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第 2 章 シミュレーションモデル. 2.1 モデリング 2.2 モデリングの手順 2.3 モデルの分類 2.4 確率モデル モンテカルロ法，乱数 2.5 ゲーミングシミュレーション 2.6 統計的モデリング 線形⇔非線形，静的⇔動的 で分類 回帰分析，時系列分析，ニューラルネットワーク. モデリングの説明図. 対 象. 対象を 抽象化 して 写像 Mapping. 対 象 モデル. 制 御 モデル. 制 御 （政策）. Modeling. 抽象化. 写像. Mapping. 現実の世界. モデルの世界.
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第2章 シミュレーションモデル • 2.1 モデリング • 2.2 モデリングの手順 • 2.3 モデルの分類 • 2.4 確率モデル • モンテカルロ法，乱数 • 2.5 ゲーミングシミュレーション • 2.6 統計的モデリング • 線形⇔非線形，静的⇔動的 で分類 • 回帰分析，時系列分析，ニューラルネットワーク 061204
モデリングの説明図 対 象 対象を抽象化して 写像 Mapping 対 象 モデル 制 御 モデル 制 御 （政策）
Modeling 抽象化 写像 Mapping 現実の世界 モデルの世界 現実の中からどれだけ必要な課題や情報を取り出して， システム構築に生かすかは，技術者・SEの力量に依存。
モデリングの用途 シミュレーション システム工学 分 析 広 告 ビジュアル化 モ デ リ ン グ (思考方法) ソフトウエア 経 営 文章作成 計算機制御 大規模システム の計画
SEでもMappingが重要 要求分析 写像 Mapping USER MAKER 技術 逆写像 要求者 提供者 Systems Engineering
2.2 モデリングの手順 • 構造決定 --- 要因間の結合関係の分析/同定 • y = f (x1, x2, …) • 因子分析法，主成分分析法，多次元尺度法， • KJ法，ISM法，DEMATEL法 • 関数関係の決定--- 変数間の関係を記述 • y = f (a, b, c, …, x1, x2, …) • 静的モデル，動的モデル
2.3 モデルの分類 システムの対象 自然現象・物 社会現象 ミクロ マクロ 一般的に使用 される シミュレーションモデル 構造 連続 離散 動的 動的） （静的 デジタル， ハイブリッド ） (アナログ デジタル
１次モデル ⇔ ２次モデル １次モデル：理論の基礎的な法則（公理）の対象となるもの。 例：Newton力学の３つの公理の適用を受ける質点， 万有引力，生物学でのワトソン・クリックのDNAモデル ２次モデル：現実の世界と理論の世界を橋渡しをする重要な要素だけに注目し，重要でない要素を省いた一つの近似的な理念上のモデル。 理論の適用を容易にする。 別に，相補的，対立的な ２次モデルが併存する。 伊藤敏朗（三菱電機）：製品開発の創造的発想法
2.4 確率的モデル • モンテカルロ法 Monte Carlo Method 確率分布 確率分布に従った乱数 一様乱数 逆変換法 Πの求め方 ｎ N Π ４ ≒ y N N: 正方形の中の数 n: ４分円の中の数 p(x, y) n: 一様乱数の中で x2 + y2 ≦ 1 を満たすもの n x
Monte Carlo Method • 一様乱数の発生 • 擬似乱数 pseudo random number • ・平方採中法 mid square method • Von Neumann考案。欠点：どこかで 0 に帰着。 • 乱数列の同期がはっきりしない。 • ・合同法 • 乗算合同法 Multiplicative congruential method • ni+1 = a ni (mod m) • 混合合同法 Mixed congruential method • ni+1 = a ni + c (mod m)
乱数の検定 • 等確率性 と 無規則性 ⇒ x2検定 • 検定の考え方 • 統計的仮説検定： ある仮説の下で，きわめてまれにしか起こらない事柄が，１回の統計的実験で起こるか・起こらないかによって，その仮説を採用するか・棄却するかを決める方法。 • 帰無仮説： 仮説を棄てる（無効にする）べきか・どうかのテストをするための仮説。 • 有意水準または危険率α： 仮説が正しいにもかかわらず，仮説を棄ててしまう確率。仮説が正しい確率，つまりその仮説を採用することに対する信頼度は (1-α)である。
検定の例 小学校のクラスで忘れ物をする 生徒の数は曜日に関係があるか？ 理論度数と観測度数との距離が 許容し得るものかどうかを検定 「忘れ物をする生徒の数は曜日に関係ない」との仮説は危険率 5% で 棄てられる。⇒「曜日と関係ある」と断定。
等確率性の検定(1) コンピュータで発生させた一様乱数は，等確率性が保証 されるか? 区間(0, 1)を m個の小区間に分割し，乱数がどの小区間 に属するかをカウントする。 発生させた乱数が「区間(0, 1)に等しい確率で現れる」という性質から，それぞれの小区間に現れる乱数の個数は，小区間の大きさに比例しなくてはならない。すなわち，N個の乱数を発生させたとき，各小区間にカウントされるFi(理論度数)は，小区間の幅をDiとすれば，次式でなくてはならない。
等確率性の検定(2) ところが， は，理論度数 Fi がある程度以上大きければ，近似的に自由度 m-1(小区間の数から１を引いたもの)のχ２分布に従う。そこで， 危険率αを定めて，χ２の値が，自由度 m-1のχ２分布において となる値より大きかどうかによって，乱数の等確率性を判定する。 χ２ ＞χ０２ ならば，「等確率である」 との仮説を棄てる。 χ２ ≦χ０２ ならば，等確率性を認める。
2.5 Gaming simulation (1) 競合的なゲームの様相をモデルに組込み，プレーヤの戦略 （strategy）の最適性を吟味するシミュレーション ゲーム理論 (theory of game) 競合状態における意思決定行動を単純化し，抽象化した数 学的モデルとして扱うもの。 1944年 von Neumann と Morgensternが体系化。 ゲーム理論の中では，2人ゲーム (two person game) が基本 2人ゼロ和ゲーム (zero-sum game) 2人のプレーヤの損得の和がゼロとなる場合。 プレーヤA，Bの戦略と利得行列 (payoff matrix) [次ページ]
Gaming simulation (3) ミニマックス原理の解をミニマックス解という。 両プレイヤのミニマックス解が等しいとき，この点を鞍点(Saddle point) という。両プレイヤは，それぞれの戦略をミニマックス解から動かすと損をするので，戦略を固定する。戦略が１個所に決まる場合を純粋戦略という。 ２人ゼロ和ゲームで鞍点のない場合 いくつかの戦略を確率的にとる混合戦略を考えねばならない。定式化すると，線形計画問題となり，容易に解ける。
Gaming simulation (4) 2人非ゼロ和ゲーム (non zero-sum game) ゲームの結果について両プレーヤの選好が完全に対立してい るわけではない －談合可能(negotiable)なゲーム －談合不可能(non-negotiable)なゲーム 実用的なゲーミング シミュレーション ・ 戦争ゲーム： 戦闘状況を表すモデルを用いて，モンテカルロ 法で，敵味方の損害や勝敗を統計的に推論する。 ・ マネージメントゲーム： ビジネスゲーム，在庫管理ゲーム， 人員配置ゲームなどがある。短期間で実験的に経営を行って， 意思決定問題を体験的に学ぶ。
2.6 統計的モデリング モデル作成 入出力（U, y) の実 データから対象特性の数式モデル作成 時間 動的 dynamic 静的 static 構造 回帰分析 自己回帰法 線形 AR model MA model ARMA model 回帰分析は 別pｐｔに 対象 y U ? Black box Neural network 出力 入力 非線形 GMDH Group method of data handling Volterra series expression
モデル次数の決定法 • 線形モデルの次数の決定法 • ・FPE(Final Prediction error) • ・AIC基準(Akaike information criteria) • (2) 非線形モデルの階層構造の自動決定法 • ・GMDH(Group Method of Data Handling)
線形モデルの次数の決定法 FPE: Final Prediction Error AIC: Akaike Information Criterion
海洋汚染 2次汚濁モデル エコロジーモデル 2次汚濁モデル 回帰モデル 統計モデル 富栄養化，赤潮現象 ・非線形 ･複雑（多変数） ・構造不明確 GMDHモデル
Volterra series expansion 非線形 動的 モデリング法
ニューラルネットワークの概要 シナプス 軸索 細胞体 樹状突起 情報処理機能 に着目 脳 生体ニューロン モデル化 結合係数 （結合の強さ） 1 形式ニューロン 0.5 0 シグモイド関数
階層型ニューラルネットワークの構造 中間層 入力層 出力層 特徴 • 入力層，出力層が一つと複数の中間層 • すべてのニューロンが順方向に結合 用途 • パターン認識 • 関数近似 など 入出力関係の写像を求める（モデリング） 利用 ・学習 ・予測（評価） 061204
階層型ニューラルネットワークの利用法 学習 ネットワークに望ましい入出力関係をもたせるために， 各ニューロン間の結合係数を調整する。（モデルの構築） 予測 学習の結果得られた結合係数に基づいて，入力データ に対する未知の出力データを計算すること。（モデルの評価） ※未知… 学習に用いられていないデータのこと
階層型ニューラルネットワークの学習 バックプロパゲーション法 1. ネットワークの順方向に情報を伝播 ネットワークに 出力してほしい値 教師信号 2. 誤差 を計算 ※ 結合係数 の修正は，最急降下法を用いる 3. 誤差 を最小化する方向に 結合係数 を逆向きに修正する t ：結合係数の更新回数
中断を含む習熟過程のNNによる予測 • 別のppt Cross Validation 使用。参考に
第2章 Key words • 確率的モデリング: Monte Carlo法，逆変換法 • 統計的モデリング: 構造 vs 係数値 • 線形/非線形，static/dynamic • 回帰分析，時系列分析，Neural Network • モデルの評価 • ■標本で： 散布図，統計量，単相関，偏相関，t 値，多重共線性，残差平方和 • ■妥当性（母集団）評価： 重相関，散布図，FPE, AIC, Cross validation， • Teaching(教師) data/checking data
