = - 3y2 + 6y + 1 Để PT bậc hai có nghiệm ta phải có ∆ ≥ 0 tức là 3y2– 6y –1 ≤ 0  3y2–6y + 3 ≤ 4  3(y - 1)2≤ 4 Do vai trò của x và y trong đẳng thức (1) như nhau Vậy ta có: (x - 1)2≤ 3 Bài 13: Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = xy – x + 2y . Chứng minh rằng; 4 − 2 3 2 3   x 3 3 13 Lop8.com.vn

14. Giải: Ta có x2 + y2 = xy – x +2y  y2– (x + 2)y + x2 + x = 0 (*) Ta xem (*) là phương trình bậc hai ẩn số y. Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ = (x + 2) 2– 4(x2+ x) ≥ 0 − 2 3 2 3 4  3x2≤ 4  x2≤ 3   x 3 3 Bài 14: Cho x ≥ 1 ; y ≥ 0 thỏa mãn: − + − = 2 1 1 y x x y Chứng minh rằng 125 x 3 64 Giải: 125(đúng) + Nếu x = 1 thì y = 0, ta có: x3 = 1 < 64  + Nếu x > 1, ta có: (*) − + − = . 1 − − + − = 2 2 1 1 1 0 y x x y x y y x Xem (*) là phương trình bậc hai với ẩn số y. Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi: 5 ∆ ≥ 0  1 – 4(x -1) ≥ 0  1 –4x + 4 ≥ 0 x ≤ 4 5 x3≤ 64 125 Với 1 ≤ x ≤ 4 Bài 15:Cho các số thực x, y, z ≠ 0 thỏa mãn điều kiện: + + yz =  x y z xyz  = 2 x  Chứng minh rằng: x2≥ 3. Giải:  + + yz = + = x − = − 3  x y z xyz y z xyz x x x   Ta có:  = 2 = 2 x yz  Vậy các số y, z là nghiệm của phương trình: 14 Lop8.com.vn

15. t2 - (x3 - x)t + x2 = 0 (*) Do tồn tại x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán nên phương trình (*) có nghiệm  −  − 2 1 2 x ∆ = (x3 - x)2– 4x2≥ 0  (1 – x2)2≥ 4 (do x ≠ 0)    2 3 x   −  2 1 2 x Bài 16:Cho các số thực x, y thỏa mãn 9x2 + y2= 1. Tìm giá trị lớn nhất của x− biểu thức y Giải: Đặt A = x – y  y = x – A. Ta có: 9x2 + y2 = 1  9x2 + (x - A)2 = 1  10x2– 2Ax + A2– 1 = 0 (*) Do tồn tại x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán nên phương trình (*) có nghiệm 10 10 ∆’= -9A2+ 10 ≥ 0  9A2≤ 10  A2    A 9 3   1 = x    3 10  −  3  = y  + = 2 2 9 1 x y     + = 2 2 10 9 y 1  x y  Dấu “=” xảy ra   x   1  = − − − = 9  x 1 ( ) x y   = x 10    3 10   3  = y     10 10 Vậy: max − y = x 3 Bài 17: Cho a, b là hai số thỏa mãn a2 + 4b2= 1. Chứng minh rằng 5 −b  a 2 Giải: Đặt a – b = x => a = x + b. Thay a = x + b vào a2 + 4b2= 1 ta được: 15 Lop8.com.vn

16. (x + b)2 + 4b2 = 1  x2 + 2bx + b2 + 4b2 = 1  5b2 + 2bx + x2– 1 = 0 (*) Xem (*) là phương trình bậc hai ẩn b. Phương trình (*) có nghiệm ∆’ ≥ 0 5 5  - 4x2+ 5 ≥ 0  x2≤  x  4 2 5 Vậy −b  a 2 Các bài tập tương tự 1) Chứng minh với mọi a, b, c ta có a 4 + +  − + 2 2 bc 2 b c ab ac a. b. a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c 2) Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn   2 ; 1 − thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh: a2 + b2 + c2≤ 6 3) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: a. a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) b. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca * Nhận xét : từ bài toán 11ta khai thác và đặt ra bài toán mới Bài toán 18:Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + 5y2 + 2z2– 4xy - 2yz - 2z + 1(1) Giải: (1)  A = x2– 4xy + 5y2 + 2z2– 2yz - 2z + 1 ∆’ = 4y2– 5y2– 2z2 + 2yz + 2z – 1 = -(y - z)2– (z - 1)2≤ 0 với mọi y, z A ≥ 0 với mọi x, y, z  min A = 0  x = 2, y = z =1 Từ bài toán 13 ta đặt ra bài toán mới khá thú vị như sau: 16 Lop8.com.vn

17. Bài toán 19:Tìm giá trị lớn nhất của x =x B 2+ 1 Bài toán này sử dụng kiến thức lớp 8 nhiều em khá giỏi cũng có thể biến đổi phân thức và tìm được GTLN của B. Tuy nhiên nếu giải bằng biệt thức Delta thì bài toán trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn nhiều, nhiều em HS trung bình cũng có thể làm Giải: Biến đổi biểu thức về dạng phương trình bậc hai ẩn x, xem B như một tham số x =x B 2+ 1  (x2 + 1)B = x  Bx2– x + B = 0 (1) - Nếu B = 0  x = 0 - Nếu B ≠ 0 ta có : ∆ = 1 – 4B2 Để B có GTLN thì phương trình (1) phải có nghiệm x 1 1 1 ∆ ≥ 0  1 – 4B2≥ 0  B2 ≤ 4 −   B 2 2 1 x = 1 Vậy maxB = 2 * Như vậy càng khám phá ta lại thấy được biệt thức Delta còn ứng dụng để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN, tìm miền giá trị của hàm số Dạng 4:TÌM GTLN, GTNN, TÌM MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ PP chung để giải: - Giả sử cho trước hàm số: y = f(x) ta xét phương trình f(x) = a. Phương trình này có nghiệm khi a thuộc miền giá trị của hàm số. Như vậy ta đã chuyển bài toán về dạng tam thức bậc hai, và công cụ để giải chính là biệt thức Delta. 17 Lop8.com.vn

18. Bài toán 20:Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: − + 2 1 x x = A + + 2 1 x x Chuyển bài toán về dạng đơn giản và sử dụng biệt thức Delta ta có − + 2 1 x x (1) đặt = a + + 2 1 x x Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình ẩn x có nghiệm. Do x2+ x + 1 ≠ 0 nên (1)  ax2 + ax +a = x2– x +1  (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2) Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 Trương hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là ∆ ≥ 0  (a + 1)2– 4 (a - 1)2≥ 0  (a + 1 + 2a - 2)(a + 1 –2a + 2) ≥ 0  (3a –1 )(a + 3) ≥ 0 1/3 ≤ a ≤ 3 (a ≠ 1) Với a = 1/3 thì x = 1 hoặc a = 3 thì x = - 1 Kết luận: gộp cả hai trường hợp (1) và (2) ta có min A = 1/3  x = 1 max A = 3  x = -1 Phương pháp giải như trên gọi là PP miền giá trị của hàm số.   1 là miền giá trị của hàm số A Đoạn 3 ; 3   Qua bài toán 20: Giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải. Muốn sử dụng biệt thức Delta làm công cụ ta cần chuyển bài toán về dạng liên quan đến tam thức bậc hai. Xét tiếp bài toán sau: 18 Lop8.com.vn

19. Bài toán 21:Tìm miền giá trị của hàm số x =x A 2+ 1 (Được sự hướng dẫn, giới thiệu của giáo viên, học sinh sẽ không bị bất ngờ trước bài toán này) giáo viên dẫn dắt học sinh, vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trìnhf(x) = a, bài toán được phát triển dưới dạng sau: Với giá trị nào của a thì phương trình: x (*) có nghiệm. = a +1 2 x Tiếp theo GV hướng dẫn học sinh chuyển phương trình (*) về dạng phương trình bậc hai ẩn x tham số a: ax2– x + a = 0 (1) Đến đây thì công việc trở nên quá đơn giản + Nếu a = 0 thì (1) có nghiệm x = 0 + Nếu a ≠ 0 ta xét phương trình bậc hai với ẩn là x ∆ = 1 – 4a2 = (1 – 2a)(1 + 2a) 1 1 Để (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0  (1 – 2a)(1 + 2a)  −   a 2 2 1 1 Vậy miền giá trị của A là: −   A 2 2 * Qua bài toán này GV dẫn dắt học sinh đưa đến bài toán mới Bài toán 22:Tìm GTLN, GTNN của x =x A 2+ 1 Từ bài toán 21HS dễdàng tìm ra kết quả bài toán 22 là maxA = 1/2 khi x = 1 minA = -1/2 khi x = -1 Từ bài tập 17 ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng Bài toán 23:Chứng minh rằng : 19 Lop8.com.vn

20. 1 1 x −   + 2 2 2 1 x Nếu chưa được làm bài 21thì gặp bài toán này HS sẽ rất lúng túng, xong với việc sử dụng biệt thức Delta và phương pháp miền giá trị của hàm số học sinh có thể dễ dàng giải quyết được kiểu bài trên Các bài tập tương tự: 1) Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau: − + 2 − + 2 2 2 x x 2 4 + 5 x x = = B A + + 2 2 2 2 x x 1 x − + 2 2 x xy y = C + + 2 2 x xy y 2) Tìm GTNN của biểu thức: A = (x + 2)(x + 3)(x + 4 )(x + 5) - 7 Bài tập bổ sung: I) Dạng 1 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1) x2 + 2y2 - 2xy + 2y – 4x + 5 = 0 2) x2– 4xy + 5y2– 2y + 1 = 0  − + = 2 2 4 1 x xy y  3)  − = 2 3 4 y xy II) Dạng 2 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau 1) 4xy – y + 4x – 2 = 9x2 2) x2y2– y2 – 2y + 1 = 0 3) y2– 2xy + 5x2 = x +1 4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) 20 Lop8.com.vn

21.  + + y = 3 x y z   + + = 2 2 2 1 x z Dạng 3: 1) Chứng minh với mọi a, b, c ta có a 4 + +  − + 2 2 bc 2 b c ab ac a. b. a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c 2) Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn   2 ; 1 − thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh: a2 + b2 + c2≤ 6 3) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: a. a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) b. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 3.3.2Giai đoạn 2 -Tiến hành thực nghiệm dạy học trên lớp với nhóm học sinh giỏi lớp 9A -Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoach dạy học của nhà trường và theo thời khóa biểu nhà trường phân công. 3.4 Đo lường Kết quả bài kiểm tra qua các lần khảo sát đội tuyển do nhà trường tổ chức. 4.Phân tích dữ liệu kết quả * Khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn ngay cả bài tập số 1 là bài tập tương đối dễ mà hầu hết các em học sinh khá cũng không định hướng được cách giải quyết; các bài tập còn lại các em hoàn toàn bế tắc. có những bài, câu hỏi tưởng chừng như không đúng với phần lý thuyết được học như bài 3, bài 9, bài 10, bài13 học sinh không thể làm được. và khi giáo viên chữa bài thì cũng rất khó khăn bởi phải diễn giải rất nhiều mới có được kiến thức sử dụng biệt thức Delta dẫn tới học sinh khó tiếp thu, sợ những bài tập như vậy. * Sau đó tôi nghiên cứu sắp xếp hệ thống các bài tập như đã trình bày trên đây, áp dụng cho học sinh thì thấy học sinh hiểu bài hơn, say mê học hơn với các bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, phương trình và hệ 21 Lop8.com.vn

22. phương trình nghiệm nguyên…Và do đó, các em tự mình giải quyết được các bài tập. Đồng thời phần trình bày của các em ngắn gọn, dễ hiểu, dễ ghi. * Ngoài các bài tập tôi đã đưa raở trên còn nhiều bài tập nữa, thấy các em áp dụng tốt đặc biệt có em trình bày lời giải ngắn gọn, xúc tích, dễ theo dõi,.. góp phần rèn KN giải toán, năng lực hoạt động trí tuệ cho học sinh. Học sinh không còn hiểu vấn đề theo kiểu máy móc, dập khuân. Vì không có điều kiện trình bày hết tất cả các bài tập, chuyên đềchỉ đưa ra các VD tiêu biểu để minh họa. 5. Bàn luận. Như trên tôi đã đặt vấn đề học sinh trung học còn ở lứa tuổi thiếu niên nên việc tư duy, khả năng khái quát hóa của các em còn rất hạn chế. Do đó để giải các bài tập khó là cả một công việc nặng nề đối với các em nhất là các bài tập về bất đẳng thức. vì vậy đòi hỏi ở người giáo viên một sự đầu tư lớn trong việc nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao. Từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập tư duy, khái quát hóa những kiến thức. Từ đó mà năng lực trí tuệ của các em được rèn luyện và nâng cao. Trong chương trình học không phải nội dung kiến thức nào cũng có lý thuyết bổ sung nằm tiềm ẩn bên trong như bài biệtthức Delta. Điều quan trọng hơn cả là ở tâm huyết của người giáo viên đối với nghề nghiệp. Chỉ qua một ví dụ về sử dụng biệt thức Delta ta thấy đã rút ra nhiều điều bổ ích cho việc giải bài tập về bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, giải phương trình hệ phương trình có nghiệm nguyên… Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thì chắc chắn kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao, đào tạo được nhiều nhân tài cho đất nước. Đó chính là đích cuối cùng của nghề dạy học. 6.Kết luận vàkiến nghị * Kết luận Qua phần trình bày trên đây, ở nhiều bài tập: giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhiều hàm số, giải bất đẳng thức…chúng ta thấy được việc sử dụng sáng tạo biệt thức Delta để giải quyết nhanh gọn các dạng toán trên một cách dễ dàng và đặc biệt là giúp cho học sinh có thể hiểu sâu hơn về kiến thức cụ thể là dấu của tam thức bậc hai. Những bài tập này giúp cho học sinh rèn tư duy và kỹ năng biến đổi, áp dụng các kiến thức đã biết. * Kiến nghị Qua một số bài tập và dạng toán trong chuyên đề tôi nhận thấy : nếu mỗi giáo viên tâm huyết với nghề, tận tâm vì học sinh của mình thì sẽ có những chuyên đề sát thực và bổ ích nhằm thúc đẩy khả năng tư duy khả năng tự học và phát triển tư duy tốt hơn ở mỗi học sinh. Qua chuyên đề tôi nhận thấy mỗi giáo viên có thể xây dựng cho mình một 22 Lop8.com.vn

23. số chuyên đề thiết thực, cụ thể, phù hợp để giảng dạy được hiệu quả hơn. Phòng giáo dục thường xuyên tổ chức các chuyên đề chuyên môn, phù hợp, hiệu quả, thúc đẩy sự cố gắng trong giáo viên về giảng dạy theo chuyên đề. Nên có các đợt tập huấn về giảng dạy theo chuyên đề kiến thức, theo dạng bài để giáo viên giảng dạy có hiệu quả hơn. Với năng lực chuyên môn có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tôi viết chuyên đề này mong được đóng góp phần nhỏ vào việc đổi mới phương pháp dạy học, việc nâng cao khả năng tự học và giải toán của học sinh, biến những bài toán khó, phức tạp về các dạng cơ bản và quen thuộc có thể áp dụng kiến thức về biệtthức Delta để giải quyết nhanhgọn. Tuy chuyên đề đã được xem xét và ứng dụng xong cũng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong được sự góp ý của các cấp chỉ đạo chuyên môn, các bạn đồng nghiệp giàu kinh nghiệm, bạn đọc chuyên đề bổ sung góp ý chân thành để chuyên đề được hoàn thiện và ứng dụng nhiều hơn! 7.Tài liệu tham khảo - 23 Chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Hồng ) - Nâng cao và phát triển Toán 9 ( Vũ Hữu Bình ) - Sách giáo khoa,sách giáo viên, sách bài tập Toán 9 –tập 2 ( NXBGD) - Trọng điểm đại số 9 ( Ngô Long Hậu –Trần Luận ) - Tuyển chọn 400 bài toán 9 ( Phan Thế Thượng ) - Tuyển chọn 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ. 8.Phụ lục Tiết dạy thực nghiệm. Chấn Hưng ngày 28/12/2017 Giáo viên báo cáo Hà Minh Tâm 23 Lop8.com.vn

24. 24 Lop8.com.vn