Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 TỔ TOÁN –––––––––&–––––––– MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI TOÁN Người thực hiện: PHẠM VĂN GIA Chức vụ: Giáo viên Lạng Giang, tháng 10 năm 2014 0 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

2. MỤC LỤC NỘI DUNG Trang Phần I: Mở đầu………………..………………………….................... 2 I. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 2 II. Mục đích nghiên cứu........................................................................... 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................... 2 IV. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... 3 V. Phạm vi nghiên cứu............................................................................. 3 VI. Những đóng góp của đề tài................................................................. 3 Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài........................................ 4 Chương II: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải 7 phương trình, hệ phương trình đại số ...................................................... Chương III: Ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong bài toán 19 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số................................................. Chương IV: Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa trong bài toán 26 tính tích phân .................................................................................... Chương V: Kết quả nghiên cứu........................................................ 33 Phần III: Kết luận và đề nghị..............…………………………...…… 34 Danh mục tài liệu tham khảo................................................................... 35 1 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

3. PHẦN I: MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết . Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH- CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn. Để đáp ứng yêu cầu đó, tôi xin viết chuyên đề “Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân. Hy vọng chuyên đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp này. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa các bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải toán Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của hệ thống các câu hỏi và bài tập đã được xây dựng 2 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

4. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tài liệu tham khảo. Điều tra, khảo sát thực tế học sinh. Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn. Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Trình bày rõ được cơ sở lí luận của phương pháp. Trình bày được 3 ứng dụng quan trọng của đề tài trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số; tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân. Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, góp phần đổi mới phương pháp dạy học. 3 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

5. PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hoá đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá. Những kiến thức liên quan: 1. Các hàm số cơ bản:   y cos x y sin x a. Hàm số: , . Miền xác định: R. Miền giá trị:   1;1  . Chu kì: 2 .  y tan x b. Hàm số: .           Miền xác định: R \ k , k Z . 2 Miền giá trị: R. Chu kì:  .  y cot x c. Hàm số: .     Miền xác định: R \ k , k Z . Miền giá trị: R. Chu kì:  . 4 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

6. 2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:         Nếu A sin x cos x 2cos( x ) 2sin( x ) thì ta có 4 4    2 A 2 .         Nếu B cos x sin x 2cos( x ) 2sin( x ) thì ta có 4 4    2 B 2 .              Nếu 2 2 2 2 C sin x cos x C thì ta có . Nếu    .   n n thì ta có 1 D 1 D cos x sin x 3. Phép đổi biến số:          Nếu x k k ,( 0) x k cos , 0; thì ta đặt hoặc              x k sin , ; . 2 2               Nếu x R x tan , ; thì ta đặt . 2 2    Nếu , x y thoả mãn điều kiện 2 2 2 2 2,( , , a b c a x b y c 0) thì ta đặt c a c b          x sin y cos , 0;2 , .       thì ta có thể đặt Nếu , , x y z thoả mãn x y z xyz xy yz zx 1 hoặc         với , ,            ; y tan , z tan , x tan 2 2 5 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

7. 4.Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp: Biểu thức Cách đặt Miền giá trị của biến           x a tan  2 2 x a    ; 2 2   x a cot (hoặc )      0; (hoặc )           x a sin  2 2 a x    ; 2 2   x a cos (hoặc )      0; (hoặc )        a  2 2   x a     0; \ x  2 cos   a         \ 0     ; a hoặc hoặc  sin 2 2     x a cos2 R     a a x x a a x x hoặc   R     2   x a ( b a )sin ( x a b )( x )         x y x y          x y tan tan     hoặc 1 , ;   1 xy xy 2 2 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được rất ít em tập trung làm bài tập dạng này Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng toán này, một số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống . 6 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

8. Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. Dạng 1: Giải phương trình đa thức 1 2      3 4 x 3 x 0 1 Ví dụ 1: Giải phương trình Giải 1 2   đồng biến và   1 x  , hàm số  nên (1) vô    3 1; y 0 y 4 x 3 x + Xét với nghiệm 1 2   đồng biến và   1 x   y   nên (1)    3 ; 1 0 y 4 x 3 x , hàm số + Xét với vô nghiệm     x     1;1 t 0; + Xét với . Khi đó ta đặt với . Phương trình lúc này x cos t có dạng     k 2 3 k  t 1 2 1 2 9       3 4cos t 3cos t 0 cos3 t   2 3     t 9                       t x cos 9 7 9 7          t 0; t x cos Vì nên 9  9  5 5   t x cos 9 9 + Vì phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên chúng có tối đa 3 nghiệm , do đó phương trình (1) có đúng 3 nghiệm ở trên. 7 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

9.   3 Chú ý:Trong phương trình có chứa , đây là dấu hiệu giúp đặt 4 x 3 x x cos t để sử dụng công thức góc nhân bavới cos3t   x 0;1 Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình 1 x          2 2 32 x x 1 2 x 1 1 1 Giải         x   0;1 t 0;2 Vì nên ta đặt với . Ta có phương trình x cos t 1        2 2 32cos cos t t 1 2cos t 1 1 cos  t       1 cos     2 2 2 2 32cos .sin .cos 2 t t t cos t 1 2sin 4 t t cos8 t cos 2 t        t 0;2 Giải (2) và kết hợp điều kiện ta được các nghiệm    2 2 4    t ; t ; t 1 2 3 7 9 9    2 2 4    x cos ; x cos ; x cos Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm 1 2 3 7 9 9    1 0   . Chứng minh có 3 nghiệm 3 x x x Ví dụ 3: Cho phương trình x 3 x 1 2 3   2 3 x 2 x thỏa mãn 2 Giải Đặt   Do tính liên tục của    . Ta có  f x nên        2        3 f 2 0; f 1 0; f 0 f x x 3 x 1 f x  có 3 nghiệm   0 x x x thỏa mãn 1 2 3             2 x 1 x 1 x 2 x 2 i 1,2,3 1 2 3 i        0 0 Khi đó ta đặt x 2cos , 0 ;180 8 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

10. 1 2    1 0       3 8cos 6cos cos3 Phương trình có dạng 1 2   nên phương trình    có 3 nghiệm   0 0 cos3 Vì 0 ;180       0 0 0 160 ; 80 ; 40 1 2 3   2 3 x 2 x Vì vậy ... Dễ thấy 2 Một số bài tập tương tự     có nghiệm thực 6 4 2 Bài 1: Chứng minh rằng phương trình 64 x 96 x 36 x 3 0     2 2 2 2 2 2 2 3    x x x thỏa mãn điều kiện 0 0    Bài 2: Trên đoạn       có bao nhiêu 2 4 2 0;1 phương trình 8 1 2 x x 8 x 8 x 1 1 nghiệm? Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ      1 2 1   2 2 1 1 x x x Ví dụ 1: Giải phương trình Giải:            . Đặt    Điều kiện xác định: 1 x 1 x sin ; t t ; 2 2 Ta có phương trình         t t t t     sin 1 2cos t    1 2 1 2sin       2 1 cos t t 2cos 2sin cos 2 2 2 2 t t 2 3 2 t 2   1      3 3sin 4sin sin 2 2 2 2 9 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

11.           1 2 1 t    x       6     Giải (1) và kết hợp điều kiện t ; ta được 2 2   x t 2           3 3         2 2 1 1 x 1 x 1 x 2 1 x Ví dụ 2: Giải phương trình Giải      . Đặt    Điều kiện xác định: 1 x 1 x cos ; t t 0; Ta có phương trình           3 3 1 sin  1 cos   1 cos    t t t t 2 sin 2             t t t t      3 3 t sin cos cos sin 2 2 2 sin 2 2    2 2          t t t t t t    1 sin cos  2 sin   sin cos cos sin 2 2 t 2 2 2 2 2 1 2   1   2 sin        t 2cos t 1 0 cos t x 2 2 1 x  Vậy phương trình có nghiệm 2     3     3 2 2 x 1 x x 2 1 x Ví dụ 3: Giải phương trình Giải      . Đặt    Điều kiện xác định: 1 x 1 x cos ; t t 0; Ta có phương trình     3  1 cos   2 1 cos  3 2 2 cos t t cos t t    3 3 cos t sin t 2cos .sin t t 10 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

12.      1 sin .cos   sin t cos t t t 2cos .sin t t  2 z 1      sin cos sin .cos t ; 2 z t t t z Đặt . Phương trình trở thành 2        2 z 1 2           2 3 2 z z z z z 1 1 2 3 2 0 2 2       z 2               2 z z z z 2 2 2 1 0 2 1 2 1(  z loai )         2         z 2 sin t 1 t x Với 4 4 2 Với           2 z 1 2, sin t cos t 1 2 1 2 x 1 x    1 2 2 2 1   x 2    2 1 2 2 2 1   x ; x Vậy phương trinh có 2 nghiệm 2 2 Ví dụ 4: Giải phương trình         1 x 1 1 x 1 2 x Giải:    Điều kiện xác định: 1 x 1 2 2               1 x 1 x   1 nên đặt Nhận xét rằng: 2 2         1 x 1 x    cos , t sin t t 0; 2 2 2       2 1 x 2cos , 1 t x 2sin , t x 2cos t 1 Từ đó ta có 11 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

13. Phương trình trở thành          2 2cos t 1 2sin t 1 2 2cos t 1             2cos t 1 2sin t 2 2cos t 1 0     B 1 0   t A 2cos   1 0   t t 2sin 2 2cos  2 1 x 2         A t x cos 0 2 2 2          B  1 2 2cos       2sin t t Do 0 t ,sin t 0,cos t 0 2    2 1 cos  1 4 2cos    2 2 t t 8cos t   1 0   2 10cos      t 4 2cos t  2    cos t < 0 loai 24 25 2 2     x  cos t 10 24 25 x   Tóm lại phương trình có hai nghiệm x =0 và 1 2   2 x 1 x   1 2   2 x 1 Ví dụ 5: Giải phương trình 2 Giải:   2 1 2      2 2 x 1 x x 1 x Nhận xét rằng: nên điều kiên xác định của phương   x  1;1 trình là        t 0; sin t 0 Đặt với x cos t 12 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

14. Khi đó phương trình (1) có dạng   cos sin 2 t t               cos2 t cos t cos2 2 t 4 Xét 2 trường hợp               3     a.Trường hợp 1: Nếu cos t 0 t 0; (*) 4 4 Khi đó (2) tương đương     5 12 3 4 2  t k               3            cos t cos2 t cos t cos 2 t  4 4     t k 2   5 12 3   t ; t Thỏa mãn điều kiện (*) chỉ có nên ta có 2 nghiệm 4    5 12 6 2 3 2      x cos ; x cos 2 4 2               3     b.Trường hợp 2: Nếu cos t 0 t ; (**) 4 4     2  t k        12 3      cos cos2 t t Khi đó (2) tương đương  4      t k 2 4 Tuy nhiên, ta thấy không (**) không được thỏa mãn với số nguyên k    5 12 6 2 3 2      x cos ; x cos Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm 2 4 2 13 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

15. Dạng 3: Giải phương trình mũ   x x x Ví dụ 1: Giải phương trình 8 15 17 Giải: x x             8 15 17 Chia cả hai vế cho 17x ta được   1 17 2 2             8 15 17        nên tồn tại số thực  với 0;2 1 Do sao cho 17 8 15 17     cos ;sin 17     x x Phương trình đã cho có dạng cos sin 1 Dễ thấy x=2 là 1 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Nếu x>2 là nghiệm, ta có   ; cos              x 2 x 2 x x 2 2 sin sin cos cos sin cos sin 1 Nếu x<2 là nghiệm, ta có   ; cos              x 2 x 2 x x 2 2 sin sin cos cos sin cos sin 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 Ví dụ 2: Giải phương trình     x x   2 1   3 2 2 3 Giải Dễ thấy      nên      2 x x  2 1    2 1  2 1    2 1 1; 3+2 2 2 1 14 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

16. Đặt   1 2 x   1        3 4 t 3 t 2 1 2 t t 0 ta được phương trình 1 2       u  t cos 0 u u cos3 Đặt ta được phương trình    5 7       Giải phương trình với 0 u u ; u ; u ta được các nghiệm 9 9 9    5 7    t cos ; t cos ; t cos Khi đó (1) có 3 nghiệm 1 2 3 9 9 9 t  nên 2t và 3t không thỏa mãn.  2 1 0 Vì   Vậy ta có        x     2cos x log 2cos 2 1  9 9         x log 2cos9 Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm 2 1  Dạng 4: Giải hệ phương trình đại số                         1 x 1 y 1 z        3 x 4 y 5 z 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình     xy yz zx 1 2 Giải: xyz  và x,y,z cùng dấu và hơn nữa nếu   , y z    cũng là nghiệm, vì vậy ta chỉ cần xét x,y,z dương là đủ  , , x y z là 1 nghiệm của hệ 0 Ta thấy thì  x , 1 u  a b c     u u 0 Sự xuất hiện các biểu thức dạng cho phép ta nghĩ đến việc đặt        0 0 x tan , a y tan , b z tan c , , 0 ;90 15 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

17.              1 1 1   1'      3 tan       a 4 tan   b 5 tan   c tan b  a tan c b tan c Hệ đã cho trở thành   1 2'   tan .tan a tan .tan b c tan .tan a 3 4 5   1''   Từ (1’) ta biến đổi được về dạng sin2 a sin2 b sin2 c      0 a b c 90 2'' Từ (2’) tương đương Từ (1’’) và (2’’) ta suy ra 2a, 2b, 2c là các góc của 1 tam giác Pitago (có số đo     0 các cạnh là 3,4,5). Từ đó ta thu được 2 c 90 z tan c 1 1 2 1 3     tan b y ;tan a z Từ (1’) ta suy ra được             1 1 ; ;1 3 2 1 3 1 2   ; 1  ; Vậy hệ đã cho có hai nghiệm và   1 2            1 4  2 x y xy = 3 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   2 2 x y Giải:      x y sin cos t Sự có mặt của phương trình thứ 2 của hệ cho phép ta đặt t Khi đó phương trình (2) thỏa mãn với mọi t Phương trình (1) tương đương    2. 2sin t    1 2sin2   2 sin t cos t t 3       1 2     0 45 .2. sin2 t 3 16 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

18.             0 0 4sin t 45 sin30 sin2 t 3         0 0 0 8sin t 45 sin t 15 cos t 15 3               0 0 0 4cos t 15 cos60 cos 2 t 30 3           0 0 0 2cos t 15 2cos 3 t 45 2cos t 45 3    0 0 65 120 t k  3          0 cos 3 45 t 2 0 0 35 120 l t Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm   sin35 ;cos35 , sin75 ;cos75 , sin205 ;cos205         0 0 0 0 0 0 sin65 ;cos65 , sin185 ;cos185 , sin305 ;cos305    0 0 0 0 0 0           2 2 x y y x 1  1  1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình    1 x 1 y 2 Giải         1 1 x y 1 1 Điều kiện:   , t z    x cos ; t y cos z với 0 Đặt Hệ phương trình có thể được viết lại                      sin t z 1  cos .sin 1 cos  t z cos .sin 1 cos  z t 1   t z   2       1 cos   t z 2 t 1 cos z 2    sin t cos t sin cos t t 1  z   0 t Giải phương trình thứ (2) ta được . Khi đó 2 Như vậy hệ có nghiệm   0;1 17 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

19.      y 2  x 2 1 y 2 1    Ví dụ 4: Giải hệ phương trình x x  y 2 Giải :        x y tan tan            với , ; Đặt . Khi đó hệ đã cho trở thành : 2 2          2tan 1 tan 2tan 1 tan      thì sin   tan        sin2 sin2 tan (1) tan (2)  2  . Ta xét hai trường hợp :   tan 2   và ngược lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ . Nếu sin 0 0   và sin   : Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có : Nếu sin 0 0 1 2 1 sin2 .sin2    tan .tan    cos . os     4cos . os    c (3) c os .sin c    2sin .cos . os              c sin sin sin (1) (4) Thay (4) vào (3) ta có 1 2  1 2  1 2        (1 cos2 )    2 cos2 0 cos  k          2 k , k Z 2 4 2            x x x y y y 0 1 1       tan( ) x y k Khi đó nghiệm của hệ là 4 18 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

20. Chương III. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm phân thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   4 2 12 x 8  x 3   f x    2 2 2 1 x Giải:            t ; x 2 tan t với Đặt 2 2   2 4 3 4tan 3tan 1 2 t t Khi đó         2 f x g t 3 sin 2 t   2 1 tan  2 t 5 2       nên 2 g t 3 Do 0 sin 2 t 1        g t 3 t 0 x 0  5 2 1          g t t x 4 2 5 2   f x   f x   max 3, min Vậy   4 1 x  y Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 2 1 x Giải            x tan , t t ; Đặt 2 2 19 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

21. Khi đó hàm số được chuyển về dạng 1 tan   4 1 2 t      4 4 2 y sin t cos t 1 sin 2 t   2 2 t 1 tan  nên 1    2 y 1 Vì 0 sin 2 t 1 2 Vậy  1 2          2 min y sin 2 t 1 t x 1 4        2 max y 1 sin 2 t 0 t 0 x 0 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 2 biến   2   2 x x  4 y y    f x y , 2 2 x 4 Giải y  thì   f x y  , 0 0 Nếu         x    y  , đặt tan , t t ; 0 Nếu . Khi đó y 2 2 2 2 2                      x x   2   2   2 tan tan t 2 t t 2 2 y y       2 cos2     , sin2 2 f x y t t  2 2 tan 1 x 1 2 y           = 2 2cos 2 2 t g t 4          Vì 1 cos 2     2 2      t 1 2 g t 2 2 2 nên 4 20 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

22.        g t ( ) 2 2 2 t 8  3      g t ( ) 2 2 2 t 8                max f x y , max g t 2 2 2; min f x y , min g t 2 2 2 Vậy Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm  2 1 2 x    xy  2 2 xy y    2 2 x y 1 u với 2 Giải   ta có x và y không đồng thời bằng 0 và 2 2 x y 1 Với   2 1 2       2 2 x 2 xy x y 2 x 0      x y sin cos t Đặt . Khi đó hàm u trở thành t      2 2sin cos 1 2sin  t t 2cos 2sin cos t sin2 sin2 t t cos2 cos2 t t 11 2     u  2 t t t Để tìm tập giá trị của u ta biến đổi    1 sin2 u          1 u sin2 t u cos2  t 2 u sin2 t cos2 t 1      2 1 2   t u 1 cos2 t u Điều kiện có nghiệm của (2) là 6 6       2 2 2     1 2    1 0        2 u 1 u 1 u 2 u 4 u 1 u 1 2 2 6 6     min u 1 ;max u 1 Kết luận 2 2   2 3 y x 4 y xy  u Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 21 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

23. Giải 2         y  x  y    u 3 4 . Biến đổi hàm số u về dạng 2 2 2 2 2 2 x y x y x y        x   sin t 2 2                 2 2 x y x  y    1 Vì nên đặt y  2 2 2 2 x y x y  cos t 2 2 x y 3 2 3 2       2 u 3sin t 4sin cos t t u 2sin2 t cos2 t Khi đó hàm u trở thành 5 2 3 2 5 2         2sin2 t cos2 t 1 u 4 Nhận thấy 1; max    Vậy min u u 4          x y 1 1 xy y  u Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  2 2 x 1 Giải   Từ điều kiện , x y và sự có mặt của các biểu thức 2 2 1 x ,1 y ta đặt      x y tan tan a b    a    a b a b tan tan 1 tan .tan 1 tan  1 2             u sin a b cos a b sin 2 a 2 b Khi đó   1 tan  2 2 b 1 2 1 2    max u ,min u Từ đó ta thu được 22 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

24. Dạng 2: Tìm cực trị có điều kiện    biết u y 2 x 5 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số     2 2 36 x 16 y 9 1 x,y là nghiệm của phương trình . . Giải 2 2             6 x 4 y   1 Biến đổi điều kiện (1) về dạng: 3 3         1 2 3 4        x y a 2 4 cos x cos a      a 0;2 Từ đó ta nghĩ đến việc đặt với  sin a y sin a 3 3sin 4    u a cos a 5 Khi đó hàm u trở thành Dễ dàng nhận thấy 15 25 4 25 4 15 4     u max u ,min u nên ta có 4    u 2 x 3 3 y 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   1 1   2 2 4 x 9 y biết x,y thỏa mãn Giải 2 2             x 3 y   1 Biến đổi điều kiện (1) về dạng: 2 4       x        x 2cos 4 sin 3 a cos a 2 3      a 0;2 Từ đó ta nghĩ đến việc đặt với  y y a  sin a 4              u 4cos a 4 3sin a 2 8sin a 2 Khi đó hàm u trở thành 6    Từ đó ta thấy 6 u 10 nên 23 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

25.     1 2  x         u       max 10 sin a 1 a khi 6 3 3 y 2      1 2   x         4 u   khi       min 6 sin a 1 a 6 3 3 y 2     u x 1 y y 1 x Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất hàm số biết x,y thỏa mãn   2 2 x y 1 Giải      x y sin cos t   1 1   2 2 x y Từ điều kiện ta đặt t  1 cos   1 sin  u sin t t cos t t Khi đó Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thu được  sin cos u t t          2 2 2 (1) 2 sin t cos t 2 sin t cos t Dấu “=” xảy ra khi   1 cos sin t 1 sin cos t   1 cos   1 sin    cos t t sin t t cos t sin t (*) t t     Mặt khác lại có sin t cos t 2 (2), dấu “=” xảy ra khi sin t cos t 2 (**) u   2 2 2 Từ (1) và (2) ta thu được 1   Dấu “=” xảy ra khi sin t cos t 2 24 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

26. 1 u     Vậy max 2 2 khi x y 2 Một số bài tập tương tự   2 4 xy x 4 y y  u Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 2     2014 2014     y 1 x 1 x với Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số   1;1 x             2 2 x y 4  2 2 . Tìm nghiệm của hệ để P zx z xz v yv 9 6 Bài 3: Cho hệ đạt lớn nhất 25 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

27. Chương IV . ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN A.Kiến thức cơ bản 1.Một số phép lượng giác thường gặp Cho   , R u v là hàm hữu tỉ của hai biến u, v         2 2 1.1. Tính I R x , a x dx a , 0                   x a sin , t t ; 2 2 Thực hiện phép đổi biến     x a cos , t t 0;        2 2 I R x , a x dx a , 0 1.2.Tính                  x a tan , t t ; 2  2 Thực hiện phép đổi biến    x a cot , t t 0;        2 2 I R x , x a dx a , 0 1.3.Tính                a   \ 0   x , t ; sin t 2 2 Thực hiện phép đổi biến        a      x , t 0; \ cos t 2             a a x x a a x x           , , 0 , , 0 I R x   dx a I R x   dx a 1.4.Tính hoặc  x a cos2   b  t Thực hiện phép đổi biến            I R x , x a x b dx a , 0 1.5.Tính    2 x a a sin t Thực hiện phép đổi biến 26 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

28. 2.Phương pháp tính tích phân bằng phép lượng giác hóa -Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp -Chuyển các biểu thức đại số sang dạng lượng giác, thực hiện phép đổi cận -Tính tích phân lượng giác thu được B. Một số ví dụ minh họa 1  dx   I Ví dụ 1: Tính tích phân 2 04 x Giải             x 2sin t dx 2cos tdt t ; với .Khi đó Đặt 2 2 x  thì t  0 0 Đổi cận Với  x  thì  1 t Với 6         6  6        2cos 4cos tdt 1 2 cos dt 1 2 t ln3 4      I ln tan   Ta có 6 0 2 t t 2 4 0 0 2    2 2 I x 4 x dx Ví dụ 2: Tính tích phân 0 Giải             x 2sin t dx 2cos tdt t ; với .Khi đó Đặt 2 2 x  thì t  0 0 Đổi cận Với  x  thì  2 t Với 2 27 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

29.     2  2  2  2      2      2 1 cos4  2 2 2 2 I 2sin t 4 4sin t .2cos tdt 16sin .cos t tdt 4sin 2 tdt t dt 0 0 0 0        1 4     2 t sin4 t 2 0 2  dx x  I Ví dụ 3: Tính tích phân  2 1 2 Giải         1 cos sin t t   \ 0      t ; x dx dt Đặt với .Khi đó 2 sin t 2 2   x  t 2 Đổi cận Với thì 4  x  thì  2 t Với 6 Khi đó  tdt t cos sin 1 sin      6  6  6  dt d t t t cos t 1 cos 2 cos 1 6 1 2        I   2 t sin cos 1     1 2 4 4 4 4 t         2 3 2 2 1ln 2     2 3 2 2 2    2 I x 1 dx Ví dụ 4: Tính tích phân 2 3 Giải 28 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

30.         1 cos sin t t   \ 0      t ; x dx dt Đặt với .Khi đó 2 sin t 2 2  2  x  t Đổi cận Với thì 3 3  x  thì  2 t Với 6   2 6  6  1 cos sin tdt t cos sin tdt t      I 1. Khi đó 2 2 3 sin t   4 4              u cos cos sin t du sin 1 2sin tdt  . Đặt tdt t    dv v 3 2 t Khi đó    2    3 2 3   6  cos 2sin x dx 1 3 1 4 cos cos t t 1 1 1 3 1 4 6  6          I 3 ln 3 ln 2  x 2sin x 3  3 3 3 3  dx  I Ví dụ 5: Tính tích phân   3    2 4 5 x x 2 Giải 3  dx  I Viết I lại dưới dạng    3       x 1 4 x 2 1 Ta đi xác định nguyên hàm của hàm số     với a b f x    3       x 1 4 x 29 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

31.        sin2         2 dx b a tdt x a b a sin t t 0;2 Đặt với . Khi đó Do đó    b a sin2 tdt dt 1        F x   3 2 2 sin 2 t     b a       2 2 b a sin . t b a cos t    cot2 b  t a x b a b 2 x        c c      2 2 a 2 x  3 F x 1   I Từ đó 2 2 Chú ý: Trong lời giải trên, sở dĩ ta lựa chọn hướng tìm nguyên hàm vì nếu làm tích phân ngay thì phép đổi cận bị “lẻ”. a b  2         với a b I x a b x dx Ví dụ 6: Tính tích phân a b  3 4 Giải        sin2         2 dx b a tdt x a b a sin t t 0;2 Đặt với . Khi đó   3 a b   x t Đổi cận Với thì 4 6   a b   x t Với thì 2 4 Khi đó       2 2   b a b a 4  4      1 cos4  2 I sin 2 tdt t dt 4 8   6 6 30 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

32.      2 2          b a b a       1 4 3 4     = sin4 t t 8 8 12 8 6 1  3 x  I dx Ví dụ 7: Tính tích phân   3  2 0 1 x Giải               1 tan   2 t ; với Đặt dx t dt a tan t 2 2 x  thì t  0 0 Đổi cận Với  x  thì  1 t Với 4 Khi đó       1 tan  3 2 tan t t dt 3 4  4  4  tan  tdt       3 I sin cos t t sin cos t t     3 2 2 2 1 tan t 1 tan t 0 0 0   4        1 2 1 4 1         3 2 4 = cos t cos t d cos t cos t cos t 4 0 16 0 0    a a x x a   với 0 I dx Ví dụ 8: Tính tích phân  a Giải    a a x x 1 cos2 1 cos2  t t        x a cos2 t t 0; cot t Đặt với . Khi đó và 2 sin2 a   dx tdt 31 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

33.     thì t Đổi cận Với x a 2  x  thì  0 t Với 4 Vậy    4  4  4          1 cos2   2 I 2 a cot sin2 t tdt 4 a cos tdt 2 a t dt    2 2 2             1 2 2     =2 a t   sin2 t a 1 2 4 Một số bài tập tương tự Tính các tích phân sau 1  1  1     2 1. 2. I 1 x dx I dx 2 1 x 0 0 1   2 2 2 x  dx x     3. I dx 4. I   2    2 1 x x 1 2 x 3 2 2 2 1  a b    x 2 x I e 1 e dx 6. 2  1  I dx 5.  ln2      x a b x a b  3 4   ) (với 0 a b 32 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

34. Chương V: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Khi khảo sát chất lượng của học sinh bằng bài kiểm tra 60 phút cho 4 lớp 12 trong năm học 2013 – 2014 trong quá trình học phụ đạo, bồi dưỡng nâng cao tôi đã có những kết quả cụ thể như sau : Kết quả đạt Trước khi bồi dưỡng Sau khi bồi dưỡng được Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Giỏi 7 4,2 % 23 14,1 % Khá 24 14,7 % 51 31,2 % Trung bình 48 29,4 % 62 38 % Yếu 63 38,6 % 21 11,8 % Kém 21 13,1 % 8 4,9 % Thông qua quá trình giảng dạy học, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy: + Học sinh đã biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán và biết cách trình bày bài giải. Học sinh khá giỏi rất hứng thú với các dạng bài tập trên và các em làm khá thành thạo. + Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể. 33 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

35. PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ I.KẾT LUẬN Trên đây là một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa. Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài được đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT nói chung và trường THPT Lạng Giang số 1 nói riêng. Xin chân thành cảm ơn! II.ĐỀ NGHỊ Tôi xin được đề xuất một số ý kiến nhỏ như sau: –Sáng kiến kinh nghiệm hay nên phổ biến rộng rãi cho giáo viên các trường THPT – Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang nên đưa ra một số đề tài xuất sắc cụ thể trong từng năm để giáo viên trong toàn tỉnh cùng trao đổi, thảo luận và nghiên cứu. XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Lạng Giang, tháng 10 năm 2014 Người viết PHẠM VĂN GIA 34 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/

36. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Lê Hồng Đức (chủ biên) – Phương pháp giải toán đại số –Nhà xuất bản Hà Nội – 2008. 2.Trần Phương – Đại số sơ cấp – Nhà xuất bản Hà Nội – 2003. 3.ThS. Nguyễn Anh Tuấn – Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam – 2014. 4.Võ Thanh Văn (chủ biên) – Chuyên đề ứng dụng lượng giác trong giải toán THPT – Nhà xuất bản đại học sư phạm –2010. 35 | P a g e https://sangkienkinhnghiemquanly.com/