Clase Logica Matemática

1. Lógica Matemática Contenidos Métodos de razonamiento 1.1. inductivo 1.2. deductivo Proposiciones Conectivos lógicos Tablas de verdad Argumentos

2. Métodos de Razonamiento Lógicos Los métodos lógicos se utilizan en las matemáticas para demostrar teoremas. La lógica utiliza 3 formas de pensamiento (métodos de razonamiento) que permiten determinar si la conclusión es correcta o incorrecta estos métodos son: • Inductivo: se caracteriza por permitir llegar a una conclusión general a partir de observaciones repetidas de ejemplos específicos. Ejemplo: “La casa de Juan tiene techo de lámina” y “Las tres casas cercanas a la de Juan también tienen techo de lámina”. La conclusión es: “Por tanto, todas las casas de la comunidad donde vive Juan tienen techo de lámina”. Las premisas son proposiciones específicas y se llega a una conclusión general.

3. Continua……. • Deductivo: se caracteriza por permitir llegar a una conclusión específica mediante la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. Ejemplo: “Todos los jóvenes que estudian tendrán éxito en la “vida” y “Juan es un joven que estudia”. La conclusión es: “Por tanto, Juan tendrá éxito en la vida”. Este razonamiento va de lo general a lo específico. • Analógico: La conclusión tiene el mismo grado de generalidad que las deducciones originales. Ejemplo: Si mi carro de marca Toyota resulto ser muy económico, entonces, si compro otro de la misma marca me saldrá igual de económico.

4. Proposición Es una oración que se caracteriza por ser verdadera o falsa. Generalmente se escribe con letras minúsculas: p, q, r, s, t… una proposición siempre se puede negar para ello se utiliza antes de la letra el símbolo “~” Ejemplo: p: La tierra es redonda. q: El plástico es dañino para el medio ambiente. -r: La tala de arboles no beneficia al medio ambiente. • Compuestas: es la combinación de dos o mas proposiciones simples, unidas por conectivos lógicos (“y, o, si….entonces, si y solo si). Ejemplo: Los tigres son animales mamíferos y las ballenas están peligro de extinción.

5. Conectivos lógicos • Conjunción (ᴧ): la proposición es verdadera solo cuando las proposiciones que la forman son verdaderas. Se denota p ᴧ q. Ejemplo: p: la contaminación daña el medio ambiente q: el aire esta contaminado p ᴧ q : La contaminación daña el medio ambiente y el aire esta contaminado. • Disyunción (ν): la proposición es verdadera si una o ambas proposiciones que la forman son verdaderas. Se denota. p ν q. Ejemplo: p: Javier es profesor q: Carlos es ingeniero p ν q: Javier es profesor o Carlos es ingeniero.

6. Continua…….. • Implicación o Condicional (→): la proposición es verdadera solo cuando las proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad o el antecedente es falso y el consecuente es verdadero. Ejemplo: p: Luis hace ejercicio periódicamente q: Tendrá buena salud p → q : Si Luis hace ejercicio periódicamente entonces, tendrá buena salud. • Doble Implicación o Equivalencia (↔): la proposición es verdadera solo cuando las proposiciones tengan el mismo valor de verdad. Se denota p ↔ q Ejemplo: p: Mario es buen estudiante q: entrega tareas p ↔ q: Mario es buen estudiante si y solo si entrega tareas.

7. Tablas de verdad Una tabla de verdad organiza los valores de verdad de proposiciones compuestas para cada combinación posible de dos o mas proposiciones simples. Como se muestra en la tabla siguiente. Estos valores se obtienen a través de la siguiente expresión: • Tablas de los conectivos lógicos: Conjunción Disyunción ImplicaciónBicondicional Negación

8. Continua….. Tautología: Cuando todos los valores de la ultima columna en la tabla son verdaderos. Contradicción: Cuando todos los valores de la ultima columna en la tabla son falsos. Contingencia: Cuando todos los valores de la ultima columna en la tabla son verdaderos.

9. Continua…… Axioma: es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración. Ejemplo: “El todo es mayor que cualquiera de sus partes” Postulado: es una proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración. Ejemplo: “La suma de dos números es única” Teorema: es una proposición cuya verdad necesita demostración. Ejemplo: “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos” Corolario: es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Ejemplo: “La suma de los ángulos agudos interiores de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo recto” Falacia lógica: es un modo de razonamiento que siempre o casi siempre conduce a un argumento incorrecto. Ejemplo: “Todas las personas altas que conozco corren rápido, por tanto, todas las personas altas corren rápido”

10. Argumentos Un argumento esta conformado por un conjunto de proposiciones. La primera parte se conoce como “premisa” y la ultima como “conclusión”. Un argumento se denota como: Ejemplo: Si Pablo utiliza la estufa solar ahorrara leña. Premisa: Pablo utiliza la estufa solar. Conclusión: Por lo tanto Pablo ahorrara leña p → q p q (p → q) ᴧ p → q