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通訊原理 第二章 訊號與線性系統. 大綱. 2.1 訊號模型 (Signal Models) 2.2 訊號分類 (Signal Classifications ) 2.3 廣義轉換 (Generalized Transformation) 2.4 傅利葉級數 (Fourier Series ) 2.5 傅利葉轉換 (Fourier Transform) 2.6 功率頻譜密度和相關函數 (Power Spectral Density and Correlation Function)

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Presentation Transcript
slide1

通訊原理第二章 訊號與線性系統

第二章 訊號與線性系統

slide2
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide3
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

  • 單位步階訊號
  • 單位脈衝訊號
  • 弦波訊號
  • 指數訊號

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation

Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass

Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide4
單位步階訊號
  • 單位步階訊號(unit step signal)以單位步階函數(unit step function or Heaviside unit function)表示之,單位步階函數定義為:

第二章 訊號與線性系統

slide5
單位脈衝訊號
  • 單位脈衝訊號(unit impulse signal)以單位脈衝函數(unit impulse function or Dirac delta function)表示之,單位脈衝函數定義為:
  • 原始的單位脈衝函數之物理意義

第二章 訊號與線性系統

slide6
單位脈衝訊號(續)
  • 單位脈衝函數之圖示
  • 單位脈衝訊號在積分式之運算

第二章 訊號與線性系統

slide7
弦波訊號
  • 弦波訊號(sinusoidal signal)表示為:

已知弦波訊號是週期訊號(稍後討論),其週期為T0。

A:振幅峰值(peak amplitude)

w0或 f0:基本頻率(fundamental frequency),簡稱頻率。

θ:相位(phase)

第二章 訊號與線性系統

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弦波訊號(續)
  • 給定振幅峰值、頻率及相位三個參數則表示給定了一個弦波訊號。

第二章 訊號與線性系統

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弦波訊號之相位與延遲
  • 考量弦波訊號 延遲(delay) 後可表示為:

訊號x(t)與xd(t)在時間差所造成的效應相當於相位角相差 ;換言之,兩正弦訊號之相位差為 時,代表此兩正弦訊號之時間延遲(time delay)為。

第二章 訊號與線性系統

slide10
弦波訊號之頻率與角頻率
  • 弦波訊號中的兩個頻率符號 和 ,其中 稱為基本角頻率(fundamental angular frequency),單位是弳度/秒(rad/sec);而 稱為基本頻率(fundamental frequency),單位是赫茲(Hz)或1/sec。這兩個頻率之間存在一個常數倍2,即 。

第二章 訊號與線性系統

slide11
弦波訊號與其單邊頻譜

振幅

A

f0 頻率 f

相位

f0 頻率 f

  • 餘弦函數表示弦波訊號:
  • 弦波是一個單頻訊號,可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 那一點。
  • 橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法,就是所謂的頻譜(spectrum),此種將訊號頻譜只表示於正頻率(分佈於f 0之繪圖稱為單邊頻譜(single-sided spectrum))。因為單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率f0那一點,所以頻譜繪圖時以脈衝訊號表示。

第二章 訊號與線性系統

slide12
一般複指數訊號
  • 一般複指數訊號(general complex exponential signal)表示為:

其中使用了歐拉公式: 。訊號x(t)的實部: 與虛部: 之振幅是指數遞增(當 )或遞減(當 )的弦波訊號。

第二章 訊號與線性系統

slide13
複指數訊號
  • 複指數訊號(complex exponential signal)為:
  • 以上複指數訊號為一週期訊號,其基本週期為
  • 更完整的關係式可表示為 :
  • A:振幅
  • w0或 f0:基本頻率 (簡稱頻率)
  • θ:相位

第二章 訊號與線性系統

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複指數訊號之旋轉向量表示法
  • 一複指數訊號 可以看成長度A的線段以定角速度逆時針繞原點旋轉,如下圖所示,其中 是t = 0時的相位(相角),或稱為初始相位(initial phase)。

第二章 訊號與線性系統

slide15
複指數訊號之旋轉向量表示法(範例)
  • 以旋轉相量表示法描述3個不同的複指數訊號。

第二章 訊號與線性系統

slide16
弦波訊號與其雙邊頻譜
  • 利用歐拉公式(Euler formula)將弦波訊號改寫成複指數型式:
  • 以複指數之相關參數繪製頻譜,可得雙邊頻譜(分佈於f = 0之兩側)。

第二章 訊號與線性系統

slide17
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

  • 連續時間訊號與離散時間訊號
  • 類比訊號與數位訊號
  • 週期訊號及非週期訊號
  • 奇訊號及偶訊號
  • 定型訊號及隨機訊號
  • 功率訊號及能量訊號

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation

Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass

Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide18
連續時間訊號與離散時間訊號
  • 連續時間訊號(continuous-time signal):連續時間訊號以函數x(t)表示之,其中t是連續時間變數。
  • 離散時間訊號(discrete-time signal) :離散時間訊號只定義在離散的時間點上,一般以離散時間變數n的序列(sequence)x[n]表示之,其中變數n為整數。

離散時間訊號的例子

連續時間訊號的例子

第二章 訊號與線性系統

slide19
連續時間訊號與其取樣訊號
  • 取樣(sampling) :連續時間訊號x(t)在離散時間點 的函數值

稱為x(t)的取樣(samples),由取樣組成的離散時間訊號以序列形式表示:

第二章 訊號與線性系統

slide20
類比訊號與數位訊號
  • 類比訊號(analog signal):訊號之振幅大小(強度)用任意區間[a, b]之連續數值描述之連續值訊號(continuous-valued signal),其中a和b可以分別為和。
  • 數位訊號(digital signal):訊號之振幅大小用離散(或有限個數)數值描述之離散值訊號(discrete-valued signal)。

第二章 訊號與線性系統

slide21
週期訊號及非週期訊號
  • 週期訊號(periodic signal):連續時間訊號x(t)滿足條件
  • 非週期訊號(nonperiodic or aperiodic signal):任何不滿足上述週期特性的連續時間訊號x(t) 。
  • 連續時間訊號週期特性可表示成

所有t及任意正整數m

T0為週期訊號x(t)的基本週期(fundamental period) ,f0 =1/T0稱為基本 頻率(fundamental frequency) 。

  • 離散時間訊號x[n]的週期特性可表示成

N0為週期序列x[n]的基本週期。

第二章 訊號與線性系統

slide22
週期訊號的例子

(a) 連續時間週期訊號的例子

(b) 離散時間週期訊號的例子

第二章 訊號與線性系統

slide23
奇訊號及偶訊號
  • 偶訊號(even signal):訊號x(t)或序列x[n]滿足條件
  • 奇訊號(odd signal):訊號x(t)或序列x[n]滿足條件

一個偶訊號的例子

一個奇訊號的例子

第二章 訊號與線性系統

slide24
訊號表示成奇訊號與偶訊號之和
  • 訊號可以表示成一個奇訊號與偶訊號之和

其中

第二章 訊號與線性系統

slide25
定型訊號及隨機訊號
  • 定型訊號(deterministic signal)是在任何給定時間其數值是可預知的,也就是說定型訊號可用已知的函數加以描述或表示。
  • 有些訊號在任何給定時間的數值是隨機而不可預知,此種不能用已知的數學式描述而必須用機率及統計特性描述的訊號稱為隨機訊號(random signal)。
  • 給定一訊號可表示為

若w0與是常數則x(t)是定型訊號(給定任意t值皆可預知x(t)值)。反之,若w0是常數,而 =/3或  =/3的機率各半,此情況下的x(t)則為隨機訊號(即使給定t值,我們也無法預知x(t)值,因為無法預知)。

第二章 訊號與線性系統

slide26
訊號之功率與能量
  • 任意連續時間訊號x(t)的總能量(total energy) E及平均功率(average power) P分別定義為:
  • 離散時間訊號x[n]的總能量E及平均功率P分別定義為:

第二章 訊號與線性系統

slide27
功率訊號及能量訊號
  • 訊號x(t)的總能量E有定義而且為有限值,亦即 ,那麼此訊號稱為能量訊號。
  • 如果訊號x(t)的平均功率P有定義而且為有限值,亦即

此訊號則稱為功率訊號。

  • 假如一訊號不符合上述能量及功率特性,則此訊號既非能量訊號也非功率訊號 。
  • 訊號

其總能量為

因為x(t)的總能量有限,亦即 ,此訊號為能量訊號。

第二章 訊號與線性系統

slide28
功率訊號及能量訊號(續)
  • 一週期為T0的週期訊號

其平均功率為

因為x(t)的平均功率值有限 ,亦即 ,此訊號為功率訊號。

  • 訊號

其總能量為

其平均功率為

x(t)的總能量和平均功率皆為,因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號。

第二章 訊號與線性系統

slide29
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide30
正交基底函數
  • 給定一組訊號 ,若其中任何兩個訊號 和

滿足下列條件 :

則稱此組訊號 在區間 正交(orthogonal)。

  • 若將每一個函數 的大小皆為1,即上式 = 1,稱 被正規化(normalized) 。
  • 一組正規化正交函數稱為規一正交基底組(orthonormal basis set)。
  • 複指數 在任意週期區間 正交。

第二章 訊號與線性系統

slide31
訊號之廣義級數表示
  • 一T0秒區間(t0 ,t0+T0 )訊號x(t)可以用規一正交基底組:

表示成

  • Parseval定理

第二章 訊號與線性系統

slide32
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide33
傅利葉級數觀念與表示方式
  • 任何週期訊號 x(t) 可由不同的振幅、頻率和相位之弦波所組成,這便是傅利葉級數要陳述的觀念。傅利葉分析可證明一基本頻率為f0的週期訊號可以表示成一傅利葉級數,數學上對可以表示成傅利葉級數之訊號有以下嚴謹的限制條件:
    • 在任意週期內為絕對可積分,即 。
    • 任意有限時間區間內, x(t)極值(包括極大與極小)的個數有限。
    • 任意有限時間區間內, x(t) 不連續點的個數有限且這些不連續點也必須有限值。
  • 傅利葉級數有以下三種表示式:
    • 複指數傅利葉級數(complex exponential Fourier series)
    • 三角傅利葉級數(trigonometric Fourier series)
    • 諧波型式傅利葉級數(harmonic form Fourier series)

第二章 訊號與線性系統

slide34
複指數傅利葉級數
  • 一個基本頻率為 f0的週期訊號可表示成複指數傅利葉級數:

其中

稱為複數傅利葉係數,係數計算式中 表示積分一個週期,積分上下限最常用0到 或 到 。

  • 當n = 0 時係數為:

係數c0代表訊號在一個週期內的平均值,因為是週期訊號,一個週期內的平均值也就是整個訊號的平均值,此平均值表示訊號的直流成份(dc component)。

  • 若x(t)是實數週期訊號,那麼可得:

其中 * 代表複數共軛(complex conjugate)。

第二章 訊號與線性系統

slide35
三角傅利葉級數
  • 一個基本頻率為f0的週期訊號也可表示成所謂的三角傅利葉級數:

其中

第二章 訊號與線性系統

slide36
三角傅利葉級數(續)
  • 利用歐拉公式可以很容易找出複指數傅利葉級數與三角傅利葉級數之間係數的關係,可得係數關係式:

若週期訊號為實數,可知 與 為實數,且

因此可得:

第二章 訊號與線性系統

slide37
三角傅利葉級數(續)
  • 若週期訊號為偶函數,三角傅利葉級數簡化成:
  • 若週期訊號為奇函數,三角傅利葉級數簡化成:

第二章 訊號與線性系統

slide38
諧波型式傅利葉級數
  • 諧波型式傅利葉級數:

其中 代表週期訊號的直流成份; 稱為週期訊號的基本成份(fundamental component),因為這一項與 有相同基本頻率; 稱為週期訊號的第n次諧波成份(the nth harmonic component), 稱為諧波振幅(harmonic amplitudes)以及 稱為相角(phase angle)。

第二章 訊號與線性系統

slide39
傅利葉級數物理意義解析
  • 觀察前述週期訊號的傅利葉級數表示式,綜合整理並說明幾個重點或所代表的物理意義如下:
    • C0 = c0 = a0/2 代表週期訊號的直流成份,即週期訊號的平均值。
    • 基本頻率f0之週期訊號可分解成不同頻率之成份,或是說由不同頻率成份可組成此週期訊號,其中每一個頻率成份都是單頻的弦波(或複指數)型式,其頻率分別是的f0整數倍。這個最小頻率f0稱為此週期訊號之基本頻率。其他的整數n倍頻率稱為諧波(harmonics) ,即稱為n次諧波,例如 3f0稱為3次諧波。
    • 週期訊號的週期與其基本頻率成份這個弦波的週期相等。
    • 雖然列述三種傅利葉級數表示式,其實這三種表示式都是互相等效的(可以互相轉換得到),複數型式最具一般性,而且計算較簡易。

第二章 訊號與線性系統

slide40
週期訊號的功率分析
  • 週期 為的週期訊號之平均功率計算式:
  • 若將此週期訊號表示成複指數傅利葉級數,上述平均功率計算式可改寫成:

上式推導用到複數共軛、積分 與加總運算互換

第二章 訊號與線性系統

slide41
週期訊號的功率分析(續)
  • 傅利葉級數的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式(Parseval identity)
  • 將複指數與三角傅利葉級數的係數關係式代入上式,計算整理後可得到:

第二章 訊號與線性系統

slide42
週期訊號的雙邊頻譜分析
  • 將基本頻率f0之週期訊號展開成複指數傅利葉級數改寫為:

繪出 對應頻率圖以及 對應頻率圖,分別稱為週期訊號的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜(phase spectrum) 。

  • 因為n為整數,所以週期訊號的振幅頻譜和相位頻譜是離散的(只分佈在頻率nf0的地方),此種頻譜歸類於離散頻譜(discrete frequency spectra)或線形頻譜(line spectra)。
  • 如果週期訊號是實數,那麼可知 ,因此

這個式子說明實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數,而相位頻譜是奇函數。

第二章 訊號與線性系統

slide43
週期訊號的單邊頻譜分析
  • 當週期訊號是實數時,基本頻率f0之週期訊號可展開成諧波型式傅利葉級數
  • 繪出Cn對應頻率圖以及n對應頻率圖,完成實數週期訊號單邊頻譜分析。同樣地,上述傅利葉級數分析可知實數週期訊號由弦波組成,其頻譜是呈現離散形式分佈。

第二章 訊號與線性系統

slide44
傅利葉級數範例
  • 一方波週期訊號x(t)之時域波形,其週期為T0(基本頻率為f0)

複指數傅利葉級數之係數:

第二章 訊號與線性系統

slide45
傅利葉級數範例(續)
  • 複指數傅利葉級數之係數改寫為
  • 此方波週期訊號表示成複指數傅利葉級數式展開式:
  • 三角傅利葉級數式展開式:

第二章 訊號與線性系統

slide46
傅利葉級數範例(續)

方波週期訊號之傅利葉級數分析

第二章 訊號與線性系統

slide47
傅利葉級數範例(續)

方波週期訊號之傅利葉級數分析(續)

第二章 訊號與線性系統

slide48
傅利葉級數範例(續)
  • 時域上計算平均功率:
  • 以複指數傅利葉級數計算平均功率

根據Parseval等式,上述兩種結果要相等,得到一個無窮序列和之公式,即

第二章 訊號與線性系統

slide49
傅利葉級數範例(續)

(a) 振幅頻譜

方波週期訊號之雙邊頻譜

(b) 相位頻譜

第二章 訊號與線性系統

slide50
傅利葉級數範例(續)
  • 實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數,而相位頻譜是奇函數。如果傅利葉級數展開式各成份之相位 只是0、 或 時,cn為實數,因此各成份之相位以正負號方式呈現在cn,此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖,即繪出cn對應頻率圖。

第二章 訊號與線性系統

slide51
傅利葉級數範例(續)
  • 頻譜是一個訊號頻率的涵蓋範圍。頻譜的寬度是訊號的絕對頻寬(absolute bandwidth),以前頁頻譜圖為例並假設 以後皆為0,那麼訊號的絕對頻寬是 。有許多訊號的頻寬是無限大,但其大部分的能量侷限於相對窄頻帶內,此頻帶寬稱為有效頻寬(effective bandwidth)或簡單地稱為頻寬,下圖為數位廣播基頻訊號頻譜,有效頻寬約1.5 MHz。請特別注意到,頻寬計算只考慮正頻率部份,因為負頻率本質上與正頻率完全相同。

第二章 訊號與線性系統

slide52
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide53
從傅利葉級數至傅利葉轉換
  • 一個分佈在有限區間[aa] 的方形訊號代表一般的非週期訊號。同時令 訊號是將訊號重覆延伸產生的一個週期為T0的週期訊號xE(t),若將訊號 之週期變成無窮大,那麼此訊號就變成非週期訊號,其關係可描述成

第二章 訊號與線性系統

slide54
從傅利葉級數至傅利葉轉換(續)

其中

  • 週期訊號xE(t)之傅利葉級數的係數如下:

第二章 訊號與線性系統

slide55
從傅利葉級數至傅利葉轉換(續)
  • 週期增加係數大小減小;頻譜分佈漸密。

第二章 訊號與線性系統

slide56
從傅利葉級數至傅利葉轉換(續)
  • 週期增加係數大小減小;頻譜分佈漸密。

第二章 訊號與線性系統

slide57
從傅利葉級數至傅利葉轉換(續)
  • 延伸此一趨勢至極限 ,週期訊號 就變成非週期訊號,但是此時所有的傅利葉級數係數 ,這表示無法使用傅利葉級數來表示非週期訊號。直接觀察傅利葉級數之係數計算式亦可得到此結果。
  • 雖然傅利葉級數無法表示非週期訊號,但是我們可以由傅利葉級數推導得到一個適用於分析非週期訊號之工具,稱之為傅利葉轉換對(Fourier transform pairs),其中包括傅利葉轉換(Fourier transform)和逆傅利葉轉換(inverse Fourier transform)。

第二章 訊號與線性系統

slide58
傅利葉轉換對
  • 傅利葉轉換(Fourier Transform)與逆傅利葉轉換(Inverse Fourier Transform),分別用符號 和 表示其運算元:
  • 以上兩個轉換一起稱之為傅利葉轉換對(Fourier transform pairs),且兩者互為逆運算並表示成

第二章 訊號與線性系統

slide59
傅利葉轉換之條件
  • 數學上確保傅利葉轉換可以收斂的條件是:
    • 為絕對可積分,即
    • 任意有限時間區間內, 極值(包括極大與極小)的個數有限。
    • 任意有限時間區間內, 不連續點的個數有限且這些不連續點也必須為有限值。
  • 若允許脈衝訊號: 和 可以用於傅利葉轉換對的情況,許多訊號 (諸如常用的脈衝訊號、步階訊號、複指數、弦波訊號以及週期訊號)都可有其傅利葉轉換,這種傅利葉轉換稱為一般化傅利葉轉換(generalized Fourier transform)。

第二章 訊號與線性系統

slide60
傅利葉轉換範例-1
  • 方形脈波訊號(rectangular pulse signal) :
  • 計算傅利葉轉換

第二章 訊號與線性系統

slide61
傅利葉轉換範例-2
  • 之傅利葉轉換:
  • 利用 ,並將此式看成 的逆傅利葉轉換式,那麼這表示 ,其相對應的訊號 ,所以其傅利葉轉換表示成
  • 直接利用上述結果可得到 之傅利葉轉換

第二章 訊號與線性系統

slide62
傅利葉轉換範例-2(續)
  • 之傅利葉轉換
  • 之傅利葉轉換
  • 之傅利葉轉換

第二章 訊號與線性系統

slide63
傅利葉轉換範例-2(續)

第二章 訊號與線性系統

slide64
傅利葉轉換的特性

  • 線性(linearity) :
  • 時移(time shifting) :
    • 訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量 ,此變化量稱為傅利葉轉換的線性相位平移(linear phase shift)。
  • 頻移(frequency shifting) :
    • 訊號在時域乘上一複指數訊號 的程序稱為複數調變(complex modulation),此複數調變程序在頻域的效果相當於將訊號頻譜在頻率軸上平移f0。

第二章 訊號與線性系統

slide65
傅利葉轉換的特性(續)

  • 時間比例調整(time scaling) :
    • 訊號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍,此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大 倍,同時振幅大小也縮小或放大 倍。訊號在時間軸壓縮( )則其頻譜會擴張,反之,訊號在時間擴張 ( )則其頻譜會壓縮。
  • 時間反轉(time reversal) :
  • 對偶(Duality) :

第二章 訊號與線性系統

slide66
傅利葉轉換的特性(續)

  • 時域微分(differentiation in the time domain) :
  • 頻域微分(differentiation in the frequency domain) :
  • 旋積(convolution) :
    • 前述特性為時域旋積定理(time convolution theorem),此定理說明在時域兩個訊號做旋積運算的效果相當於在頻域做相乘運算。在時域以旋積分析連續時間LTI系統,根據此旋積定理,運用傅利葉轉換將訊號與系統轉換至頻域可以簡單地以相乘運算方式分析連續時間LTI系統。

第二章 訊號與線性系統

slide67
傅利葉轉換的特性(續)

  • 乘積(multiplication) :
    • 頻域旋積定理(frequency convolution theorem),與時域旋積定理互為對偶。此定理說明兩個訊號在頻域做旋積運算,其效果相當於在時域做相乘運算。
  • 時域積分(integration in the time domain) :

第二章 訊號與線性系統

slide68
傅利葉轉換的特性(續)
  • 實數訊號 :一實數訊號可表示成

其中 和 分別是 的偶訊號部份與奇訊號部份,令 的傅利葉轉換可表示成

那麼可知

第二章 訊號與線性系統

slide69
傅利葉轉換的特性(續)
  • Parseval定理:
  • 訊號的正規化總能量為:
    • 上式稱為傅利葉轉換的Parseval定理或Parseval等式。與傅利葉級數的Parseval定理相同,傅利葉轉換的Parseval定理也說明連續時間訊號的正規化總能量可在時域使用,也可以在頻域用。因為在頻域計算訊號的能量 是將對所有頻率積分得到,因此稱為訊號的能量密度頻譜(energy density spectrum),同時上式也稱為能量定理(energy theorem)。

第二章 訊號與線性系統

slide70
訊號的能量或功率分析
  • 非週期訊號 的能量密度頻譜(energy density spectrum)
  • 週期訊號 的 可定義為的功率密度頻譜(power density spectrum),並表示成
  • 採用三角傅利葉級數表示週期訊號時,的功率密度頻譜也可表示成

第二章 訊號與線性系統

slide71
傅利葉轉換與訊號頻譜分析
  • 訊號 的傅利葉轉換 是複數型式,因此可表示成:
  • 以 對應頻率圖以及 對應頻率圖表示訊號的頻譜(spectrum),或稱為傅利葉頻譜(Fourier spectrum)。其中 對應頻率圖稱為 的強度頻譜(magnitude spectrum);而 對應頻率圖稱為 的相位頻譜(phase spectrum)。
  • 訊號是實數,那麼由傅利葉轉換定義式可得

因此

實數訊號的強度頻譜是偶函數,相位頻譜是奇函數。

第二章 訊號與線性系統

slide72
傅利葉轉換與訊號頻譜分析(續)
  • 週期訊號展開成傅利葉級數後,再將其傅利葉級數做傅利葉轉換得到
  • 將係數表示成 ,頻譜表示法為:

第二章 訊號與線性系統

slide73
傅利葉轉換與訊號頻譜分析之範例

訊號 :

傅利葉轉換為

第二章 訊號與線性系統

slide74
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide75
時間平均自相關函數與能量頻譜密度
  • 能量訊號x(t)的時間平均自相關函數(the time average autocorrelation function)定義為
  • 能量訊號x(t)的能量頻譜密度與其時間平均自相關函數是傅利葉轉換對:
  • 訊號能量

第二章 訊號與線性系統

slide76
時間平均自相關函數與功率頻譜密度
  • 功率訊號x(t)的時間平均自相關函數(the time average autocorrelation function)定義為

若具週期特性 上式簡化為

  • 功率訊號x(t)的功率頻譜密度與其時間平均自相關函數是傅利葉轉換對:
  • 訊號平均功率

第二章 訊號與線性系統

slide77
時間平均自相關函數特性
  • 在 = 0有相對最大值,即 。
  • 為偶函數,即 。
  • 訊號x(t)為週期T0的週期函數, 為週期T0的週期函數。
  • 的傅利葉轉換為非負函數,因為正規化功率不為負值。

第二章 訊號與線性系統

slide78
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide79
系統數學模型
  • 為達成某些特定功能或目的,由某些物件單元組成的物體稱為系統(system),可看成一種描述輸入訊號與輸出訊號之關係或過程的一種數學模型。x表示系統的輸入訊號,y表示系統的輸出訊號,那麼系統可看成某種轉換(transformation)或映射(mapping)將輸入訊號x轉換成輸出訊號y,以數學模型描述此轉換為

y = T [x]

第二章 訊號與線性系統

slide80
線性系統與非線性系統
  • 線性系統運算元T[] 符合以下特性:
    • 加成性(additivity) :若T[x1]=y1且T[x2]=y2則T[x1+x2]= y1+y2,任何x1及x2皆成立。
    • 一致性或等比例(homogeneity or scaling):若T [x] = y則 T [x] = y, 左式對於任何x及純量常數皆成立。

 整合成疊加特性(superposition property):

  • 若系統符合以上特性者稱為線性系統(nonlinear system)
  • 若系統不符合以上特性者稱為非線性系統(nonlinear system)。

第二章 訊號與線性系統

slide81
連續時間LTI系統響應
  • 一連續時間LTI系統的輸入為單位脈衝訊號時之輸出訊號稱為脈衝響應:
  • 任意輸入訊號的輸出響應(輸入訊號與脈衝響應之旋積運算):

第二章 訊號與線性系統

slide82
連續時間LTI系統之因果特性
  • 若一系統的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號有關,此系統稱為因果系統(causal system);反之,若輸出訊號與未來時間的輸入訊號有關,此系統即稱為非因果系統(non-causal system)。
  • 一連續時間LTI系統的脈衝響應表示系統的輸入訊號為(t),若此連續時間LTI系統具因果特性,那麼一定要符合以下條件:

(因為輸入訊號(t)表示只在t = 0時才有訊號輸入,因此在t = 0之前不能有輸出訊號。)

  • 一連續時間LTI系統若具因果特性時,系統的輸出入關係可表示成。

第二章 訊號與線性系統

slide83
連續時間LTI系統之穩定特性
  • 若一系統之輸入訊號的數值有限,其對應的輸出訊號值也有限,此種系統稱BIBO穩定系統,反之,輸入有限數值的訊號而輸出無限值之系統為不穩定系統。
  • 假定輸入訊號大小為有限值, ,輸出訊號值也有限

其條件為

第二章 訊號與線性系統

slide84
連續時間LTI系統的頻率響應
  • 利用傅利葉轉換的旋積特性(時域旋積定理),可將時域系統輸出響應轉換成頻域的表示式:

改寫成

其中函數H(f )稱為此系統的頻率響應(frequency response) 。

第二章 訊號與線性系統

slide85
連續時間LTI系統的頻率響應(續)
  • 系統輸出頻率響應表示成

其中|H(f )|稱為振幅響應函數(amplitude response function) 或強度響應(magnitude response);H(f)稱為相移函數(phase-shift function)或相位響應(phase response)。

  • 若系統脈衝響應為實數,則

第二章 訊號與線性系統

slide86
輸入週期訊號
  • 當系統的輸入是週期訊號時,將週期訊號表示成傅利葉級數:
  • 利用LTI系統之線性特性,可得到一個也表示成傅利葉級數的輸出訊號:

第二章 訊號與線性系統

slide87
輸入非週期訊號
  • 分別將系統在頻域的輸入與輸出表示成
  • 輸入與輸出關係為
    • 系統輸出的振幅 (強度)頻譜 等於系統輸入的強度頻譜乘上系統的強度響應 。有時候,強度響應 也稱為系統的增益(gain)。
    • 輸入相位頻譜 加上系統的相位響應 可得系統輸出的相位頻譜 。

第二章 訊號與線性系統

slide88
能量頻譜或功率頻譜密度之系統響應
  • 訊號x(t) 之能量頻譜密度為EX(f )或功率頻譜密度為PX(f )。
  • 當訊號x(t)通過一轉移函數為H(f)的濾波器,則輸出之能量頻譜或功率頻譜密度表示為

第二章 訊號與線性系統

slide89
無失真傳輸
  • 所謂無失真傳輸(distortionless transmission)是指輸入訊號經過LTI系統處理之後,輸出訊號波形必須與輸入訊號波形完全相同,但允許兩者之波形之大小不同以及輸出訊號是延遲的輸入訊號。此種無失真傳輸系統的輸入/輸出關係以數學式描述成:

其中 td是延遲(time delay) ;K稱為增益常數(gain constant) 。

第二章 訊號與線性系統

slide90
無失真傳輸的頻率響應
  • 失真傳輸系統的輸入/輸出時域關係兩邊做傅利葉轉換,可得
  • 無失真傳輸系統的頻率響應為
  • 或表示成

第二章 訊號與線性系統

slide91
無失真傳輸的頻率響應(續)
  • 若一LTI系統的強度響應 在限定之頻率範圍內不是固定值,即指輸入訊號經過此系統傳輸(或處理)時各頻率成份的增益或衰減值並不相同,此種效應造成輸出訊號的失真稱為振幅失真(amplitude distortion)。
  • 此外,若一系統的相位響應 不是頻率的線性函數,即指輸入訊號經過此系統傳輸(或處理)時各頻率成份的延遲時間並不相同,此種效應造成輸出訊號的波形失真稱為相位失真(phase distortion)。
  • 相位失真系統中,相位對頻率的導數為常數,此常數稱為波群延遲(group delay):

第二章 訊號與線性系統

slide92
理想濾波器分析
  • 一個理想濾波器可讓某一頻帶的訊號完全通過,並將其餘頻率範圍之訊號完全濾除(阻隔),其中訊號完全通過的頻率範圍稱為通帶(passband),而訊號完全濾除的頻率範圍稱為阻帶(stopband)。
  • 濾波器依功能一般區分為
    • 低通濾波器(low-pass filter, LPF)
    • 高通濾波器(high-pass filter, HPF)
    • 帶通濾波器(band-pass filter, BPF)
    • 帶止濾波器(band-stop filter, BSF)
  • 理想濾波器之相位響應為頻率之線性函數。

第二章 訊號與線性系統

slide93
理想低通濾波器
  • 理想低通濾波器的強度響應定義為

其中 是截止頻率,強度頻譜 如下圖所示。此圖說明輸入訊號高於截止頻率 的成份被濾除,只有頻率低於 的成份通過,此即「低通」之意。

第二章 訊號與線性系統

slide94
理想高通濾波器
  • 理想高通濾波器的強度響應定義為

其中 是截止頻率,強度頻譜 如下圖所示。此圖說明輸入訊號低於截止頻率 的成份被濾除,只有頻率高於 的成份通過,此即「高通」之意。

第二章 訊號與線性系統

slide95
理想帶通濾波器
  • 理想帶通濾波器的強度響應定義為
  • 強度頻譜 如下圖所示。此圖說明輸入訊號位於 與 之間頻帶範圍的成份通過,其餘部份被濾除,此即「帶通」之意。

第二章 訊號與線性系統

slide96
理想帶止濾波器
  • 理想帶止濾波器的強度響應定義為
  • 強度頻譜 如下圖所示。此圖說明輸入訊號位於 與 之間頻帶範圍的成份被阻止無法通過,其餘部份可通過,此即「帶止」之意。

第二章 訊號與線性系統

slide97
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

hilbert
希伯特(Hilbert )轉換

x(t)

相移 90

x(t)

  • 希伯特(Hilbert )轉換對定義為:
  • 訊號的希伯特(Hilbert )轉換之物理意義是相位移90度,系統脈衝響應為 。

第二章 訊號與線性系統

hilbert99
希伯特(Hilbert )轉換(續)

相位

+90°

f

-90°

  • 將希伯特轉換系統脈衝響應做傅利葉轉換可得
  • 希伯特轉換系統頻率響應可表示成
  • 將原訊號正頻率部分相位移負90度,負頻率部分相位移90度。

第二章 訊號與線性系統

slide100
希伯特轉換之範例
  • 回顧餘弦訊號與其傅利葉轉換對為
  • 餘弦訊號的希伯特轉換之頻率響應可表示成
  • 取反傅利葉轉換可得餘弦訊號的希伯特轉換是正弦訊號:
  • 上述結果與熟知的「正弦與餘弦訊號之相位相差90度」相符。

第二章 訊號與線性系統

slide101
希伯特轉換之特性
  • 有相同的強度(振幅)頻譜。
  • 有相同的自相關函數。
  • 正交,即 。
  • 的希伯特轉換為 ,因為x(t)做希伯特轉換兩次,表示相位轉180度故得x(t) 。
  • 傅利葉轉換提供訊號在時域與頻域之轉換,Hilbert轉換皆在時域之間轉換。
  • 傅利葉轉換用於頻率選擇,Hilbert轉換用於相位選擇。

第二章 訊號與線性系統

slide102
大綱

2.1 訊號模型(Signal Models)

2.2 訊號分類(Signal Classifications)

2.3 廣義轉換(Generalized Transformation)

2.4 傅利葉級數(Fourier Series)

2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform)

2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and

Correlation Function)

2.7 線性系統(Linear Systems)

2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform)

2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of

Bandpass Signals/System)

第二章 訊號與線性系統

slide103
帶通訊號

|X(f )|

|X(fc)|

f

0

fc+W

fc+W

fc

fc+W

fcW

 fc

  • 帶通訊號(bandpass signals) 是一個訊號頻率成分位於中心頻率 fc附近區域的訊號。
  • 帶通訊號的傅利葉轉換(頻譜)分佈以頻率 fc為中心寬度為2W範圍內,範圍外可忽略不計。
  • 一般而言,fc >> W。

第二章 訊號與線性系統

pre envelope
前置封包(Pre-envelope)

|X(f )|

X(0)

f

0

W

W

|X+(f )|

2X(0)

f

0

W

  • 一實數訊號x(t)的前置封包(pre-envelope)定義為

其中 為x(t)的Hilbert轉換。

  • x+(t)的傅利葉轉換為
  • 以上之Pre-envelope可看成取出

訊號正頻率成份在加倍(相當於

正頻率單邊頻譜)。

第二章 訊號與線性系統

slide105
前置封包(續)

|X(f )|

X(0)

f

0

W

W

|X+(f )|

2X(0)

f

 W

0

  • 一實數訊號x(t)的負頻率前置封包(pre-envelope)定義為

其中 為x(t)的Hilbert轉換。

  • x(t)的傅利葉轉換為
  • 負頻率Pre-envelope可看成取出

訊號負頻率成份再加倍(相當於

負頻率單邊頻譜)。

第二章 訊號與線性系統

slide106
實數帶通訊號表示
  • 一實數訊號x(t)的正、負頻pre-envelope為
  • 此實數訊號x(t)可表示成
  • 實數訊號x(t)頻域表示

第二章 訊號與線性系統

slide107
帶通訊號頻譜解析

|X(f )|

|X(fc)|

f

0

fc+W

fc

fc+W

fc W

 fc

fc+W

|X+(f )|

2|X(fc)|

f

0

fc+W

fc

fc+W

|X(f )|

2|X(fc)|

f

 fc

0

fc+W

fcW

  • 一實數帶通訊號頻譜可解析為

第二章 訊號與線性系統

slide108
帶通訊號之標準表示式
  • 將一實數訊號x(t)的正、負頻pre-envelope表示為
  • 稱為x(t)的複數封包(complex envelope),或看成x(t)的低通等效訊號。
  • 一般 為複數,以直角座標方式表示成

xI(t)為同相(in-phase)成份,xQ(t)為正交(quadrature)成份。

  • 實數訊號x(t)標準表示式

第二章 訊號與線性系統

slide109
帶通訊號之標準表示式(續)
  • x(t)的低通等效訊號以極座標方式表示成

a(t)稱為帶通訊號的封包(envelope),(t)稱為帶通訊號的相位(phase)。

  • 帶通訊號可表示成(可看成振幅調變與角度調變之混和調變)
  • 帶通訊號資訊皆保留於其低通等效訊號。

第二章 訊號與線性系統

slide110
時域圖解帶通訊號之標準表示式

Q

Im

Re

I

Re

  • 圖解
  • 大小相乘,相角相加。

第二章 訊號與線性系統

slide111
頻域圖解帶通訊號之標準表示式

2|X(fc)|

f

|X(f )|

0

fc+W

fc

fc+W

|X(fc)|

|X+(f )|

2|X(fc)|

f

0

fc+W

fc

fc+W

fcW

 fc

fc+W

f

0

fc+W

fc

fc+W

|X(f )|

2|X(fc)|

f

 fc

0

fc+W

fcW

等效低通訊號振幅頻譜

正頻pre-envelope

(等效低通訊號移頻至fc)

負頻pre-envelope

(等效低通訊號移頻至fc)

帶通訊號振幅頻譜

第二章 訊號與線性系統

slide112
帶通訊號解析與合成
  • 下圖說明帶通訊號的解析與合成

第二章 訊號與線性系統

slide113
帶通系統

h(t)

  • 帶通系統:輸入窄頻帶通訊號x(t) ,窄頻帶通系統脈衝響應h(t) ,輸出帶通訊號y(t) 。
  • 以低通等效系統方式分析帶通系統:低通等效輸入訊號 ,低通等效系統脈衝響應 ,低通等效輸出訊號。

第二章 訊號與線性系統

slide114
帶通系統分析程序
  • 輸入帶通訊號x(t)以其低通等效 替代
  • 帶通系統脈衝響應h(t)以其低通等效 替代
  • 低通等效輸出訊號
  • 輸出帶通訊訊號

第二章 訊號與線性系統

slide115
圖解帶通系統
  • 下圖說明帶通系統與其輸出入訊號的同相與正交成份關係。

第二章 訊號與線性系統

slide116
參考文獻
  • S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, New York, 3rd edition, 1994.
  • R.E. Zimer, W.H. Tranter, Principle of. Communications: Systems, Modulation and Noise, 5th. edition, 2002.
  • 余兆棠、李志鵬 著,信號與系統,滄海,2007年1月 。

第二章 訊號與線性系統

slide117
習題

4

t

5

1

2

3

4

0

P2-1 計算下列積分

(i) (ii)

(iii) (iv)

P2-2 給定一信號x(t)如下圖所示,分別繪出此信號之奇信號

與偶信號部份。

第二章 訊號與線性系統

slide118
習題(續)

P2-3 請繪出弦波信號 的單邊及雙邊頻

譜。

P2-4 請繪出以下信號的單邊及雙邊頻譜。

P2-5 請將以下信號表示成傅利葉級數

第二章 訊號與線性系統

slide119
習題(續)

P2-6 推導下圖所示之週期信號的複指數和三角傅利葉級數表示式。

P2-7 計算下列信號之傅利葉轉換。

第二章 訊號與線性系統

slide120
習題(續)

P2-8 證明以下傅利葉轉換對。

P2-9 給定一基頻信號x(t)的傅利葉轉換為,如下圖所示。請繪製

此 信號乘上一弦波信號 的傅利葉轉換。

第二章 訊號與線性系統

slide121
習題(續)

P2-10 給定濾波器的輸入信號為

請以此信號分別輸入理想低通、高通、帶通和帶止濾波器,下圖顯示這四種濾 波器的強度響應,假設濾波器的相位響應 ,請分別分析濾波器輸出信號。

第二章 訊號與線性系統