1 / 20

Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình

Giu1ea3i phu01b0u01a1ng tru00ecnh lu00e0 mu1ed9t trong nhu1eefng du1ea1ng tou00e1n cu01a1 bu1ea3n cu1ee7a chu01b0u01a1ng tru00ecnh THPT. Hu1ecdc sinh u0111u00e3 u0111u01b0u1ee3c trang bu1ecb cu00e1ch giu1ea3i phu01b0u01a1ng tru00ecnh bu1eadc nhu1ea5t, bu1eadc hai tu1eeb bu1eadc THCS vu00e0 u0111u01b0u1ee3c nhu1eafc lu1ea1i u1edf lu1edbp 10. Tuy nhiu00ean, u0111u1ed1i vu1edbi bu00e0i tou00e1n tu00ecm nghiu1ec7m nguyu00ean cu1ee7a phu01b0u01a1ng tru00ecnh thu00ec hu1ecdc sinh chu01b0a cu00f3 u0111u1ea7y u0111u1ee7 cu00e1c phu01b0u01a1ng phu00e1p u0111u1ec3 giu1ea3i. u0110u00e2y lu00e0 mu1ed9t nu1ed9i dung quan tru1ecdng trong cu00e1c u0111u1ec1 thi u0110u1ea1i hu1ecdc, Cao u0111u1eb3ng, TH chuyu00ean nghiu1ec7p vu00e0 u0111u1ec1 thi hu1ecdc sinh giu1ecfi tu1eeb tru01b0u1edbc u0111u1ebfn nay.

RobbPollich
Download Presentation

Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂKLĂK  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRƢỜNG: THPT BUÔN MATHUỘT GIÁO VIÊN: NGUYỄN THỊ THANH THỦY TỔ: TOÁN NĂM HỌC: 2014 – 2015 ĐĂKLĂK - 2015 https://dethiioe.com/

  2. CHƢƠNG I. MỞĐẦU I. Lý do chọn đề tài Giải phƣơng trình là một trong những dạng toán cơ bản của chƣơng trình THPT. Học sinh đã đƣợc trang bị cách giải phƣơng trình bậc nhất, bậc hai từ bậc THCS và đƣợc nhắc lại ở lớp 10. Tuy nhiên, đối với bài toán tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình thì học sinh chƣa có đầy đủ các phƣơng pháp để giải. Đây là một nội dung quan trọng trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trƣớc đến nay. Phƣơng trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số. Phƣơng trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thƣờng không có quy tắc giải tổng quát. Do đó khi nói đến bài toán tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình, nhiều học sinh tỏ ra ái ngại, lúng túng. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Vì vậy, việc trang bị cho học sinh một sốphƣơng pháp giải cũng nhƣ các dạng phƣơng trình khác nhau của phƣơng trình nghiệm nguyên là điều cần thiết. Với lý do trên, tôi xin đƣợc trình bày sáng kiến kinh nghiệm “Một số phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình”. II. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là: tập hợp một sốphƣơng pháp cũng nhƣ các dạng phƣơng trình khác nhau của phƣơng trình nghiệm nguyên, đƣa ra một số bài tập để giúp học sinh củng cố lại kiến thức đã đƣợc học. III. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu là học sinh từ cấp THCS đến THPT. IV. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Trong phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ nêu một sốphƣơng pháp giải của phƣơng trình nghiệm nguyên và một sốphƣơng trình nghiệm nguyên thƣờng gặp. Đã áp dụng cho học sinh khối 10 và 12 trƣờng THPT Buôn Ma Thuột, TP Buôn Ma Thuột, Tỉnh Đăk Lăk. V. Phƣơng pháp nghiên cứu -Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu chƣơng trình SGK từTHCS đến THPT, nghiên cứu tài liệu về tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình. https://dethiioe.com/

  3. -Phân tích, đánh giá, tổng hợp lời giải của các bài toán, dạng toán. Theo dõi, đánh giá kết quả của học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm https://dethiioe.com/

  4. CHƢƠNG II. NỘI DUNG I.Cơ sở lý luận -Đa số học sinh chƣa có phƣơng pháp để giải từng dạng bài toán tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình nên rất nhiều em thƣờng “bỏqua” hoặc “bỏ dở” bài toán dạng này. -Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng và tựtin hơn khi gặp các bài tập tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình, giúp các em phát huy đƣợc khảnăng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa qua các bài tập, tôi đƣa ra sáng kiến kinh nghiệm “Một sốphƣơng pháp tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình”. II. Thực trạng -Trong chƣơng trình THCS, THPT do thời lƣợng có hạn mà dạng tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình chƣa đƣợc trình bày đầy đủ, chỉ mang tính chất giới thiệu qua một số bài tập đơn giản. -Do chƣa đƣợc hệ thống kiến thức và chƣa đƣợc học đầy đủcác phƣơng pháp để giải từng dạng tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình nên khi gặp hầu hết học sinh thấy lúng túng và không có hƣớng giải. -Mặt khác, các dạng bài tập về tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. III. Nội dung 1.Một sốphƣơng pháp giải phƣơng trình với nghiệm nguyên a.Phƣơng pháp xét sốdƣ của từng vế Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình    2 9 2 x y y Giải: Biến đổi phƣơng trình: 9    2 ( 1) x y y Ta thấy vế trái của phƣơng trình là số chia hết cho 3 dƣ 2 nên ( y y chia 1) cho 3 dƣ 2. Chỉ có thể  với k nguyên    3 1, 3 2 y k y k https://dethiioe.com/

  5.     9   2 x  (3 9 ( ( k k 1)(3 1) 1) 2) x k k   Khi đó 9 x k k  Thử lại,  thoảphƣơng trình đã cho.    ( 1), 3 1 x k k y k       ( k 1) 1 x y k k Đáp số: với k là số nguyên tuỳ ý.  3 b.Phƣơng pháp đƣa về dạng tổng Biến đổi phƣơng trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phƣơng, vế phải là tổng của các sốchính phƣơng. Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình  (1)    2 2 8 x y x y Giải      2 2 (1)  4 4 4 4 32 y  x  y x y  1) (4    2 2 (4 4 4 1) 34 x x y 2 2       2 2 2 1 2 1 3 5 x y Bằng phƣơng pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai sốchính phƣơng . Do đó phƣơng trình thoả mãn chỉ  2 2 3 5 trong hai khảnăng:                 2 1 3 2 1 5 x x hoặc 2 1 5 2 1 3 y y Giải các hệtrên, phƣơng trình (1) có bốn nghiệm nguyên là (2;3), (3;2), (- 1;-2), (-2;-1) c.Phƣơng pháp dùng bất đẳng thức Trong khi giải các phƣơng trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dung phƣơng pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá đƣợc miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dƣ, bất đẳng thức. Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2   x x x 3 5 Giải: Viết phƣơng trình dƣới dạng: 2 3 1 5 5     x x         (1)   https://dethiioe.com/

  6. Với x=0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại. Với x=1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng. 2 2 5 5   2 3 2 5 5 5     Nghiệm duy nhất của phƣơng trình là 1. x x           3 5 3 5 x  thì Với   2 , x x         3 5 Nên không thoả mãn     1 Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình:     2 2 x y xy x y (1) Giải: Viết (1) thành phƣơng trình bậc hai đối với x:      (2) 2 2 ( 1) ( ) 0 x y x y y        0 y     2 2 ( 1) 4( y    ) 0 y y Điều kiện cần để (2) có nghiệm là    2 3 y 6 y 1 0 1 0 4 y   2 3 3( 6 1) 2 y  suy ra: Do đó y 2 ( 1) 1 y-1 -1 0 1 y 0 1 2 Với y=0 thay vào (2) đƣợc      2 0 0; 1 x x x x 1 2 Với y=1 thay vào (2) đƣợc      2 2 0 0; 2 x x x x 3 4 Với y=2 thay vào (2) đƣợc       2 3 2 0 1; 2 x x x x 5 6 Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phƣơng trình (1) Đáp số: (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2) (2;2) d.Phƣơng pháp dùng tính chia hết, tính đồng dƣ Khi giải các phƣơng trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dƣ, tính chẵn lẻ,…đểtìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng nhƣ các biểu thức chứa trong phƣơng trình, từđó đƣa phƣơng trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đƣa về những phƣơng trình đơn giản hơn. Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình sau: https://dethiioe.com/

  7.  2 2 19 28 729 x y Giải: Viết phƣơng trình đã cho dƣới dạng:  ) (    2 2 2 2 (18 27 ) 729 x y x y (1)  2 2 x y Từ (1) suy ra chia hết cho 3, do đó x và y đều chia hết cho 3. Đặt x=3u, y=3v Thay vào phƣơng trình đã cho ta đƣợc:   2 2 19 28 81 u v (2) Từ (2) lập luận tƣơng tự trên ta suy ra u=3s, v=3t. Thay vào (2) ta có:   (3) 2 2 19 28 9 s t Từ(3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0, do đó:    2 2 19 28 19 9 s t Vậy (3) vô nghiệm và do đó phƣơng trình đã cho cũng vô nghiệm. e.Phƣơng pháp dùng tính chất của sốchính phƣơng Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình:   19 3  2 2 2 4 x x y Giải:      2 2 2  4 x 2 21 3 3(7 x x  y y  2 2 2( 1) ) Ta thấy:    2 2 3(7 ) 2  7 2 y y  Suy ra y lẻ.  y  2 2 y  7 1 0 Ta lại có : nên chỉ có thể Khi đó (2) có dạng: x  2 2( 1) 18 x do đó:   1 3 2; 4 x x Ta đƣợc 1 2 https://dethiioe.com/

  8. Các cặp số (2;1),(2;-1),(-4;1),(-4;-1) thoả mãn (2) nên là nghiệm của phƣơng trình đã cho. f.Phƣơng pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Ví dụ 7: Tìm ba sốnguyên dƣơng đôi một khác nhau x, y, z thỏa mãn:      3 3 3 2 ( ) x y z x y z Giải: Vì vai trò của x, y, z nhƣ nhau nên có thể giả sử   x Áp dụng bất đẳng thức: y z 3     3 3 3      x y z x y z  3 3 Với mọi x, y, z ≥0 ta suy ra x + y + z ≤ 9 Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau. Vậy x + y + z ≤ 8 (1) Mặt khác : x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra x + y + z thuộc {6; 7; 8} Từđây kết hợp với phƣơng trình ban đầu ta tìm đƣợc x, y, z. Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này. g.Phƣơng pháp xét chữ số tận cùng Ví dụ 8 : Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình : 1! 2! ...     ! x y 2 Giải: Cho x lần lƣợt bằng 1; 2; 3; 4 ta có ngay hai nghiệm nguyên dƣơng (x ; y) của phƣơng trình là (1 ; 1), (3 ; 3). Nếu x > 4 thì dễ thấy k ! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0. Suy ra 1! 2! ... ! 33 5! ... x x        ! có chữ số tận cùng bằng 3. Mặt khác vế phải là sốchính phƣơng nên không thể tận cùng bằng 3. Vậy phƣơng trình đã cho chỉ có hai nghiệm nguyên dƣơng (x ; y) là (1 ;1) và (3 ;3). https://dethiioe.com/

  9. h.Phƣơng pháp tìm nghiệm riêng Cách giải Xét phƣơng trình ax + by + c = 0 (1)    Trong đó , , , 0, 0 a b c R a b Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng (a,b,c)=1. Thật vậy, nếu   thì ta chia hai vế của phƣơng trình cho d. ( , , ) a b c 1 d Ta có hai định lý: Định lý 1: Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm nguyên thì (a,b)=1 (*)   Chứng minh : Giả sử( , ) x y   là nghiệm nguyên của (1) thì ax by c   d  thì c d , trái với giả thiết (a,b,c)=1. 1 Nếu a và b có ƣớc chung là Vậy (a,b)=1. Định lý 2 : Nếu ( , ) x y  là một nghiệm của phƣơng trình (1) thì phƣơng trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của có đều có thể biểu diễn dƣới dạng :        Trong đó t là một số nguyên tuỳ ý  x y x y bt at    t  0, 1, 2,...   Chứng minh: (x +bt,y -at)đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy Bƣớc 1: Mọi cặp số o o ( , x y  ) ax +by =c  là nghiệm của (1) nên o o Ta có: ax by         ( ) ( ) a x bt b y at ax by c   )     Do đó ( , x bt y at là nghiệm của (1) nên     ax by ax  c   by c      ( ) (  )  0 ) a x  x b y y    ( ) ( a x x b y y   Trừ từng vế: (2)   Ta có: ( ) a x x mà (a,b)=1 (theo định lý 1) nên x b x b  https://dethiioe.com/

  10. Vậy tồn tại số nguyên t sao cho : x x bt    Tức là: x x bt        ( ) abt   b y   y y  at y y Thay vào (2):  y at  Vậy tồn tại số nguyên t sao cho:        x y x y bt at   Ví dụ: Ví dụ 9: Tìm mọi nghiệm nguyên của phƣơng trình:   3 Giải: 2 5 x y Cách 1: Ta thấy là một nghiệm riêng :   3; 2 x y   Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phƣơng trình là :      3 2 2 3   x y t t (t là số nguyên tuỳ ý) Cách 2 : Ta thấy là một nghiệm riêng :    1; 1 x y   Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phƣơng trình là :      1 2 1 3    x y t (t là số nguyên tuỳ ý) t Chú ý : Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phƣơng trình. Cách tìm một nghiệm riêng của phƣơng trình bậc nhất hai ẩn : Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phƣơng trình ax by  , ta có thể  c dùng phƣơng pháp thử chọn: lần lƣợt cho x bằng số có giá trị tuyệt đối nhỏ rồi tìm giá trịtƣơng ứng của y. (0; 1; 2;...)   i.Phƣơng pháp hạ bậc Ví dụ 10:Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình : Giải : (1) 4 2 x z y    (2)  (1)   3 3 3 2 4 0 x y z 3 3 3 https://dethiioe.com/

  11. x . Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên Đặt 1 1 2 ( ) x x x  Z . Thay vào (2) ta có: 3 3 3 1 (2) 8 4 2 x x y     Lập luận tƣơng tự ta có : đƣợc: 3 3 3 1 1 4 2 z y x   (4) Lập luận tƣơng tự ta có : (4) 8 4 2 z y x    32 x  do đó 2 (3)   3 3 3 1 2 4 y z x y , đặt Z . Biến đổi tƣơng tự, ta  2 ( y y ) y 2 1 1 Z . Biến đổi tƣơngtự, ta đƣợc: z , đặt 3 1 y   2 2 2 ( z z 0  (5) ) z 1 1   3 3 3 3 1 3 1 4 x z 1 1 1 x y z là nghiệm của (1) thì bộ số ( cũng là Rõ ràng nếu bộ số ( ; ; ) x y z  ; ; )    2 2 2 x y z là số chẵn và cũng là số chẵn. Quá nghiệm của (1), hơn nữa ; ; x y z  ; ;    2 z 2 2 x y là số chẵn với mọi n là số trình này có thể tiếp tục mãi và các số ; ;   n n n 2 2 2 nguyên dƣơng. Vậy 2.Một sốphƣơng trình nghiệm nguyên thƣờng gặp    0 x y z a.Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình: (1)   11 Giải: 18 120 x y Ta thấy 11 6 x nên x . Đặt x = 6k (k nguyên). Thay vào (1) và rút gọn ta 6 đƣợc: 11   3 20 k y Biểu thịẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ(là y) theo k ta đƣợc:  20 11 3 k  y Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:  1 k 7 4    y k 3  1 k Lại đặt  với t nguyên suy ra  . Do đó:  t 3 1 k t 3        7 4(3 6 k  1)  3 11  y x t t t 1) 18 6  6(3 t Thay các biểu thức của x và y vào (1), phƣơng trình đƣợc nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của (1) đƣợc biểu thị bởi công thức: https://dethiioe.com/

  12.     18 3 11   6 t x y t với t là số nguyên tuỳ ý. Cách giải : -Rút gọn phƣơng trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn. -Biểu thịẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia. -Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x. -Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta đƣợc một phƣơng trình bậc nhất hai ẩn y và t. -Cứ tiếp tục nhƣ trên cho đến khi các ẩn đều đƣợc biểu thịdƣới dạng một đa thức với các hệ số nguyên. b.Phƣơng trình bậc hai hai ẩn Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình: (1)    5 Giải: 3 2 11 x y xy Biểu thị y theo x:    (2 3) 5 11 x y x Dễ thấy 2 x  (vì x nguyên) do đó: 3 0    5 2 11 3  5 x x x    2 y 2 3 x   5 2 2( 2 7 2  3  x    x    5) 2 3 7 2 3 x  3  x x ĐểyZ phải có   3 x x  Ta có: 2x+3 1 -1 7 -7 x -1 -2 2 -5 y 6 -1 3 2 Thử lại các cặp giá trị trên của (x;y) đều thỏa mãn phƣơng trình đã cho. c.Phƣơng trình bậc ba trở lên có hai ẩn https://dethiioe.com/

  13. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình: (1)     2 ( 1)( 2)( 3) x x x x y Giải : Nếu y thỏa mãn phƣơng trình thì –y cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử y  0      2 2 2 (1) ( 3 )( x x 3 2) x x y Đặt 2 1    , ta đƣợc:  2 3 x x a ) 1           2 2 2 ( 1)( 1) 1 ( )( a a y a y a y a y Suy ra a  , do đó y = 0.   y a y Thay vào (1) đƣợc:        0; 1; 2; 3 x x x x 1 2 3 4 Đáp số: (0;0),( 1;0),( 2;0),( 3;0)    d.Phƣơng trình đa thức có ba ẩn trở lên Ví dụ 4: Chứng minh rằng phƣơng trình sau không có nghiệm nguyên: (1)    2 2 2 1999 x y z Giải: Ta biết rằng sốchính phƣơng chẵn thì chia hết cho 4, còn sốchính phƣơng lảthì chia cho 4 dƣ 1 và chia cho 8 dƣ 1. Tổng là số lẻ nên trong ba số x y z phải có hoặc có một số lẻ,   2 2 2 2 2 2 ; ; x y z hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ. Trƣờng hợp trong ba số x y z có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của (1) 2 2 2 ; ; chia cho 4 dƣ 1, còn vế phải là 1999 chia cho 4 dƣ 3, loại. Trƣờng hợp ba số x y zđều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dƣ 3, còn vế 2 2 2 ; ; phải là 1999 chia cho 8 dƣ 7, loại. Vậy phƣơng trình (1) không có nghiệm nguyên. e.Phƣơng trình dạng mũ Ví dụ 5: Tìm các số tự nhiên x và các số nguyên y sao cho:   2 x 2 3 y Giải: Lần lƣợt xét các giá trị tự nhiên của x: x  thì y  nên y   2 0 4 2 Nếu https://dethiioe.com/

  14. x  thì y  , không có nghiệm nguyên. 2 1 5 Nếu x  thì 2 4 x, do đó vếtrái chia cho 4 dƣ 3, còn y lẻ nên vế phải chia 2 Nếu cho 4 dƣ 1. Mâu thuẫn. Kết luận: Nghiệm của phƣơng trình là (0;2), (0;-2). Ví dụ 6: Giải phƣơng trình với nghiệm tự nhiên:      x y z 2 2 2 1024 (1) với x y z Giải: xta đƣợc: Chia hai vế của (1) cho 2 0 y x  z x   1 2    10 x 2 2 (2)  nên  là bội của 2. 10 10 x x 2 1 2 Do 1 2    0 0 2 2 BS Ta lại có z > x, vì nếu z = x thì x=y=z, khi đó (2) trở thành ,  là bội của 2. loại. Do đó 2y x  y x , vậy y = x.  Suy ra 1 2y x là bội của 2. Do đó 2 1 Thay vào (2): z x        10 x 1 1 2 2 2 2(1 2 1 2   2 z x     10 x 2 ) z x      1 10 x 2 z x     1 9 x 2 z x      1 9 x 2 1,2 2  nên  là bội của 2. Do đó 92 92 x x 1 Do . Từđó x = 8; y = 9; z = 9. 3.Bài tập củng cố Bài 1: Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên (x, y) thoả mãn:    2 ( 1) 2 y x x Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của các phƣơng trình sau:    2 2 )15 )29 7 28 9  a b x x y 2 2 2000 y Bài 3: Tìm các số tự nhiên x, y, z thoả mãn: https://dethiioe.com/

  15.  y )2002 2001 )5 1 2 )5 1 )2 .3 d 1 a b c     x y x y 2 1 5   2 x y Bài 4: Tìm các số nguyên dƣơng x, y, z thoả mãn:     2 )1! 2! ... ) ! b x  !  a x z y ! 10  9 y Bài 5: Tìm các số tự nhiên x sao cho:   x y 2 3 35 IV. Các biện pháp tổ chức thực hiện 1.Tổ chức thực hiện -Thông qua bài dạy trong sách giáo khoa từTHCS đến THPT, qua quá trình làm bài tập trong SGK và sách bài tập nâng cao đểđánh giá năng lực của học sinh. -Trƣớc khi học và sau khi học: “Một sốphƣơng pháp tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình”, cho học sinh làm bài kiểm tra và thống kê kết quảđể thấy hiệu quảđạt đƣợc của sáng kiến kinh nghiệm. 2.Kết quả nghiên cứu: Thông qua quá trình giảng dạy học sinh và ôn tập cho đối tƣợng học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy: -Học sinh có khảnăng nhìn nhận chính xác cách tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình. -Học sinh tự tin khi phân tích để lựa chọn phƣơng pháp giải hay, ngắn gọn cho một sốphƣơng trình tìm nghiệm nguyên. -Hình thành đƣợc tƣ duy logic, kỹnăng tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình. Đồng thời tạo hứng thú trong học tập cho học sinh. -Cụ thể, qua bài kiểm tra, tôi đã thống kê kết quả và thấy hiệu quả rõ rệt của sáng kiến kinh nghiệm này. https://dethiioe.com/

  16. CHƢƠNG III. KẾT LUẬN I. Kết luận Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này rất hữu ích cho giáo viên và đã mang lại những kết quả khả quan khi dạy học sinh. Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh và những ngƣời quan tâm đến vấn đề này. Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc sựđóng góp ý kiến chân thành của đồng nghiệp, tổchuyên môn để sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn chỉnh hơn và đƣợc áp dụng có hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy môn toán. Tôi xin chân thành cảm ơn! II. Đề xuất -Trong quá trình dạy học vềphƣơng trình, hệphƣơng trình và bất phƣơng trình nói chung, tôi thấy các phƣơng pháp tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình chƣa đƣợc trình bày một cách đầy đủ. Vì vậy, không chỉ học sinh từ cấp THCS mà ngay cả các học sinh cấp THPT vẫn thấy lúng túng khi gặp dạng toán này. Rất mong có thêm nhiều tài liệu hơn nữa viết vềđềtài này để góp phần cho việc dạy và học đạt hiệu quảcao hơn. -Thƣờng xuyên tổ chức, triển khai các chuyên đề về toán học cho giáo viên và học sinh. https://dethiioe.com/

  17. MỤC LỤC CHƢƠNG I. MỞĐẦU 2 I. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 2 II. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... 2 III. Đối tƣợng nghiên cứu ...................................................................................... 2 IV. Giới hạn phạm vi nghiên cứu .......................................................................... 2 V. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................. 2 CHƢƠNG II. NỘI DUNG .................................................................................... 4 I. Cơ sở lý luận ...................................................................................................... 4 II. Thực trạng ......................................................................................................... 4 III. Nội dung .......................................................................................................... 4 1. Một sốphƣơng pháp giải phƣơng trình với nghiệm nguyên ....................... 4 2. Một sốphƣơng trình nghiệm nguyên thƣờng gặp ..................................... 11 3. Bài tập củng cố .......................................................................................... 14 IV. Các biện pháp tổ chức thực hiện ................................................................... 15 1. Tổ chức thực hiện ...................................................................................... 15 2. Kết quả nghiên cứu: ................................................................................... 15 CHƢƠNG III. KẾT LUẬN ................................................................................. 16 I. Kết luận ............................................................................................................ 16 II. Đề xuất ............................................................................................................ 16 MỤC LỤC ........................................................................................................... 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 18 https://dethiioe.com/

  18. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình, Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên. [2] Hoàng Chúng, Đinh Quang Hảo, Nguyễn Ngọc Hân, Phan Thanh Quang, Hoàng Quý, Nguyễn Văn Vĩnh, Phương pháp giải toán đại số , Sở GD ĐT TP Hồ Chí Minh. [3] Trần Văn Hạo, Đại số 10,11,12 chuẩn, Sách giáo viên, Nhà xuất bản Giáo dục – Hà Nội năm 2009). [4] Đoàn Quỳnh, Đại số 10,11,12 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục – Hà Nội năm 2009. [5] Đoàn Quỳnh, Đại số 10,11,12 Nâng Cao, Sách giáo viên, Nhà xuất bản Giáo dục –Hà Nội năm 2009. https://dethiioe.com/

  19. NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. ………………………………………………………….. https://dethiioe.com/

  20. https://dethiioe.com/

More Related