Αυτοσυσχέτιση και Ετεροσκεδαστικότητα στις Παλινδρομήσεις Χρονολογικών Σειρών

1. Αυτοσυσχέτιση και Ετεροσκεδαστικότητα στις Παλινδρομήσεις Χρονολογικών Σειρών yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut Κεφάλαιο12

2. Έλεγχος για AR(1) Αυτοσυσχέτιση • Θέλουμε να έχουμε την ικανότητα να ελέγχουμε αν τα σφάλματα είναι αυτοσυσχετιζόμενα ή όχι • Θέλουμε να ελέγξουμε τη μηδενική υπόθεση αν r = 0 στηνut = rut-1 + et, t =2,…, n, όπουutείναι ο όρος του σφάλματος του μοντέλου καιetείναι ι.α.κ. (ισόνομα και ανεξάρτητα κατανεμημένα) • Μόνο με εξωγενείς μεταβλητές, το τεστ είναι πολύ απλό – απλά παλινδρομούμε τα κατάλοιπα σε κατάλοιπα με υστέρηση και εκτελούμε ένα t-τεστ

3. Έλεγχος για AR(1) Αυτοσυσχέτιση (συνέχεια) • Μία εναλλακτική είναι η στατιστική Durbin-Watson (DW), η οποία υπολογίζεται από πολλά λογισμικά • Εάν η στατιστική DW είναι κοντά στο 2, τότε μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση για την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης, ενώ όταν είναι σημαντικά < 2 δεν μπορούμε να την απορρίψουμε • Οι κριτικές τιμές είναι δύσκολο να υπολογιστούν, και έτσι κάνουνε το t-τεστ πιο ελκυστικό για χρήση

4. Έλεγχος για AR(1) Αυτοσυσχέτιση (συνέχεια) • Εάν οι παλινδρομούσες μεταβλητές δεν είναι αυστηρά εξωγενείς, τότε ούτε το t-τεστ ούτε η στατιστική DW δουλεύει ικανοποιητικά. • Παλινδρομούμε τα κατάλοιπα (ή τα y) στα κατάλοιπα με υστέρηση και στιςxμεταβλητές • Ο συνυπολογισμός τωνxεπιτρέπει κάθεxtjνα συσχετίζεται μεut-1, έτσι ώστε νε μην χρειάζεται η υπόθεση των αυστηρά εξωγενείς μεταβλητών

5. Έλεγχος για αυτόσυσχέτιση Ανώτερης Τάξης • Μπορούμε να ελέγξουμε για AR(q) αυτοσυσχέτιση με τον ίδιο βασικό τρόπο όπως και στην AR(1) • Απλά περιλαμβάνουμεqμεταβλητές με υστέρηση των καταλοίπων στην παλινδρόμηση και ελέγχουμε την συνολική σημαντικότητα • Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το F τεστ ήτο LM τεστ, όπου η LM εκδοχή καλείται Breusch-Godfrey τεστ και είναι (n-q)R2χρησιμοποιώντας R2από παλινδρόμηση των καταλοίπων • Μπορούμε επίσης να ελέγξουμε για μορφές εποχικότητας

6. Διόρθωση της Αυτοσυσχέτισης • Αρχίζουμε με την περίπτωση με αυστηρά εξωγενείς μεταβλητές, και διατηρούμε όλες τις G-M υποθέσεις εκτός της μη αυτοσυσχέτισης • Υποθέτουμε ότι τα σφάλματα ακολουθούν AR(1) έτσιut = rut-1 + et, t =2,…, n • Var(ut) = s2e/(1-r2) • Χρειάζεται να προσπαθήσουμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση έτσι ώστε να μην έχουμε αυτοσυσχέτιση

7. Διόρθωση της Αυτοσυσχέτισης (συνέχεια) • Υποθέστε ότι αφούyt = b0 + b1xt + ut , τότεyt-1 = b0 + b1xt-1 + ut-1 • Εάν πολλαπλασιάσουμε με την δεύτερη εξίσωση μεr, και την αφαιρέσουμε από την πρώτη, παίρνουμε • yt– r yt-1 = (1 – r)b0 + b1(xt – r xt-1) + et , αφούet= ut– r ut-1 • Αυτά τα οιονεί διαφορισμένα δεδομένα (quasi-differenced data) δημιουργούν ένα μοντέλο χωρίς αυτοσυσχέτιση

8. Εφικτή Εκτίμηση Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων GLS • Το πρόβλημα με αυτή τη μέθοδο είναι ότι δεν γνωρίζουμε τοr, έτσι χρειαζόμαστε έναν εκτιμητή πρώτα • Μπορούμε απλά να χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή που παίρνουμε από την παλινδρόμηση των καταλοίπων επάνω σε κατάλοιπα με υστερήσεις • Εξαρτάται από το τι κάνουμε με την πρώτη παρατήρηση, αυτό καλείται Cochrane-Orcutt ή Prais-Winsten εκτίμηση

9. Εφικτή Εκτίμηση Γενικευμένων Ελαχίστων Τετραγώνων GLS(συνέχεια) • Συχνά και οι δύο μέθοδοι εκτίμησης Cochrane-Orcutt και Prais-Winsten εκτελούνται με συνεχείς επαναλήψεις • Αυτή η βασική μέθοδος μπορεί να επεκταθεί και να επιτρέπει αυτοσυσχέτιση υψηλότερης τάξης, AR(q) • Τα περισσότερα στατιστικά πακέτα επιτρέπουν αυτόματα την εκτίμηση των AR μοντέλων χωρίς να χρειάζεται να δημιουργήσουμε τα οιονεί διαφορισμένα δεδομένα με προγραμματισμό

10. Αυτοσυσχέτιση – Ανθεκτικά Τυπικά Σφάλματα • Τι συμβαίνει εάν δεν πιστεύουμε ότι οι παλινδρομούσες μεταβλητές είναι αυστηρά εξωγενείς; • Είναι πιθανό να υπολογίσουμε– ανθεκτικά τυπικά σφάλματα με αυτοσυσχέτιση, με τον ίδιο τρόπο όπως και με τα ανθεκτικά τυπικά σφάλματα με ετεροσκεδαστικότητα • Η ιδέα είναι να βάλουμε σε μία κλίμακα τα τυπικά σφάλματα των OLS και να λάβουμε υπόψη την αυτοσυσχέτιση

11. Αυτοσυσχέτιση – Ανθεκτικά Τυπικά Σφάλματα (συνέχεια) • Εκτιμούμε κανονικά τα OLS για να πάρουμε τα κατάλοιπα και την τετραγωνική ρίζα του MSE • Τρέχουμε την βοηθητική παλινδρόμηση τηςxt1σταxt2, … , xtk • Σχηματίζουμε âtπολλαπλασιάζοντας τα κατάλοιπα από την βοηθητική παλινδρόμηση μεût • Επιλέγουμεg – ας πούμε 1 ως 3 για ετήσια δεδομένα,τότε