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Transitions de phase en dimensions fractales. * Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS * Université d’Evry-Val d’Essonne. Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon.

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transitions de phase en dimensions fractales

Transitions de phase en dimensions fractales

*Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS

* Université d’Evry-Val d’Essonne

slide2

Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon

Irradiation d’un multicouche Ni-W par des ions Xe+

slide3
Description des fractals de Sierpinski et modèles
  • Simulation Monte-Carlo et analyse en tailles finies
  • Renormalisation Monte-Carlo
  • Ralentissement critique et amas de Wolff
  • Modèle de Potts
  • Percolation
slide4

Fractals de Sierpinski (et Menger)

  • Cellule génératriceSPg(ld,Noc, 1)
  • Nocsites occupés dans un carré ou un cube de côté l
  • Invariance d’échelle:Processus itératifetdilatations

SPb(33,18,1)

slide5

k étapes d’itération  Réseau SPg(ld,Noc, k)

  • Taille L=lk
  • Nombre de sites Nock=LDf
  • Dimension de Hausdorff
  • Paramètres topologiques additionnels
  • Degré de ramification, connectivité, lacunarité
slide6

Modèles

Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins

  • Spins d’Ising ou de Potts à q états placés aux sites de fractals de Sierpinski déterministes

•Fractals de degré de ramification infini Le modèle d’Ising présente une transition du second ordre para-ferro magnétique à Tc 0

renormalisation dans l espace direct

Construction de la structure fractale

  • Fluctuations géométriques multi-échelles fonctions de corrélation à deux points spin-spin dépendantes de la position
Renormalisation dans l’espace direct

Symétrie d’échelle discrète Tailles simulées :L=lk

Structure de la cellule génératrice présente à tous les ordres de grandeur

propri t s topologiques d pendantes de l tape d it ration k de la structure
Propriétés topologiques dépendantes de l’étape d’itération k de la structure

k

Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisinszg(ld,Noc, k)

par rapport à sa limite thermodynamiquezg(ld,Noc,)

simulation monte carlo en situation canonique
Simulation Monte-Carlo en situation canonique

ALGORITHMES DE “CLUSTER’’

(Wolff, Swendsen-Wang)

  • Réduction du ralentissement critique
  • Traitement des données des simulations

METHODE DES HISTOGRAMMES

slide10

Analyse en tailles finies

•Comportement asymptotique de la longueur de corrélation x~|t|-n où t =(T- TC)/TC

•Hypothèse d’homogénéité f(t,h)=b-Dff(tbyt,hbyh )

slide11

 Calcul de nPics des dérivées logarithmiques

Calcul de TC Position des pics Fnmax

Calcul de TC sans nPoint fixe du cumulant :

Calcul de (b/n) et (g/n)

Autre calcul de (g/n) Pic de susceptibilité :

slide12

SPa(52,24)Df ~ 1.975

2.06604

2.06616

2.06660

2.06602

slide17

Renormalisation Monte-Carlo

• Calcul de la matrice[T (n)]

•Flot

•Linéarisation du Flot

• Calcul des deux plus grandes valeurs propres lt(n) et lh(n) de [T (n)] dans chaque sous espace

slide18

yt=1/n <0.525

lt=3 yt

yt

n

Nombre de couplages

SPa(3,8)

slide19

yh=1.82(1)

Analyse en tailles finies : g/n=1.732(2)

2yh=Df+g/n

lh=3 yh

yh

n

Nombre de couplages

slide20

Corrections d’échelleEcarts aux lois de puissances Lx(1+aL-w+…)

  • Dépendantes de la grandeur physique et de Df
  • Dépendantes de la topologie du fractal
  • Importantes lorsque Df décroît de 2 vers 1
  • Peu importantes pour 2.5 < Df < 3
  •  Sans effet sur cmax(L) Valeur précise de (g/n)
  • Liées à la convergence à la limite thermodynamique

Relation d’hyperscaling Satisfaite avec la dimension de Hausdorff

slide21

Développements en e Exposants g et n en désaccord : Brisure de la symétrie de translation

FRACTALS  UNIVERSALITE FAIBLE

ralentissement critique

Lois d’échellesdynamiques t = LzFt(tL1/n)

à TC

Ralentissement critique
  • Fonction d’autocorrélation de la grandeur A
  • Erreur statistique sur <A>

tA : Temps d’autocorrélation intégré

algorithme de wolff

1) Tirage d’un site i du réseau au hasard

Algorithme de Wolff
  • 2) Addition de sites j, premiers voisins de i, à l’amas avec la probabilité :
  • 3)Répétition de l’étape 2) pour chacun des sites venant de rejoindre l’amas
  • 4) Répétition de l’étape 3) jusqu'à « épuisement »
  • 5) Retournement en bloc de tous les sites de l’amas
  • 6) Retour en 1)
slide24

nième pas Monte-Carlo

(n+1)ième pas Monte-Carlo

« Tension de surface » de l’amas

2|En+1 -En |

« Nombre de sites » de l’amas

2|Mn+1 -Mn |

slide25

Fonctions d’autocorrélation de l’aimantation à TC

SPa(32,8)

Df ~ 1.893

SPa(52,24)

Df ~ 1.975

CM(n)

CM(n)

n

n

slide26

k=5

Plusieurs temps caractéristiques  Calcul de tEà partir d’un fit de <CE(n)> sur une base restreinte :

Calcul de temps d’autocorrélation

distributions de probabilit des tailles des amas de wolff t c
Distributions de probabilité des tailles des amas de Wolff à TC

SPa(52,24), Df 1.975

SPa(43,56), Df 2.904

invariance d chelle des distributions de probabilit des tailles des amas
Invariance d’échelle des distributions de probabilité des tailles des amas

Pk(s)= Pk-1(sl -yh )=Pk-1(s / l(b/n+g/n))

loi d chelle de la tension de surface moyenne des amas t c
Loi d’échelle de la “tension de surface’’ moyenne des amas à TC

Pour L‘‘assez grand’’:<|DE|>~LSw

invariance d chelle des densit s de probabilit de tension de surface
Invariance d’échelle des densités de probabilité de “tension de surface”

De l’étape k à l’étape k-1: P S(|DE|)= l -dSP S(|DE|l -ys)

slide32

P (s)= b -DfP (sb -yh)

<s>~Lg/n

Tailles

2yh= Df+g/n

P S(|DE|)= b -dSP S(|DE|l -ys)

<|DE|>~LSw

2yS= dS+Sw

dS = Df-1

Conjecture

Tempsde fluctuations statistiques

<|DE|2 >=2(<E2> -<E>2)(1-CE(1))

2Sw +2ZEWSF2/n

Tensions de surface

ZMWSF Df - g/n

mod le de potts ferromagn tique q tats de spin
Modèle de Potts ferromagnétique à q états de spin
  • Réseaux invariants par

translation  Ordre de

la transition dépendant de

q et d

Valeur critique qc(d)

  • Désordre : champ pertinent dans certaines conditions
ordre de la transition

Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre (Meyer-Ortmanns et Reisz)

Ordre de latransition

Distribution de probabilité de l’énergie à la transition

SPa(3,8)

mod le de potts 3 tats sur sc a 3 8

Transition du second ordre

  • Corrections d’échelle plus fortes que pour Ising
  • Pas de corrections sur cmax(L)

Valeur précise de (g/n)

  • Bornes pour les autres exposants 

Dfcompatible avec la relation d’hyperscaling

 On peut différencier les deux ‘‘classes’’ d’Ising et de Potts

Modèlede Potts à 3 étatssur SCa(3,8)
slide36

Transition de percolation

  • Distribution de taille
  • des amas ns(L,p)
  • Moments de ns(L,p)

Recherche des pics des moments (2  k) et calcul de leur largeur Algorithme de Newmann-Ziffs

slide37

Maxima des moments Mkmax(L)~L- yk/n

  • yk/n= (Df - kDfp) Dfp=1.828 pour SCa(32,8)
  • Dfp=1.766 pour SCa(42,12)

M2max

SCa(32,8)

Mk(L,p)=l -yk/n Mk(L/l,p*)

p -pck(L)= l -1/n(p*- pck(L/l))

2

Largeurs des picsDpk(L) ~L-1/n

perspectives
Perspectives
  • Diagramme de phase du modèle de Potts
  • Transport anormal et systèmes non linéaires
  • Vieillissement d’une particule Brownienne