Matem ticas papiroflexia y balones de f tbol
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Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol. José Ignacio Royo Prieto. Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa). Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; Sólo se puede plegar el papel; No se pueden realizar cortes; No se puede usar pegamento. Modelos tradicionales.

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Reglas de la papiroflexia ortodoxa l.jpg
Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)

  • Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;

  • Sólo se puede plegar el papel;

  • No se pueden realizar cortes;

  • No se puede usar pegamento.


Modelos tradicionales l.jpg
Modelos tradicionales

Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol

Barco de papel







Slide9 l.jpg

Demonio

(Jun Maekawa)



Slide11 l.jpg

Insectos(Robert Lang)




Slide15 l.jpg

Jedi Master Yoda

(Fumiaki Kawahata)



Slide18 l.jpg

Origami

Ori = Doblar

Kami= Papel


Slide19 l.jpg

“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”

Grabado en madera japonés de 1818.




Slide22 l.jpg

Monumento a la Pajarita

(Ramón Acín),

Parque de Huesca











Relaci n matem ticas papiroflexia l.jpg
Relación Matemáticas-Papiroflexia

  • Papiroflexia modular

  • Constructibilidad de puntos con Origami

  • Diseño de figuras con métodos matemáticos


Poliedros l.jpg
Poliedros

  • Definición: conjunto conexo de R3formado por polígonos (caras) que cumplen:

    • cada lado de cada cara es compartido con otra cara;

    • en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.


Poliedros convexos l.jpg
Poliedros convexos

Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas:

Siendo C el número de caras.


S lidos plat nicos l.jpg
Sólidos Platónicos

- Definición: Un poliedro convexo es regular si:

-sus caras son polígonos regulares;

-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro




Papiroflexia modular l.jpg
Papiroflexia modular

  • Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)

  • El interés para con las matemáticas es doble:

    • representación de poliedros y otras figuras;

    • la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.


Clases de m dulos l.jpg
Clases de módulos

  • Por vértices;

  • por aristas;

  • por caras.


Problema de la coloraci n l.jpg
Problema de la coloración

  • Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales

  • Utilizaremos el grafo plano de un poliedro



Slide44 l.jpg

Coloración icosaedro

Coloración icosidodecaedro




Slide47 l.jpg

Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico








Bal n de f tbol l.jpg
Balón de fútbol

  • 12 pentágonos;

  • 20 hexágonos;

  • En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono.


Fullerenos l.jpg
Fullerenos

  • Están formados por hexágonos y pentágonos;

  • Concurren 3 aristas en cada vértice

Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)






Teorema de steinitz l.jpg
Teorema de Steinitz

Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo.

Problema de Steinitz

Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.



Dominios fundamentales l.jpg
Dominios fundamentales

Sergei Lupashin (120 piezas)

Roberto Gretter

(555 piezas)

Sarah Belcastro (105 piezas)


Curvatura de 2 con origami l.jpg
Curvatura de 2 con origami

  • Pentágonos: curvatura positiva

  • Hexágonos: curvatura cero

  • Heptágonos: curvatura negativa


Trisecci n del ngulo con origami l.jpg
Trisección del ángulo con Origami

Método de Hisashi Abe






Slide69 l.jpg

Proyección sobre la base de un modelo plano

Mapa de cicatrices y base correspondiente



Pliegue oreja de conejo l.jpg
Pliegue oreja de conejo

Hipérbola: lugar geométrico de los incentros






Origag l.jpg
Origag

(Roberto Morassi, 1984)