GCET059 Slides Sistemas Lineares B

1. Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Cálculo Numérico I Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

2. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

3. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

4. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n×n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

5. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n×n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em propor- ções absurdas, à medida que n cresce. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

6. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n×n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em propor- ções absurdas, à medida que n cresce. Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações superior a 1020e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

7. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Alguns dos métodos diretos para a obtenção da solução de um sistema linear já são conhecidos. Por exemplo, os métodos da substituição, da adição e o de Crammer. Se fôssemos aplicar este método para encontrarmos a solução de um sistema linear n×n teríamos que calcular (n + 1) determinantes de ordem n. Além disso, a quantidade de operações envolvidas neste cálculo aumentaria em propor- ções absurdas, à medida que n cresce. Prova-se que, para um sistema de ordem n = 20, efetua-se um número de operações superior a 1020e, mesmo que, um computador processe cerca de bilhões de operações por segundo, ele levaria mais de 1000 anos para determinar esta solução. Desta forma, a obtenção de métodos mais eficientes se faz necessário, visto que a resolução de sistemas lineares de grande ordem está associado a problemas do cotidiano. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

8. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

9. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1e, em seguida, o cálculo de A−1B não é aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de operações. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

10. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1e, em seguida, o cálculo de A−1B não é aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de operações. Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos menci- onados até aqui. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

11. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Com o resultado do teorema anterior, podemos concluir, é claro, que se uma matriz quadrada A é não singular (inversível), então temos que a solução do sistema AX = B é única, pois, AX = B ⇔ X = A−1B. Porém, a utilização do cálculo da matriz A−1e, em seguida, o cálculo de A−1B não é aconselhável, visto que, ainda é um processo que envolve um grande número de operações. Os métodos que veremos a seguir são mais razoáveis, pois, efetuam uma quantidade bastante inferior de operações, se compararmos com qualquer um dos métodos menci- onados até aqui. Na interpretação geométrica de um sistema linear 2×2, observe que poderíamos construir infinitos conjuntos de duas retas concorrentes cuja intersecção é um mesmo ponto. Portanto, cada um desses conjuntos formaria um sistema linear que teriam em comum a mesma solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

12. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Assim definimos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

13. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Assim definimos: Definition Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

14. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Assim definimos: Definition Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. A conclusão óbvia que devemos ter, portanto, é que uma estratégia para solucionar um sistema linear é transformá-lo em um sistema equivalente cuja solução é conhecida. Esta é a estratégia por trás de todos os métodos exatos. Na verdade, procura-se transformar o sistema original em outro equivalente na forma triangular. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

15. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

16. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular inferior se tiver a forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

17. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular inferior se tiver a forma:    a11x1 a21x1 a31x1 b1 b2 b2 = = = ... =       a22x2 a22x2   + +   a23x3 + an1x1 an2x2 annxn bn + + + ... 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

18. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular superior se tiver a forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

19. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular superior se tiver a forma:   a11x1 a12x2 a22x2 a1nxn a2nxn b1 b2 + + + + + = = ... = ... ...        annxn bn 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

20. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Definition Um sistema linear é: triangular superior se tiver a forma:   a11x1 a12x2 a22x2 a1nxn a2nxn b1 b2 + + + + + = = ... = ... ...        annxn bn Em ambos os casos, assumimos que os elementos da diagonal principal da matriz A sejam todos não nulos para que o sistema tenha uma única solução. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

21. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e por retro-substituição, no segundo. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

22. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e por retro-substituição, no segundo. Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1na primeira equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2e assim por diante. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

23. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Observe que a solução tanto de um sistema triangular inferior quanto de um triangular superior pode ser calculada imediatamente por substituição direta, no primeiro caso, e por retro-substituição, no segundo. Em outras palavras, no caso triangular inferior: determinamos o valor de x1na primeira equação, substituímos esse valor na segunda e determinamos então x2e assim por diante. No caso triangular superior fazemos de trás para frente começando com xne voltando até obter x1. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

24. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

25. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: Triangular Inferior 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

26. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: Triangular Inferior    b1 a11 bi−   x1   =       i−1 ∑ aii (1) aijxj j=1 xi ; i = 2,3,...,n. = 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

27. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: Triangular Superior 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

28. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Algebricamente essas soluções são definidas pelos algoritmos: Triangular Superior    bn ann bi−   xn   =       n ∑ aii (1) aijxj j=i+1 xi ; i = n − 1,...,1. = 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

29. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

30. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

31. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

32. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz     a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 a1n a2n ... ann ... ... ... ...   A = (2) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

33. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz     a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 a1n a2n ... ann ... ... ... ...   A = (2) Os menores principais Akde A de ordem k = 1,2,...,n, são definidos pelas sub-matrizes: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

34. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Menores Principais Considere a matriz     a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 a1n a2n ... ann ... ... ... ...   A = (2) Os menores principais Akde A de ordem k = 1,2,...,n, são definidos pelas sub-matrizes:   CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento  ,k = 1,2,...,n. 27 de fevereiro de 2023 a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 a1k a2k ... akk ... ... ... ...   Ak= (3) 3

35. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui os determinantes de todos os menores principais não nulos. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

36. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui os determinantes de todos os menores principais não nulos. O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples, consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original (escalona- mento). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

37. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Consideremos um sistema linear Ax = B, onde A possui os determinantes de todos os menores principais não nulos. O método da eliminação de Gauss, também chamado de método de Gauss Simples, consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular equivalente através de uma sequência de operações elementares sobre as linhas do sistema original (escalona- mento). Essas operações são obtidas utilizando-se as operações elementares definidas no Teorema a seguir. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

38. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

39. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′equivalente a AX = B. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

40. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′equivalente a AX = B. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

41. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′equivalente a AX = B. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

42. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Theorem Seja AX = B um sistema linear. Aplicando-se sobre as equações desse sistema linear as operações escolhidas entre: 1 trocar duas equações; 2 multiplicar uma equação por uma constante não nula; 3 adicionar a uma das equação um múltiplo qualquer não nulo de uma das outras equações, obtemos um novo sistema linear A′X = B′equivalente a AX = B. Observação Este escalonamento pode ser feito utilizando-se a matriz estendida que representa o sistema. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

43. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

44. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente   a11x1 a12x2 a22x2 a1nxn a2nxn b1 b2 + + + + + = = ... = ... ...        annxn bn 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

45. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Considere o sistema linear AX = B com det(A) ̸= 0 e o sistema linear equivalente   e suponha akk̸= 0 no início da etapa k. a11x1 a12x2 a22x2 a1nxn a2nxn b1 b2 + + + + + = = ... = ... ...        annxn bn 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

46. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Método da eliminação de Gauss Eliminação para k = 1,...,n − 1 para i = k + 1,...,n m =aik akk aik̸= 0 para j = k + 1,...,n. aij= aij− makj bi= bi− mbk Resolução xn=bn ann para k = n − 1,...,1 s = 0 para j = k + 1,...,n s = s + akjxj xk= bk− akk s 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

47. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

48. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik=aik akk; i = k + 1,...,n. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

49. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik=aik akk; i = k + 1,...,n. e, por isso, não podemos ter akk= 0. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

50. Métodos Diretos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss Observe que na utilização deste método calculamos os coeficientes (multiplicadores) mik=aik akk; i = k + 1,...,n. e, por isso, não podemos ter akk= 0. Para o elemento pivô akkpróximo de zero devemos ter uma especial atenção visto que estes dão origem a multiplicadores bem maiores que 1 e, por sua vez, tornam os erros de arredondamento maiores. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023