Một số dạng toán viết phương trình đường thẳng trong không gian thường gặp

1. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP I/ PHẦN MỞĐẦU I.1) Lý do chọn đề tài Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một bài toán quan trọng của môn hình học giải tích. Các bài toán này thường có trong các đề thi về môn Toán ở các kỳthi vào Đại học và Cao đẳng trong tất cả các năm. Đây là một bài toán mà đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tìm ra cách giải, học sinh nhiều khi không giải được các bài toán này, mặc dù trình độ các em hoàn toàn có thể giải được. Từ những nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, tôi hệ thống lại một số dạng toán viết phương trình đường thẳng trong không gian thường gặp, nhằm giúp các em học sinh giải các bài toán này một cách dễdàng hơn. I.2) Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Nhằm giúp các em học sinh giải được các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, góp phần nâng cao chất lượng bài làm trong thi cử. I.3)Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 12 I.4) Giới hạn phạm vi nghiên cứu: học sinh các trường THPT trong thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đăk Lăk. I.5) Phương pháp nghiên cứu: tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về dạng bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, tổng hợp kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, đề thi Đại học qua nhiều năm, … II/ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG II.1) Cơ sở lý luận Qua quá trình dạy toán ở cấp THPT với đềtài “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP”,việc tìm ra cách để giải một bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một vấn đề không quá khó. Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh lớp 12 trong việc giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, giúp các em có phương pháp giải nhất định đối với bài toán này. Từđó các em sẽ hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quảcao hơn trong các kỳ thi. II.2) Thực trạng a)Thuận lợi- khó khăn Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 1 https://dethiioe.com/

2. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Học toán và tìm cách giải một bài toán là một vấn đềkhó khăn đối với nhiều học sinh có kiến thức chưa vững. Trong khi đó bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một bài toán khá quan trọng của chương trình lớp 12. Nhận ra được mối liên hệ giữa đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian, nhưng khi bắt tay vào viết phương trình đường thẳng, học sinh vẫn thường xuyên lúng túng. Do đó kết quả bài làm không cao. b) Thành công- hạn chế Việc tìm ra cách giải và thực hiện một bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian đối với học sinh không còn quá khó khăn nữa. Tuy nhiên học sinh vẫn còn lúng túng, nhiều học sinh vẫn thụđộng, dù đã nhận biết được sẽ giải bài toán này theo phương pháp nào, gồm những bước gì nhưng khi trình bày lại có nhiều thiếu sót. c) Các nguyên nhân, yếu tốtác động Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh rất ngại học toán và giải các bài toán về viết phương trình đường thẳng trong không gian. Trong giờ học các em tỏ ra mệt mỏi, lười suy nghĩ. Nếu như các em không nắm được một số dạng bài toán về viết phương trình đường thẳng trong không gian thường gặp thì khi làm bài kiểm tra về phần này, cũng như khi thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học, Cao đẳng, các em sẽ dễ dàng bỏqua bài toán này, và như thế kết quả số học sinh đạt điểm cao môn Toán là không nhiều. III/ NỘI DUNG III.1) Mục tiêu Giúp học sinh có những tư liệu có ích, cải tiến phương pháp học toán nói chung và phương pháp giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng. III.2) Nội dung “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP” A . Kiến thức cơ bản Trước khi giới thiệu các dạng toán viết phương trình đường thẳng thường gặp, tôi xin đề cập đến phần kiến thức cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian. Đây không phải là một phương pháp đặc biệt ,mà đây là kiến thức học sinh phải biết nếu muốn viết phương trình đường thẳng. Đường thẳng trong không gian được cho bởi các dạng cơ bản sau Phương trình dạng tham số Đường thẳng đi qua điểm M   x y z với vectơ chỉphương ; ; 0 0 0 0           x y z x y z at bt t ct 0        có dạng : . ; ; a b c u  0 0 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 2 https://dethiioe.com/

3. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP (Mỗi giá trị t cho ta một giá trịtương ứng , , M thuộc đường thẳng). Phương trình dạng chính tắc: Đường thẳng đi qua điểm  có dạng : a b B. Các yếu tốđể một đường thẳng được xác định -Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. -Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cảcác điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. -Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. -Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó của mặt phẳng. -Qua một điểm cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. -Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. C. Một số dạng toán thường gặp Khi nắm vững phần lý thuyết này các em sẽxác định rõ nhiệm vụ khi gặp bài toán viết phương trình đường thẳng, từđó vận dụng linh hoạt các phương pháp giải toán được đề nghị qua các bài toán sau đây. Để tiện cho việc trình bày, tôi sử dụng một số từ viết tắt và ký hiệu sau: -VTPT: vectơ pháp tuyến. -VTCP: vectơ chỉphương. -PTTS: phương trình tham số. -PTCT: phương trình chính tắc. -Vectơ u -Vectơ n x y z là tọa độ của một điểm  z  x y z với vectơ chỉphương ; ; M 0 0 0 0    x x y y z      abc  ; với điều kiện ; ; a b c 0 0 0 0. u c để chỉvectơ chỉphương của đường thẳng. để chỉvectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 3 https://dethiioe.com/

4. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và thỏa mãn một số yếu tốcơ bản. *Cách giải -Tìm VTCP theo yêu cầu đề bài, cần lưu ý các dạng sau: (1)đi qua A;Bu             (2)(P)           AB u n P       a b (3)    / / d u u     (4)   ,  u u u d  a b        a           (5)   , u u n   P  a P / /  dưới dạng -Viết phương trình đi qua điểm M và có VTCP u PTTS hoặc PTCT. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham sốvà phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;3),B(3;5;7). Giải -đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉphương là     AB  2;3;4 .           1 y  1 2 2 3 3 4 x y z t -Vậy phương trình tham số của  là : t t    2 3 x z -Phương trình chính tắc của  là:  2 3 4 Ví dụ2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2007) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm     1;4;2 , 1;2;4 A B  . Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại G. Giải 4 , 2    -Vectơ pháp tuyến n         -Đường thẳng   d OAB  nên vectơ chỉphương của d chính là   2; 1;1 n   . Mà G(0;2;2) d nên phương trình của d là: 2 3 2 1 1           2 2 ; 4 4 1  1  4     -Dễ thấy: G(0;2;2).  12; 6;6  ; OA OB 1 1 2  của (OAB) được xác định như sau:     n  OA     n  2; 1;1  Chọn . n OB    x y z   . Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 4 https://dethiioe.com/

5. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ3: (ĐềCao đẳng khối A, B, D năm 2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có     1;1;0 , 0;2;1 A B và trọng tâm  0;2; 1 . G  đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giải Ta có: -G là trọng tâm tam giác ABC      1;1;1 , 2;2; 4 AB AC      -Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có VTCP là  cùng phương với , AB AC       -Đường thẳng đi qua điểm C nên phương trình của đường thẳng 1 : 3 4 z  Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng  : 2 2z 9 0. P x y     Viết phương trình đường thẳng  qua A và vuông góc với   P . Giải -Mặt phẳng   P có VTPT là n  -   P    nhận n -Đường thẳng  qua A(-2;1;0) nên có phương trình tham số là: 2 1 2 2 z t  Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình  Viết phương trình đường thẳng    1;3; 4   . C    -          u . Chọn . 1;1;0 6; 6;0 u           x y t  t     1;2; 2  làm VTCP.           x y t t           1 2 3 2 t x y z t đường thẳng  qua A(1;2;3) và song song với đường thẳng : . d t Giải u       -Đường thẳng d có VTCP là . 2;1;2   làm VTCP.  nhận u - -Đường thẳng  qua A(1;2;3) nên có phương trình tham số là: 1 2 2 3 2 z t   / /d          x y t t Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 5 https://dethiioe.com/

6. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua A(1;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng 4 : 2 3 1 z t   Giải -Đường thẳng a và b lần lượt có VTCP là -Vì  vuông góc với cảhai đường thẳng a và b nên ta có:         -Đường thẳng  qua A(1;1;1) nên có phương trình chính tắc là: 1 1 1 1 8 5   Ví dụ 7: (ĐềĐại học khối B năm 2013) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, Cho các điểm  1 2 3 : 2 1 3  qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và . Giải -Ta có   2;3;2 AB   , VTCP của  là -Đường thẳng vuông góc với AB và , có VTCP là  . -Đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và  1 1 7 2 Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz a/ Viết phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng  :x z+1 0 P y    , qua điểm   1,1,1 M 3 2 : 3 1 2  b/ Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  :3x 5z 1 0 y      , qua một điểm thuộc Oy và vuông góc với đường 1 7 : 3 5 3   Giải a) Mặt phẳng    có VTPT  1;1; 1 n    3;1;2 u   .        x y t    3 1 7 x y z   và : b t a 2 1 2          2;1;2 ; 1;2;3 a b     u  a          của  là , 1; 8;5 a b VTCP u b    x y z      1; 1;1 ,  1;2;3  A B    x y z    và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi      u   2;1;3 .         , v AB u   v  Suy ra 7;2;4    1 x y z   . có phương trình là: 4 và vuông góc với đường thẳng   x y z .   d   x y z   thẳng . a    ; đường thẳng d có VTCP là  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 6 https://dethiioe.com/

7. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP -Gọi v phẳng   P và vuông góc với đường thẳng d nên ta có:   của  là , 3;1;4 n u    là VTCP của đường thẳng . Vì  song song với mặt          v  n      VTCP  -Đường thẳng  qua    v u   nên có phương trình chính tắc là: 1,1,1 M  1 1 1 x y z  3 1 4 b) -Gọi A là giao điểm của   A(0;1;0). -Vì d nằm trong   -Lại có VTPT của    và Oy. Thế   , ta được y  0 1 x z và đi qua điểm thuộc trục Oy nên d qua A.   3;1; 5 n   và VTCP của a là   , 2 14;3;9 . n a      1 14 3 9 Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz 1.Viết phương trình tham sốvà phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua hai điểm a) A(1;-2;3), B(3;0;0). 2.Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với   trong mỗi trường hợp sau: a)     1;0; 1 ; :2x 9 0 M y z       3.Viết phương trình đường thẳng  qua M và song song với đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: 1 2 4;3;1 ; : 3 3 2 z t  4.Viết phương trình đường thẳng d qua A(3;1;0) và vuông góc với 13 : 4      là a  3; 5; 3     nên VTCP của d là:  x y z -Do đó phương trình của d là:   b) M( 0;2;-1), N(2;3;6).       2;1;0 ;    2z 1 0   b) : 2 M x y          x y t   1 3 x y z     a) 2;0; 3 ; :    b) M d t M d 2 3 4     2 3 x y z   trục Ox và đường thẳng . a 1 3 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 7 https://dethiioe.com/

8. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP 5.Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  :3x 5z 1 0 y      , cắt trục Oy và vuông góc với đường thẳng 1 : 2 5 1  x y z   . a BÀI TOÁN 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M , cắt và vuông góc với đường thẳng dcho trước. *Cách giải -Viết phương trình mp  -Tìm tọa độ -Dễ thấy  qua M và A, từđó suy ra phương trình của . Ví dụ :(Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm P qua M và vuông góc với d .   P   A d   A   và đường 4; 2;4             3 2 t x y z t . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, thẳng : 1 d 1 4 t cắt và vuông góc với d . Giải -Gọi   -  P qua A(-4;-2;4) và có một VTPT là Phương trình   -Gọi   H d P   Tọa độ H thỏa: 3 2 1 1 4 2x 4z 10 0 y       Ta có:   3;2; 1 . AH   -Dễ thấy  qua A(-4;-2;4) và H nên phương trình : P là mặt phẳng qua A và vuông góc với d .        2; 1;4 .  n u d                4z 10   :2 4 1 2 4 4 0 2x 0 P x y z y              x y z t t    1;0;3  H t  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 8 https://dethiioe.com/

9. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP       Ta cũng có thể giải bài toán dạng này theo cách sau: * Cách giải 2 - Viết PTTS của đường thẳng d . - Gọi H d  tọa độ của H theo tham sốt. - Ta có . 0 d MH d MH u    . Từđó suy ra giá trị của tham sốvà phương trình đường thẳng . Với ví dụ trên, ta có thể giải như sau -Gọi  3 2 ;1 ; 1 4 H d H t t         -Đường thẳng d có VTCP là    . 0 2 1 2 1 3 d AH d AH u t       1 t     3;2; 1 4 2 4 : 3 2 1  Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường 4 2 4. 1 x y z 3 2           2; 1;4   4    1 2 ;3  ; 5 4    t AH t t t   d u        5 4    0 t t     AH    x y z       z 3 x y   thẳng đi qua điểm A(3;2;1) vuông góc với đường thẳng 2 4 1 và cắt đường thẳng đó. BÀI TOÁN 3: Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với đường thẳng dcho trước. *Cách giải -VTCP của d là -Tìm giao điểm   , VTPT của (P) là n   d P      . Từđó suy ra phương trình. d u M     -VTCP của  là  , u u n d -qua M và có VTCP u Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 9 https://dethiioe.com/

10. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ: (Đề tuyển sinh Đại học khối D-2009) Trong không gian với hệ tọa độOxyz cho đường thẳng 2 2 : 1 1 1 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), vuông góc với  và cắt . Giải 2 2 y z t  - Gọi     ; ; M x y z P   Vì   d P  và  cắt d nên Md. Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ                     - Mặt phẳng (P) có VTPT là  1;2; 3 n   . Gọi u   x y z  và mặt phẳng  :   3z 4   .   2 0 P x y           x t - Phương trình tham số của : t 2 x y z x t 2 t   phương trình: 3;1;1 M t y 2 3z 4 0   ; đường thẳng có vectơ chỉ  là vectơ chỉphương của d. Ta có: phương là u d                      , 1;2;1 u u n   d n     3 1 1 x y z   - Vậy dcó phương trình là: 1 2 1 Bài tập áp dụng   1 1 x y z    Trong không gian với hệ tọa độOxyz cho đường thẳng :  1 1 2 và mặt phẳng  : trong (P), vuông góc với  và cắt .  1 0   . Viết phương trình đường thẳng d nằm 2 P x y BÀI TOÁN 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt đường thẳng d’ và vuông góc với đường thẳng dcho trước. Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 10 https://dethiioe.com/

11. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP *Cách giải -Viết phương trình mặt phẳng   -Tìm giao điểm   ' . N d P   -Viết phương trình MN Ví dụ 1: (Đại học khối D năm 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường 1 3 : 2 1 2  vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Giải -Gọi   ;0;0 M m là giao điểm của  với trục Ox, suy ra   1; 2; 3 AM m     -VTCP của d là   2;1; 2 a   . -  . 0 2 d AM d AM a m        -Đường thẳng đi qua M và nhận     Pđi qua M và vuông góc với d.   x y z . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A,   thẳng d                       1 1   2 2 3 0 1 m AM     làm VTCP nên 2; 2; 3  1 2 3 x y z có phương trình: 2 2 3 Có thể giải bài toán trên theo các cách sau: Cách 2 -đi qua A và cắt trục Ox nên  nằm trên mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox. -đi qua A và vuông góc với d nên  nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d. -Ta có: + VTPT của (P) là , OA i     + VTPT của (Q) là Q d n a      P Q     VTCP của  là: Cách 3 -Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d -Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  . Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm  0;1;1 A        P n            -  , a n n  P Q  :2x Q     2z 2   0 y   1;0;0  M -VTCP của  là AM  , vuông góc với đường thẳng          1 x y z   1 2 x y z .   và cắt đường thẳng : : d t d 2 1 3 1 1 1 t Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 11 https://dethiioe.com/

12. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Giải -Đường thẳng a    3;1;1 b  . -Gọi   VTPT của    là   3;1;1 a  , nên phương trình mặt phẳng         3 0 1 1 1 1 0 3x x y z            -Gọi     2 , , B x y z d    , 1 1 2 1 3 3x 2 0 y z       Đường thẳng đi qua điểm  0;1;1 A cắt đường thẳng   làm VTCP nên có phương trình:    1d có VTCP ; đường thẳng 2 d có VTCP 3;1;1   là mặt phẳng đi qua   và vuông góc với 1d . Suy ra 0;1;1 A   là: 2 0 y z tọa độ của B thỏa           x y z         x y z t hay   B   mãn: . 1;2;3 t  , vuông góc với đường thẳng 1d và 2 dchính là đường thẳng qua A, B tức nhận   1 1 x y z   AB     . 1;1;2  1 1 2 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm   2;1;3 A , vuông góc với đường thẳng 2 1 : 1 1 1  2 6 : 1 5 3 11 z t       1 1 1 x y z x y z .     và cắt đường thẳng : d d 1 2  2 1 1          x y t  Đs: t BÀI TOÁN 5: Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   Q . P và   *Cách giải -Giả sử    Q  By C     B y C z    : z 0; : ' ' ' ' 0 P Ax D A x D Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 12 https://dethiioe.com/

13. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP -Đường thẳng  là tập hợp các điểm   M x y z thỏa mãn hệphương ; ;        z 0 Ax A x By C B y C z  D trình    ' ' ' ' 0 D Ta có thể lập được phương trình của  bằng một trong ba cách sau: (1)Tìm tọa độhai điểm phân biệt A và A’ thuộc  rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. (2)Tìm tọa độ một điểm A thuộc  và một VTCP của nó rồi viết PTTS của . (3)Trong hệ (1) Cho  , z f t t  (thường cho z x t  ), rồi tìm , x y theo t. Từđó suy ra phương trình tham số của . Ví dụ: Cho hai mặt phẳng       và 2z 3 0 x y     . Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   Giải -Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau vì bộ ba số (1;2;-1) không tỉ lệ với bộ ba số (1;1;2). -Gọi dlà đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm các điểm   ; ; 2 2z 3 x y      -Bây giờ ta có thể viết phương trình tham số của d bằng một trong các cách sau đây: Cách 1. Tìm tọa độhai điểm phân biệt A và A’ thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. -Trong hệ(1) cho z=0, ta tìm được x=-5, y=2. Vậy điểm  thuộc d . -Lại cho z=1, ta được x=-10, y=5. Vậy   ' 5;3;1 AA   nên dcó phương trình tham số là:            Cách 2. Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một VTCP của nó rồi viết PTTS của d . -Trong hệ (1) cho z=0 rồi tìm x và y, ta được x=-5, y=2. Vậy điểm A(-5;2;0) thuộc d .  hoặc y  hoặc t t  và   '  lần lượt có phương trình 2 1 0 x y z  và   '  . M x y z vừa thuộc      vừa thuộc  1 01 0  '  nên tọa độ của     x y z   M là nghiệm của hệ:  A  5;2;0   A  cũng thuộc d . ' 10;5;1  -VTCP của d là 10 5 5 3 1 t x y z t t Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 13 https://dethiioe.com/

14. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP   1 1;2; 1 n   là VTPT của mặt phẳng   của mặt phẳng   '  . Đường thẳng d vuông góc với hai vectơ   nên nó có VTCP 1 2 , u n n         -Gọi  , n  là VTPT 1;1;2 2  1n          5; 3; 1 .   và 2n            10 5 5 3 1 t x y z t -Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: t Cách 3. Trong hệ (1) cho z           Đó cũng là phương trình tham số của đường thẳng d . Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng  :  :2x 2 3z 1 0 y      .             rồi tìm  , ta được , x y theo z t t 5 5 2 3 t x y z t t     và 1 0 x z 4 2 t x y z t Đs: : 3 2 t BÀI TOÁN 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt hai đường thẳng a, b cho trước. *Cách giải - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa M và đường thẳng a. - Tìm giao điểm B của b và (P). - Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua M và B. Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 14 https://dethiioe.com/

15. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm  3;10;1 M 2 1 3 3 7 : , : 3 1 2 1 2 1   Giải -Đường thẳng 2; 1; 3 A   và có VTCP  và cắt cảhai đường thẳng       1 x y z x y z .     d d 1 2  1dđi qua         u  3;1;2 1       3 7 2 1 x y z t -Đường thẳng 2 d có PTTS là: t t -Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và đường thẳng   1;11;4 AM  , và (P) có VTPT Phương trình mặt phẳng       :18 3 10 10 P x y     -Gọi   2 B d P   . Tọa độ của B là nghiệm của hệphương trình 3 4 7 2 5 1 0 9x 5 16z 61 0 y       -Đường thẳng dđi qua điểm M 1d . Suy ra  18;10; 32               , n AM u 1      9x 5   16z 61 0   32 1 0 z y            x y z t         x y z t    4;5;0 B t      MB  1; 5; 1   và nhận vectơ     3;10;1   3 10 5 1 x y z . làm VTCP nên có phương trình:  1 1 Ta cũng có thể giải bài toán dạng này theo các cách sau: *Cách giải 2 -Chuyển phương trình đường thẳng a, b về dạng tham sốt và t’. -Gọi   ; A a A t B b            Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng dđi qua điểm  1; 1;1 A         Giải   . ' B t   t t -Do , , M A B MA kMB '   và cắt cảhai đường thẳng 2 t x y z t    1 3 1 x y z   và : : d d 2 1  2 1 2 3 t             1 2 ' 3 1 2 ' x y z t -Đường thẳng 1dcó phương trình tham số ' t t -Gọi: Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 15 https://dethiioe.com/

16. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP  1 1 1 2 '; 3 B d d B d B t t           2 2 2 ; ;3 C d d C d C t t t       -Do  , , 2 '; 2 A B C d AB kAC t                      3 ' ' 2 2 ' ' 0 4 ' 2 2 tt t t       '; 1 2 '   , t       '; 2 2 '       1 ; 1;3 1 t t k t t t       2 ' 2 ' 6 ' 2 ' tt 2 tt ' 2 t  ' tt t t tt t t 2 ' 1 2 t ' 2 2 ' 3 t t t t  2 ' 2 t  2 ' 2 1 1 t           1 tt t t t      tt t ' 0           1        1 x y z         -Với      0; 2; 2      1 ' 0 0;1;1 : 1 t t AB u d t d 1 t    x y z         -Với         . ' 0 1 0;2;2 0;1;1 : 1 t t AB u d t d 1 t Ví dụ 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng dđi qua điểm  M   1 3 2 2 1 : , : 3 2 1 2 3 5    Giải -Phương trình tham số 5 3 2 2 : 7 2 ; : 1 3 1 5 z t z t      -Gọi  1 2 , 5 3 ; 7 2 ; A d d B d d A t           1 2 1 2 , 13 8 13 16; 13 MA MB t t t t        cùng phương  và cắt cảhai đường thẳng 4; 5;3       1 x y z x y z .     d d 1 2 của đường thẳng các                   x y t x y t 1 2 d t d t 1 1 2 2 1 2      2 2 ; 1 3 ;1 5 t     2 t    , t t B t t 1 1 1 2 2 2   9 3 ; 2 2 ; 3 t          6 2 ;4 3 ; 2 5 t   , MA t t MB t 1 1 1 2 2          39 ; 13 t 24 31 48 1 2 t t 1 2 t t t t 2 1 2        2 0 t t     1     A,M,B thẳng hàng , 0 MA MB , MA MB 2          1; 3;2 ,   2; 1;1     . 3;2; 1 A B AB   M   - Đường thẳng d đi qua điểm và có VTCP 4; 5;3             4 3 5 2 t x y z t t        3;2; 1 : AB d 3 *Cách giải 3: ngoài hai cách giải trên, ta có thể viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng. -Lấy bất kỳđiểm Aa; Bb (thường chọn luôn trên đề). Tính ; . AM BM     Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 16 https://dethiioe.com/

17. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP -Gọi   P chứa AM và a n        .       ; từđó đưa ra kết luận.       và       Q chứa AM và b , AM u P a          P   , n AM u Q b       Gọi , Q u n n  P Q Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm  1; 1;1 M               : 1 0; : 2z 3 0 x y y         Giải -Đường thẳng A  và cắt cảhai đường thẳng 1 2 t x y z t và 2 d là giao tuyến của hai mặt phẳng : d 1 3 t  1dđi qua điểm  thẳng     u   có VTCP . 1;0;3 2;1; 1 1  -Đường B  2 d    điểm có VTCP đi qua 2;3;0      1 1 1 1 2 2 1 1 1 ; 0 0 1     1; 2;1  . ; u 2 -Gọi   VTPT là       1; 1;1   P là mặt phẳng qua   . Ta có:       và chứa đường thẳng 1d , có M   MA 0;1;2 P n      Do đó phương trình mp  3x-4y+2z 9 0   -Gọi   Q là mặt phẳng qua VTPT là Q n            n u       1 P    3; 4;2  1, n u MA P n MA P             hay P là: 3 1 4 1 2 1 0 x y z   1; 1;1    và chứa đường thẳng 2 d , có M  . Ta có:   MB   3;4; 1     Do đó phương trình mp  1 0 x y z     -Rõ ràng   và   Q .      + Từđó suy ra u  . + Vì thế trong   đường thẳng duy nhất cần tìm.  n u      2 Q           2, 2; 2; 2 n u MB Q  n MB Q              hay Q là: 2 1 2 1 2 1 0 x y z P cắt   Qvà xét đường thẳng d là giao tuyến của   P      4 2 2 3 3 ; 1 1 1 1 không cùng phương với 4      + Gọi là VTCP của d . ; 6; 1;7 u 1 1 và cũng không cùng 1u phương với 2 u 1d ; trong   P thì d cắt Q thì d cắt 2 d . Vậy d là Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 17 https://dethiioe.com/

18. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP      -Đường thẳng dđi qua điểm VTCP nên có phương trình: 1 6 1 1 7 z t  Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm   1;0;14 A  và cắt cảhai đường thẳng 1 1 3 3 4 : , : 1 1 6 2 2 1   1 14 : 3 1 9   1; 1;1  u    và nhận làm 6; 1;7 M           x y t t      x y z x y z     . d d 1 2   x y z Đs:   d BÀI TOÁN 7: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng   P , cắt hai đường thẳng , a bcho trước. *Cách giải -Gọi   P   P  Tọa độ A.  Tọa độ B.   A a -Gọi -Phương trình đường thẳng AB là phương trình đường thẳng phải tìm. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng  : P          1 z  Giải -Gọi   1 A P     Tọa độđiểm A thỏa mãn:   B b y  , cắt hai đường thẳng 2z 0      1 t 2 4 2    x y z t x y t .  và : : t 1 2 4 t Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 18 https://dethiioe.com/

19. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP                       -Gọi   2 B P     Tọa độđiểm B thỏa mãn: 2 5 4 2 2 5; 2;1 1 1 2z 0 y     -Đường thẳng cần tìm đi qua A và B nhận vectơ  1 t x y z y t 1 0 0 x y z   1;0;0 A 4 2z t 0           x y z t          x y z t     B     AB  4; 2;1  làm 1 x y z   . VTCP nên có phương trình  4 2 1 Bài tập áp dụng 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng  :          2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  : 1 1 : 1 1 2  1 2 1 2 : 1 1 4 z t     , cắt hai đường thẳng z 0 x 2 4 2 1 x y z t   2 5 x y z   và . : : b t a 1 3 1    , cắt hai đường thẳng 2y+1 0 x     2 1 x y z x y z     . và : d d 1 2 1            x y t  Đs: t BÀI TOÁN 8: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   P , cắt hai đường thẳng a, b cho trước. * Cách giải Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 19 https://dethiioe.com/

20. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP - Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận VTPT của (P) làm VTCP.   P n - Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và . Mặt phẳng (Q) đi qua một điểm M thuộc a và có VTPT là       u n     . , n Q a P   Q   - Tìm . B b   làm VTCP, từđó suy ra phương - Đường thẳng đi qua B và nhận trình. P n Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  :            Giải -Mặt phẳng   P có VTPT là là   1 1;1; 1 u   ; đường thẳng   3z 5   và cắt cả 2 0 P x y           1 2 3 4 5 x y z t x y z t hai đường thẳng và 1: 4 : d t d t 2 3 t t     P n   ; đường thẳng  2 u   1d có VTCP . 1;2; 3      2 d có VTCP là 2;1; 5   làm -Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   VTCP. -Gọi   Q là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và              1 0; 4;3 M d M Q     Phương trình mặt phẳng         1 0 2 4 1 3 0 x y z         -Gọi   2 B d Q   , tọa độ của B là nghiệm của hệphương trình 1 2 3 3 1 3; 1; 6 4 5 6 2 5 0 x y z       -Đường thẳng dđi qua B và nhận 3 1 6 1 2 3  P nên nhận P n 1d có VTPT là             . Ta có: 2 1 3 1 3 1 1 2 ; 1 1 1 1     1; 2; 1   , ; n n u n 1 Q P Q Q :    2 5 0 x y z             x y z t            x y z t       B t  làm VTCP nên có phương P n    x y z   trình . Ta cũng có thể giải bài toán dạng này bằng các cách sau: * Cách giải 2 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 20 https://dethiioe.com/

21. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP -Viết phương trình mặt phẳng   góc với mặt phẳng   -Viết phương trình mặt phẳng   góc với mặt phẳng       M     -Từđó viết phương trình  qua M có VTCP Với ví dụ 1, ta có lời giải sau: -Mặt phẳng   P có VTPT n    1 1;1; 1 u   và 2 u   -Vì   d P   VTCP của d là n  -Gọi   R là mặt phẳng chứa       Mặt khác,   R lại qua điểm M     2 4 3 0 2 x y z x y z           -Gọi   Q là mặt phẳng chứa       Mặt khác,   Q lại qua điểm M       7 1 11 3 5 4 0 x y z         -Do đó     d R Q   .  chứa đường thẳng a và vuông       P . Mặt phẳng       có VTPT là  . , n n u  P a  chứa đường thẳng b và vuông       P . Mặt phẳng       có VTPT là  . , n n u  P b -Tìm giao điểm   P n      ; đường thẳng  .  . 1d có VTCP 1;2; 3     2 d có VTCP 2;1; 5    1;2; 3 1d và vuông góc với (P). Suy ra        1 0; 4;3 d  nên có phương trình:    2 1 3 1 3 1 1 2 ; 1 1 1 1   1 VTPT của     R là ; 1; 2; 1 R n 5 0 2 d và vuông góc với (P). Suy ra         2 1; 3;4 d   nên có phương trình:        2 1 3 5 3 1 5  1 2 1 VTPT của     Q là ; ; 7;11;5 n Q 2 2 2 7x 11 5z 20 0 y M    có tọa độ thỏa mãn hệphương trình 5 2 15 2 -Điểm   ;0;           2 5 5z 20  0 x y z y  . nên M d 7x 11   0          5 2 t    x t  Suy ra phương trình của đường thẳng cần tìm . : 2 d y 15 2  3 z t *Cách giải 3 -Giả sử PTTS của hai đường thẳng a,b lần lượt là: x a y z  -Lấy  1 1 ; M a M x at y                         , ' ' x y z at bt b ct x y z x y z a s b s c s 1 2 : , : 1 2 ' 1 2           ; ' ; ' ; ' bt z ct N b N x a s y b s z c s 1 2 2 2 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 21 https://dethiioe.com/

22. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP  2 1 2 ' ; MN x a s x at y b s      ... . , ... s  -Đường thẳng dđi qua M và nhận MN trình của d. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  :         Suy ra: ' ; ' y bt z c s z ct 1 2 1         t   P -       Tọa độ của M, MN * d MN k n k    làm VTCP, từđó suy ra phương    đồng thời cắt z 1 0 P x y            1 1 t x y z t   1 1 x y z   , với t . cảhai đường thẳng và : d : d 2 1  2 1 1 Giải           1 2s 1 s x y z -PTTS của : d s 1     -Lấy     1 2 ; 1   s           . ; Suy ra ; 1 ; 1; M d M s s s N d N t t 1 2    2s 2; ;  MN t s t       4 5  t          1 5 3 5 2 5   P -       2s 2          * . , k n k ; ; d MN t s t s M  2 s 5         2 5 2 5 2 5     ; ; MN 1 5 3 5 2 5    x y z -Suy ra   : d 1 1 1 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:       :2x 1 0, : 2z 3 0, P y z Q x y R         2 1 : 2 1 3  trình đường thẳng d vuông góc với (R) và cắt cảhai đường thẳng  , 2  . 23 1 1 8 12 12 : . 1 2 3  BÀI TOÁN 9: Viết phương trình đường thẳng  là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng   Pcho trước.   3z 1 0  và đường thẳng : 2 x y   x y z  là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương    . Gọi 2 1 1    z x y   Đs: d Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 22 https://dethiioe.com/

23. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP *Có các khảnăng sau Nếu d Khi đó hình chiếu của d lên mặt phẳng   hình chiếu của một điểm bất kì của d trên   quy về tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng. Nếu   / / d P ( tức là VTCP u   P ). Khi đó, hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là một đường thẳng d’ song song với d. -VTCP của d’ là VTCP của d. -Tìm một điểm M’ trên d’ bằng cách: + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M bất kì trên d và vuông góc với mặt phẳng (P). + Gọi ' ( ) M P   . Tìm tọa độđiểm M’. -Đường thẳng d’đi qua M’ và có VTCP là phương trình của d’. Nếu d không vuông góc và không song song với   thực hiện theo các cách được trình bày sau đây. -Cách 1 + Chọn bất kỳhai điểm A; Bd ; sau đó tìm hình chiếu A’; B’ lên   P bằng cách viết đường thẳng đi qua A, B vuông góc với   P ; sau đó tìm giao điểm A’; B’. + Kết luận A’B’. -Cách 2 + Viết phương trình mặt phẳng   +  là hình chiếu của d lên mặt phẳng   Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng    mặt phẳng  :3x 2 15 0 P y z     a)Viết phương trình mặt phẳng   b)Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mặt phẳng   P . Giải a)Đường thẳng  là giao tuyến của    của d song song với VTPT n  của     P  (tức VTCP u P ). P là một điểm (cụ thể nó là P . Khi đó bài toán  của d vuông góc với VTPT n  của  . Từđó suy ra d u P , ta có thể Q chứa d và        P  . Q     P  . P Q            và : 5 0, :2x 3 4 0 x y z y z Q chứa  và     P  . Q  và    nên có VTCP là Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 23 https://dethiioe.com/

24. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP          1 1 1 1 1 ; 3 1 1 2 2 1 ;  A     thuộc .    ; 4;1;5 1;0;6 u 3           1 4 x y z t Phương trình đường thẳng : t 6 5 t   -Mặt phẳng   -Gọi           P n  3; 2; 1     P P có một VTPT là Q là mặt phẳng chứa  và     , 9;11;5 P u n      Mặt phẳng   Qđi qua phương trình   9 1 x  b)Gọi d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mặt phẳng , VTPT của   Q là: Q  n Q         A  n  và có một VTPT nên có 1;0;6 9;11;5 Q       9x 11   5z 21 0  11 5 6 0 y z y         9 4   x t   P thì:     P   Phương trình của d :   24 d Q y t 27 4  51 z t Ví dụ2: (Đề dự bị 1- Đại học khối A năm 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có      0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;0 , ' 0;0;2 A B C a)Chứng minh A’C vuông góc với BC’. Viết phương trình mặt phẳng (ABC’). b)Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’ trên mặt phẳng (ABC’). Giải a)        0;0;0 , 2;0;0 , 0;2;0 , ' 0;0;2 A B C A Ta có:    ' 0;2; 2 , ' 2;2;2 A C BC     ' ' A C BC   ' ' ' ' ' A C AB   Suy ra (ABC’) qua A(0;0;0) và có VTPT là trình là       ' :0 0 2 0 ABC x y       ' ' 2;2;0 B C BC    Gọi    là mặt phẳng chứa B’C’ và vuông góc với (ABC’).  VTPT của    là: n   ' ', ' 4; 4; 4 B C A C        . Chọn Phương trình      :1 0 1 x       . A      ' 0;2;2     C      0 4 4     ' . ' 0 A C BC    A C BC     Ta có: A C ABC     A C   0    nên có phương ' 0;2; 2     . 2 0 0 z y z     b)Ta có cùng phương với vectơ  1;1;1 n   2 y                  1 2 0 4 0 z x y z Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 24 https://dethiioe.com/

25. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Hình chiếu d của B’C’ lên (ABC’) là giao tuyến của   (ABC’). 4 2 : d y t z t  Bài tập áp dụng 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình hình  với        x t Phương trình   1 2 x y z   chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng : d  1 2 3   Oxy .         x y z t ( là hình chiếu của d trên    Đs: Oxy ). : 4 2 0 t 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm        3;4;1 , 1; 2;5 , 1;7;1 , 1;4;2 A B C D   vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng  Đs:  :3x 2 6z 23 0 ABC y     Mặt phẳng chứa AD và vuông góc với (ABC) là  :2x 15 4z 50 0 P y         d ABC P   là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng   ABC . BÀI TOÁN 10:Viết phương trình đường thẳng đi qua A  vuông góc với đường thẳng d cho trước.  . Viết phương trình hình chiếu  ABC . P ,  P và *Cách giải -Tính VTCP           , u u n  d P -Kết luận. Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 25 https://dethiioe.com/

26. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng       a)Tìm giao điểm A của  và   P . b)Viết phương trình đường thẳng ’ đi qua A, ’ nằm trong   đồng thời ’. Giải a)Tọa độgiao điểm của  và   P là nghiệm của hệphương trình:                         b)Gọi   Suy ra    1; 1;1 A  và   Q có một VTPT là Phương trình      :0 1 0 1 Q x y    Dễ thấy     ' P Q       1 x y z  : P    và đường thẳng . 1 0 : 1 x y z t P và 1 x y z x 1 x y z 1 . Vậy   1; 1;1  . 1 A t y 1 1 0 z Q là mặt phẳng qua A và   Q qua  Q          . 0;0;1 n a          1 1 0 1 0 z z         x y z t Từđó suy ra phương trình đường thẳng ’ phải tìm là: t 1 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm   1;2; 1 A  2;1;1 B ,   0;1;2 C và đường thẳng    1 1 2 x y z  ,    . Lập : d  2 1 2 phương trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. Giải -Ta có     1; 1;2 , 1; 1;3 AB AC      Phương trình mặt phẳng  ABC -Gọi trực tâm                      -Do   ABC   và               x                    , 1; 5; 2 AB AC : x  2z 9   5 0 y ABC của là   . 0 BH AC              2 3 3 0  2 1 1 a b a b a c c a b c       ; ; : . 0 2;1;1 H a b c CH AB H H   5 2 9 b c ABC vuông góc với d          u   n    ABC    nên , 12;2; 11 u n u ABC d u u  d    2 1 1 y z -Phương trình đường thẳng   : . 12 2 11 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 26 https://dethiioe.com/

27. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  : 2 5 0 P x y z     , đường thẳng : d    3 1 3 x y z   . Viết phương trình 2 1 1 đường thẳng  nằm trên (P), đi qua giao điểm của dvà (P), đồng thời vuông góc với d. 1 : 4 z t            x y t  Đs: t BÀI TOÁN 11:Viết phương trình đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b chéo nhau. *Cách giải -Đường thẳng  có VTCP là          , u u u a b - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa a và . Mặt phẳng (P) có VTPT là     -Tìm   B b P   .     và đi qua một điểm bất kì trên a. , n u u a         -Đường thẳng đi qua B và có VTCP  . Từđó suy ra phương , u u u a b trình đường vuông góc chung . Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai đường thẳng 1 2 : 1 3 z  a)Chứng minh rằng b)Viết phương trình đường vuông góc chung của          x y t   1 2 x y z   và :2 d t d 2 1  1 1 1d và 2 d chéo nhau. 1d và 2 d . Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 27 https://dethiioe.com/

28. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Giải a)+    u    2; 1;1   2;1;0 1d qua M(0;1;-2), có VTCP +  1 2 , 1;2;4 , u u      + 1 2 , . 21 0 u u MN      b)+ Gọi là đường vuông góc chung của   1 2 , 1;2;4 u u u        . + Gọi (P) là mặt phẳng chứa   6; 9;3 n u u         . +M(0;1;-2)  : 6( 0) 9( 1) 3( P x y     + Gọi   2 B d P   Tọa độ của B là nghiệm của hệphương trình 1 2 1 1 2 3 3 2x 3 5 0 y z       + Đường thẳng đi qua B và nhận vectơ u 1 2 : 1 2  Ta cũng có thể giải bài toán này với cách giải sau: *Cách giải 2 1  u  2 d qua N(-1;1;3), có VTCP    2        + 1;0;5 MN        1d và 2 d chéo nhau. 2 d có VTCP là 1d và     1d và (P) có VTPT là    1, 1d M(P)  mặt phẳng Phương trình        . 2) 0 2x 3 5 0 z y z            x y z t        x y z t     1;2;3 B  làm VTCP nên có    3 x y z    . phương trình: 4         AB   a -Giả sửAB là đường vuông góc chung của a,b nên AB b    tươngứng là VTCP của a,b thì      u u     -Gọi  là VTCP , , u u u a b a b của AB. -Gọi   xác định bởi AB và b, thì P là mặt phẳng xác định bởi AB và a,   Q là mặt phẳng     P   AB Q Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 28 https://dethiioe.com/

29. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Cách giải trình bày ởtrên cho phương trình đường vuông góc chung, nhưng không cho trực tiếp tọa độ của chân đường vuông góc chung. Ta cũng có thể giải bài toán này dựa vào việc tính tọa độ hai chân đường vuông góc chung, từđó quy bài toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b chéo nhau thành bài toán quen thuộc: viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Với cách giải này ta thực hiện như sau: -Giả sửcác phương trình tương ứng dạng tham số của a và b là: x x at a y y bt b z z ct    -Gọi A,B tương ứng là chân đường vuông góc chung trên a và b thì tọa độ của A,B là:  1 1 1 ; ; A x at y bt z    2 1 2 1 ' ; ' AB x x a s at y y b s bt z            '; '; ' b AB b AB u a b c              2 1 2 ' ' ' a x x a s at b y        -Giải hệ trên ta suy ra t và s, và vì thế A,B hoàn toàn xác định. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 1 2 : 2 3 1 1 5 a)Chứng minh rằng b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. Giải a)Đường thẳng  1 1;1;2 M  thẳng   M  và có VTCP                 Suy ra 1 2 1 2 , . 33 15 14 u u M M         thẳng chéo nhau. b)Gọi là đường vuông góc chung của  là   11;5;7 u   .                    ' ' x y z x y z a s b s c s 1 2 : , : 1 2 ' 1 2        Từđó , ' ; ' ; ' . ct B x a s y b s z c s 2 2 2       ; ' . z c s ct 2 1               ; ; a b c AB   u    AB   a a -Vì  nên ta có hệphương trình sau đểxác định t   c z                ' ' ' 0  a x x a s at b y y b s bt  c z  z  c s ct  2 1 2 1 y 2 1 và s:      ' ' ' 0 b s bt z c s ct 1 2 1      2 2 x y z x y z     và : . d d 1 2 2 1d và 2 dlà hai đường thẳng chéo nhau.     u  1d qua và có VTCP   ; đường 2;3;1 1   u   2 d qua . Khi đó: 22; 2;0 1;5; 2 2      3 5 1 1 2 2 3 ; 2 1 1 5      3; 3; 2   , ; 11;5;7 , u u u M M 1 2 1 2 2        . Vậy 1d và 2 dlà hai đường 62 0 1d và 2 d , suy ra VTCP của  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 29 https://dethiioe.com/

30. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP -Gọi   P là mặt phẳng chứa  và   16; 25;43 u u        và đi qua điểm phương trình:     16 1 25 1 x y    -Gọi   Q là mặt phẳng chứa  và  45;15;60 u u       M  của nên       3 2 2 4 0 0 3x x y z              P Q    nên điểm  ; ; M x y z bất kì thuộc  khi chỉ khi tọa độ 1d . Suy ra    1 1;1;2 M   2 0    2 d . Suy ra     Q n     Q có   . P có VTPT là      1d nên   của P có 1, P n   16x 25   43z 45   . 43 0 z y Q có VTPT cùng  3;1;4 và đi qua điểm      phương với vectơ 2, 2 d phương trình: 22; 2;0 4z 4 0 y        16x 3x  25 y  43z 45 4z 4   0 y của nó thỏa mãn hệphương trình:  0         145 91 71 91 7 t   11 x t -Từđó suy ra phương trình tham số của :   5 y t  z Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 3 4 1 4 : ; : 2 3 5 3 2    Tìm phương trình chính tắc của đường vuông góc chung d của D . Tìm tọa độgiao điểm H,K của d với Giải 2 2 2 3 4 : 3 3 2 3 5 4 5 z t  1 3 ' 1 4 4 : 4 2 ' 3 2 1 4 ' z t        3 3 ' 2 ;1 2 ' 3 ;8 ' 5 HK t t t t t t         HK là đường vuông góc chung nên:                                  3 3 3 ' 2 2 1 2 ' 3 8 ' 5 t t t t t t                   4 x y z x y z .     D D 1 2 1 D và 1 D , D . 1 2 2           x y t t      x y z      a   ; D có một VTCP là . 2;3; 5 D 1 1           x y t      x y z      b  3; 2; 1 .   ; D có một VTCP là D t 2 2       2 ;3 3 ; 4 5 t t     2   H D H t 1  1 3 ';4 2 ';4 t ' K  D K t t 2     HK HK D D . 0 HK  a  HK a   1 . 0 HK b HK b 2    3 3 ' 2 t     3 1 2 ' 3       2 5 8 ' 5 0 t t t t t             5 ' 38 14 ' 5 t  43 19 0 0 1 t t t t t    ' 1  0 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 30 https://dethiioe.com/

31. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP       0;0;1 , 2;2;3 , 2;2;2 H K HK  Và phương trình chính tắc của đường vuông góc chung HK là: 1. 2 2 2 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 : 0 ; 5 z t     a)Chứng minh rằng b)Gọi đường vuông góc chung của Tìm tọa độ của M,N và viết phương trình tham số của đường thẳng MN. 4 4 : 6 2 4 z t   Vậy z x y                  0 4 2 ' 5 3 '   x y t x y z . : d d t 1 2 t 1d và 2 dlà hai đường thẳng chéo nhau. 2 d là MN     1d và . , M d N d 1 2          x y t     Đs: 4;0; 2 ,  ; 0;6;2 M N MN t Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 31 https://dethiioe.com/

32. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP III/ PHẦN KIẾN NGHỊ, KẾT LUẬN III.1)Kiến nghị * Đối với ban giám hiệu trường: -Thường xuyên tổ chức, triển khai các chuyên đề toán học cho giáo viên và học sinh. -Tạo điều kiện thuận lợi về thời gian cho giáo viên được mở rộng kiến thức, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. * Đối với giáo viên: quan tâm thực sựđến chất lượng học tập của học sinh, đồng nghĩa với chăm lo cho thành quả dạy học của mình. III.2) Kết luận Tôi đã sử dụng đề tài “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP”để dạy cho các em học sinh lớp 12 tại trường THPT nơi tôi đang công tác và nhận thấy:  Khi học sinh nắm được nội dung phương pháp và giải được các bài toán, các em sẽ tích cực và hứng thú học tập hơn. Từđó khuyến khích các em học sinh tư duy, tìm tòi cách giải hay hơn cho các bài toán và khắc sâu kiến thức.  Sau khi nắm được phương pháp, học sinh cũng không bị lệ thuộc vào một cách giải nào, không bị mất tính sáng tạo của học sinh. Trên đây là kinh nghiệm ít ỏi của bản thân được rút ra trong quá trình giảng dạy và thông qua một số tài liệu tham khảo nên không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy rất mong nhận được sựđóng góp ý kiến trân thành của đồng nghiệp, tổ chuyên môn và hội đồng xét duyệt để sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn chỉnh hơn và được áp dụng có hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy kiến thức về giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian. Tôi xin chân thành cảm ơn! Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 32 https://dethiioe.com/

33. SKKN:MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (2008 tổng chủ biên), Hình học 12, NXB Giáo dục. [2] Trần Văn Hạo (2008 tổng chủ biên), Sách giáo viên Hình học 12, NXB Giáo dục. [3] Phan Huy Khải (2008), Trọng tâm kiến thức và bài tập Hình học 12, NXB Giáo dục. [4] Lê Quang Ánh (1997), 360 bài toán chọn lọc Hình học giải tích, NXB Giáo dục. [5] Phan Lưu Biên, Trần Thành Minh, Trần quang Nghĩa (2008), Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm hình học 12, NXB Giáo dục. Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 33 https://dethiioe.com/