lenguajes regulares l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Lenguajes regulares PowerPoint Presentation
Download Presentation
Lenguajes regulares

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 59

Lenguajes regulares - PowerPoint PPT Presentation


  • 506 Views
  • Uploaded on

Lenguajes regulares. Teoría del Autómata. LENGUAJES REGULARES. Lenguajes sobre alfabetos Para un alfabeto S = { a 1 , a 2 ,…, a n } se pueden numerar las palabras de S * de la siguiente manera: e 0 a 1 1 a 2 2 . . a n n a 1 a 1 n +1 a 1 a 2 n +2.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Lenguajes regulares' - MikeCarlo


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
lenguajes regulares

Lenguajes regulares

Teoría del Autómata

lenguajes regulares2
LENGUAJES REGULARES

Lenguajes sobre alfabetos

Para un alfabeto S = {a1,a2,…,an} se pueden numerar las palabras de S* de la siguiente manera:

e 0a1 1a2 2. .anna1a1n+1a1a2n+2

slide3

para S = {a, b}, podemos numerar sus cadenas con dígitos binarios 1 y 2 en vez de 0 y 1. Sea a el 1 y b el 2, entonces se obtiene

e 0 a 1b 2aa 11 = 3ab 12 = 4abaa 1211 = 19

de esta manera se representa cada cadena como un entero único.

Y cualquier número podemos representarlo como una secuencia de a’s y b’s, por ejemplo el 32 se convierte a 11112 y luego a aaaab.

slide4

Teorema 1. Para todo alfabeto S, S* es infinito enumerable.

Teorema 2. El conjunto de todos los lenguajes sobre S no es numerable.

Demostración. Llamemos L al conjunto de todos los lenguajes sobre S, si L es numerable, por tanto podemos enumerarlo como A0, A1, A2, …

S* puede numerarse como w0, w1, w2, … Sea B = {wi | wiÏAi}. B contiene las palabras que no pertenecen al lenguaje que tienen el mismo índice que las mismas. Pero como B es un lenguaje B = Ak para algún k. Si wkÎB, entonces wkÏAk = B. Y por lo tanto wk esta y no esta en Ak. Lo mismo sucede si suponemos wkÏB. Por lo tanto L no es numerable.

slide5

El teorema 2 estipula que hay una cantidad innumerable de lenguajes sobre un alfabeto particular.

Por tanto, no existe ningún método de especificación de lenguajes que sea capaz de definir todos los lenguajes sobre un alfabeto.

lenguajes regulares y expresiones regulares
Lenguajes regulares y expresiones regulares
  • Sea S un alfabeto. El conjunto de los lenguajes regulares sobre S se define recursivamente como sigue:
  •  es un lenguaje regular
  • {e} es un lenguaje regular
  • Para todo aÎS {a} es un lenguaje regular
  • Si A y B son lenguajes regulares, entonces AÈB, A · B , A* son lenguajes regulares
  • Ningún otro lenguaje sobre S es regular.
ejemplo
ejemplo

Por ejemplo. El lenguaje de todas las cadenas sobre {a, b, c} que no tienen ninguna subcadena ac es un lenguaje regular, y puede expresarse por

A = {c}* ({a} È {b}{c}*)*

simplificaci n
Simplificación

Se puede simplificar la notación mediante el uso de expresiones regulares. Las equivalencias son:

aÈb denota {a} È {b}

ab denota {ab}

a* denota {a}*

a+ denota {a}+

Ejemplo: A = {c}* ({a} È {b}{c}*)* = c* (aÈbc*)*

expresiones regulares
Expresiones regulares
  • Los operadores tienen precedencia (*, · , È). Entonces, una expresión regular sobre el alfabeto S, es
  • Æ y e son expresiones regulares.
  • a es una expresión regular para todo aÎS.
  • Si r y s son expresiones regulares, entonces rÈs, r · s , r* también lo son.
  • Ninguna otra secuencia de símbolos es una expresión regular.
equivalencia de expresiones regulares
Equivalencia de expresiones regulares

Dos expresiones regulares pueden ser equivalentes, es decir, generan el mismo lenguaje.

La expresión (a*b)* es equivalente a  (ab)*b.

Ambos generan  o cadenas de aes y bes terminadas en b.

La expresión

ab   (ab)*b

Es equivalente a

ab  (a*b)*

reglas para expresiones regulares
Reglas para expresiones regulares
  • rÈ s = sÈ r.
  • rÈ Æ = r = ÆÈ r.
  • rÈ r = r.
  • (rÈ s) È t = rÈ (sÈ t).
  • er = re = r.
  • Ær = rÆ = Æ.
  • (rs)t = r(st).
  • r(sÈ t) = rsÈ rt y (rÈ s)t = rtÈ st.
  • r* = r** = r*r* = (eÈ r)* = r*(rÈ e) = (rÈ e)r* = eÈ rr*.
  • (rÈ s)* = (r*È s*)* = (r*s*)* = (r*s)*r* = r*(sr*)* .
  • r(sr)* = (rs)*r.
  • (r*s)* = eÈ (rÈ s)*s.
  • (rs*)* = eÈ r(rÈ s)*.
  • s(rÈ e)*(rÈ e) È s = sr*.
  • rr* = r*r.
aut mata finito determinista
Autómata finito determinista

Podemos usar un diagrama de transición para ayudar a determinar si una cadena pertenece o no a un lenguaje.

Los nodos del diagrama se denominan estados y se utilizan para señalar hasta donde se ha analizado la cadena.

Las aristas se denominan transiciones y se etiquetan con los símbolos del alfabeto.

Existe un estado, llamado estado inicial, que es de donde parte el análisis de toda cadena.

Algunos estados se marcan como estados de aceptación para determinar si una cadena es legal o no.

La cadena es legal si se termina su análisis en un estado de aceptación.

Los estados de aceptación se representan encerrados en un círculo.

slide13

El siguiente diagrama acepta cadenas de la forma akb.

a

a,b

b

a,b

El siguiente diagrama acepta el lenguaje A = {(ab)i | i³ 1}.

a,b

b

b

a

b

a

a

slide14

El siguiente diagrama acepta cadenas de la forma (ab)*.

El mismo autómata con estados etiquetados q0, q1, q2

b

q0

q1

a

b

a

q2

a,b

aut mata finito determinista15
Autómata Finito Determinista

Definimos un autómata finito deterministaM como una colección de cinco elementos:

1. Un alfabeto de entrada S.

2. Una colección finita de estados Q.

3. Un estado inicial s.

4. Una colección F de estados de aceptación o finales.

5. Una función d: QS®Q que determina el único estado siguiente para el par (qi, s) correspondiente al estado actual y la entrada.

Se usará la notación M = (S, Q, s, F, d) para indicar un AFD (autómata finito determinista) M.

ejemplo16
Ejemplo

Por ejemplo, el AFD del diagrama anterior se representa mediante M = (S, Q, s, F, d) donde

b

Q = {q0, q1, q2}

S = {a, b}

s = q0

F = {q0}

q0

q1

a

b

a

q2

a,b

y d se define por la tabla

construcci n de diagramas de transici n
Construcción de diagramas de transición

Para construir un diagrama de transiciones a partir de una descripción de un autómata, se procede como sigue.

Se dibujan nodos para cada estado del autómata, luego se trazan flechas desde cada estado qi hacia el qj etiquetándolas con el símbolo de entrada correspondiente, se marca el estado inicial y los estados de aceptación.

ejercicio
Ejercicio

Obtener la expresión regular que representa el lenguaje formado por todas las cadenas sobre {a, b} que tienen un número par de bes. Construir el diagrama de transición para este lenguaje.

ejercicio19
Ejercicio

Construir el diagrama de transición para el lenguaje dado por c*(a  bc*)*. Convertir el diagrama en una tabla de transición de estados.

afd y lenguajes
AFD y lenguajes

Definimos el lenguaje aceptado por un AFD M como

L(M) = {wÎS* | w es aceptada por M}

Por tanto, L(M) es el conjunto de las cadenas que hacen que M pase del estado inicial a un estado de aceptación. Por ejemplo, el siguiente AFD M = (S, Q, s, F, d) donde

Q = {q0, q1, q2, q3}

S = {a, b}

s = q0

F = {q0, q1, q2}

y d definida por la tabla

slide21

Tiene el siguiente diagrama de transición

a

a

b

q0

q1

b

a

a, b

q3

q2

b

acepta el lenguaje

L(M) = {wÎ {a, b}* | w no contiene tres bes consecutivas}

slide22

Se puede aplicar recursivamente una serie de caracteres de una cadena dada al AFD.

Por ejemplo, la aplicación de la cadena bbab en el caso anterior dará d(d(d(d(q0,b),b),a),b) = q1.

Esto puede abreviarse como d(q0,bbab).

Diremos que dos AFD M1 y M2 son equivalentes si L(M1) = L(M2).

aut mata finito no determinista
Autómata finito no determinista

Un autómata finito es no determinista si se permite que desde un estado se realicen cero, una o más transiciones para el mismo símbolo de entrada.

slide25

Consideremos ahora el siguiente diagrama de transición, este reconoce las mismas cadena, sin embargo es mucho más simple.

Note que el diagrama de transiciones no representa una función de Q´S en Q.

a

a

b

q1

q2

q0

b

a

q3

q4

b

definici n
Definición

Definimos un autómata finito no deterministaM como una colección de cinco elementos:

  • Un alfabeto de entrada S.
  • Una colección finita de estados Q.
  • Un estado inicial s.
  • Una colección F de estados de aceptación o finales.
  • Una relación D sobre (QS) Q y se llama relación de transición.
slide27

Por ejemplo, el AFN anterior se describe por medio de

a

a

b

Q = {q0, q1, q2, q3, q4}

F = {q2, q3, q4}

s = q0

S = {a, b}

y D dada por la tabla

q1

q2

q0

b

a

q3

q4

b

slide28

Por ejemplo, el AFN siguiente reconoce (ababa)*

b

a

Q = {q0, q1, q2}

F = {q0}

s = q0

S = {a, b}

y D dada por la tabla

q1

q0

b

a

q2

lenguaje aceptado por un afn
Lenguaje aceptado por un AFN

Si M es un AFN, el lenguaje aceptado por M se define como

L(M) = {wÎS* | w es aceptada por M}

Para poder decidir si una cadena no es aceptada por un AFN deben recorrerse todas las rutas posibles en el AFN para esa cadena, y determinar que ninguna de estas lo lleva al algún estado de aceptación.

ejemplo30
Ejemplo

Si XÍQ, vamos a interpretar D(X, s) como el conjunto {p | qÎX y pÎD(q, s)}.

Para el autómata de la figura que reconoce el lenguaje (a*b*)* (aaÈbb) (a*b*)* . OBTENER LA TABLA DE TRANSICIÓN

slide31

Para este ejemplo D({q0, q2, q3}, b) = {q0, q1} È {q2} ÈÆ = {q0, q1, q2}.

Para una secuencia de símbolos, por ejemplo abaab, se puede escribir D(q0, abaab) = D(D(D(D(D(q0, a)b)a)a)b) = {q0, q1, q4}.

equivalencia de afd y afn
Equivalencia de AFD y AFN

La definición de equivalencia se extiende a los AFN, es decir, dos autómatas (AFD o AFN) M1 y M2 son equivalentes si L(M1) = L(M2).

a,b

a,b

a

a

b

a,b

slide33

Consideremos el AFN

D(q0, a) = {q1, q2}

D(q0, b) = Æ

D({q1, q2}, a) = Æ

D({q1, q2}, b) = {q3}

D(Æ, a) = D(Æ, b) = Æ

D(q3, a) = {q2}

D(q3, b) = Æ

D(q2, a) = Æ

D(q2, b) = {q3}

afd equivalente
AFD equivalente

b

{q1,q2}

{q0}

{q3}

{q2}

a

b

a

a

b

a

b

f

a,b

e transiciones
e-transiciones

Una e-transición es una transición entre dos estados que no consume ningún símbolo.

q0

q1

a

q1

q0

e

a,e

b

a

q2

Acepta: a*

e cerradura
e-cerradura

Si un AFN tiene e-transiciones, la relación de transición D asocia pares de Q (SÈ {e})  Q con subconjuntos de Q.

Para todo estado qÎQ definimos la e-cerradura de q como

e-c(q) = {p | p es accesible desde q sin consumir nada en la entrada}

Ampliaremos esta definición para todo estado del conjunto de estados de la siguiente manera

estados que siguen a q
Estados que siguen a q

Para qÎQ y sÎS se define

d(q, s) = {p | hay una transición de p a q etiquetada con s}

Ampliaremos esta definición para todo estado del conjunto de estados de la siguiente manera

A partir de un AFN M = (S, Q, s, F, D) con e-transiciones, se puede construir una AFN sin e-transiciones que acepte el mismo lenguaje. Se define M = (S, Q, s, F', D') como

F' = FÈ {q | e-c(q) ÇF¹Æ}

y D(q, s) = e-c(d(e-c(q), s)).

aut matas finitos y expresiones regulares
Autómatas finitos y expresiones regulares

Para un alfabeto S se pueden construir AFN (o AFD) que acepten palabras unitarias y el lenguaje vacío como se muestra en la figura

q1

q1

q2

a

Sean M1 = (S1, Q1, s1, F1, D1) y M2 = (S2, Q2, s2, F2, D2) dos AFN. Podemos unir M1 y M2 para que acepte L(M1) ÈL(M2), añadiendo un nuevo estado inicial s y dos e-transiciones una de s a s1, y otra de s a s2. La construcción formal del nuevo AFN M = (S, Q, s, F, D) esta dada por S = S1ÈS2, F = F1ÈF2 y Q = Q1ÈQ2È {s}.

aut matas finitos y expresiones regulares41
Autómatas finitos y expresiones regulares

Se pueden considerar las transiciones D1 y D2 como ternas ordenadas de Q1SQ1 y Q2SQ2, donde (q, s, p) significa que existe una transición de q a p mediante el carácter s. De aquí

D = D1ÈD2È {(s, e, s1),(s, e, s2)}

Para los autómatas anteriores, se puede formar un AFN que acepte L(M1)L(M2). Para esto, se agregan e-transiciones entre cada estado de aceptación de M1 y el estado inicial de M2. El autómata que se obtiene es

  • Q = Q1ÈQ2
  • s = s1
  • F = F2
  • = D1ÈD2È {F1 {e}  {s2}}
  • s2ÎD(q, e) para todo qÎF1
aut matas finitos y expresiones regulares42
Autómatas finitos y expresiones regulares

Es posible obtener L(M2)* de la siguiente forma. Primero se añade un estado inicial de aceptación s’. Se agrega una e-transición de este estado a s. Se agrega además, una e-transición entre todos los estados de aceptación y el estado inicial s’. El autómata resultante será M' = (Q', S, s', F', D'), donde

Q = Q1È {s’}

s = s1

F = {s’}

D'= D1È {(s’, e, s)} È (F1´ {e} ´ {s’})

teorema 5
Teorema 5

El conjunto de lenguajes aceptados por un autómata finito sobre el alfabeto S contiene Æ y los lenguajes unitarios {a} para todo aÎS. Este conjunto es cerrado con respecto a la unión, concatenación y la cerradura de estrella.

slide44

Consideremos un autómata finito M = (S, Q, s, F, D) y supongamos que s = q0 es el estado inicial. Para todo estado qi sea

Ai = {wÎS* | D(qi, w) ÇF¹Æ}

Es decir, Ai es el conjunto de las cadenas sobre S que hacen que M pase desde qi hasta un estado de aceptación.Obsérvese que A0 = L(M).

q2

q0

q1

para el autómata de la figura. se tiene

A5 = Æ, A2 = e

A4 = e, A1 = b

A3 = a, A0 = ab È ba

b

a

a

a,b

b

b

a,b

q5

a

q3

q4

slide45

Supongamos que qjÎD(qi, s). Entonces Ai contiene a sAj. De hecho, se tiene que

Ai = È {sAj | qjÎD(qi, s)}

Por ejemplo, el anterior autómata

A0 = aA1È bA2, A3 = aA4È bA5

A1 = bA2È aA5, A4 = eÈaA5È bA5

A2 = eÈaA5È bA5, A5 = Æ

Sustituyendo se obtiene que L(M) = ab È ba.

lema de arden
Lema de Arden

Una ecuación de la forma X = AXÈB, donde eÏA, tiene una solución única X = A*B.

Demostración. A*B = (AÈe)B = A+BÈB = A(A*B) ÈB, entonces A*B es solución.

Sea X = A*BÈC solución donde CÇA*B=Æ. Sustituyendo

A*BÈC = A(A*BÈC) ÈB

= A+BÈACÈB

= A+BÈBÈAC

= (A+Èe)BÈAC

= A*BÈAC

Realizando la intersección con C en ambos lados nos da C = ACÇC. Por tanto CÍAC. Pero eÏA, por tanto la cadena más corta de AC debe ser más larga que la cadena más corta de C. Esto solo se cumple si C = Æ. Por tanto A*B es la única solución.

slide47

Lema 2. Sea M un autómata finito. Entonces existe una expresión regular r para la cual L(r) = L(M).

Teorema 6 (Teorema de Kleene). Un lenguaje es regular si y sólo si es aceptado por un autómata finito.

ejemplo48
Ejemplo

b

q3

q4

q0

q1

q2

a

a

a

b

a

b

b

A4 = b*

A3 = aA2 Èb+ È e

= a*b*

A2 = a+b*Èbb*

A1 = a(a+b*Èb+)Èb+

= aa+b*Èab+Èb+

A0 = a2a+b*Èa2b+Èab+

A0 = aA1

A1 = aA2 ÈbA4

A2 = aA3ÈbA4

A3 = e ÈaA3ÈbA4

propiedades de los lenguajes regulares
Propiedades de los lenguajes regulares

Sea un AFD M = (S, Q, s, F, d), donde Q contiene n estados. Si L(M) es infinito, podemos encontrar w = a1, a2, …, an+1, que pertenezca a L(M). Si

q1 = d(s, a1)

q2 = d(q1, a2)

y así sucesivamente, obtendríamos los n+1 estados, q1, q2, …, qn+1 .

Como Q tiene n estados, los qi no serán todos distintos. Para algunos índices j y k, con 1 £j<k£n+1, se tendrá que qj = qk. Por lo tanto, habrá un ciclo para llegar al estado de aceptación. Como se muestra en la figura

qj+1

q0

q1

qj = qk

qk+1

qn+1

El lazo tiene longitud de al menos 1. Las cadenas w = a1, a2, …, aj, (aj+1,…, ak)mak+1,…, an+1 estarán en L(M) para m³ 0.

lema del bombeo
Lema del bombeo

Sea L un lenguaje regular infinito. Entonces hay una constante n de forma que, si w es una cadena de L cuya longitud es mayor o igual a n, se tiene que w = uvx, siendo uvixÎL para todo i³ 0, con | v | ³ 1 y | ux | £n.

Este lema es utilizado para probar si un lenguaje es o no regular.

Ejemplo: sea

Toda cadena de L debe tener una longitud que sea un cuadrado perfecto. Supongamos que cumple el lema del bombeo, entonces

Se cumple que n2 = |uvx| < |uv2x| <= n2 + n < (n+1)2

Es decir, |uv2x| se encuentra entre dos cuadrados perfectos consecutivos y por tanto no es un cuadrado perfecto. En consecuencia no pertenece al lenguaje L.

otro ejemplo
Otro ejemplo

Sea el lenguaje L = {ambm | m>=0}. L es infinito.

Si se cumple el lema del bombeo se tiene que anbn= |uvx| con | v | ³ 1 y | ux | £n.

Dado que | ux | £n, | v | < n, y por tanto consta solo de aes. Entonces v = as, para s>=1.

Si u = ar, x = an–(s + r)bn.

Por lo tanto |uv2x| = ara2san–(s + r)bn = an + sbn.

Dado que s>=1, la cadena no puede pertenecer a L.

teorema 7
Teorema 7

Sea M un autómata finito de k estados.

  • L(M) ¹Æ si y solo si M acepta una cadena de longitud menor que k.
  • L(M) es infinito si y solo si M acepta una cadena de longitud n, donde k£n£ 2k.
  • Demostración.
  • Si M acepta una cadena de longitud menor que k, entonces L(M) ¹Æ. Si L(M) ¹Æ, entonces existe wÎL(M). Supongamos | w | ³k. Por el lema del bombeo w = uvx, y uvixÎL(M). En particular, uxÎL(M). Si | ux | £k, quedaría probado, el proceso se puede repetir para esta cadena hasta llegar a una longitud £k.
  • Supongamos wÎL(M) con k£ | w | £ 2k. Pero por el lema del bombeo w = uvx, y uvixÎL(M), para todo i, con lo que L(M) es infinito. Ahora supongamos que L(M) es infinito. Habrá cadenas con longitud ³k. Supongamos | w | ³ 2k. Pero por el lema del bombeo w = uvx, y uvixÎL(M). Entonces uxÎL(M). Si | ux | £ 2k, quedaría probado, si no se puede repetir el proceso hasta encontrar una cadena que se encuentre entre k y 2k – 1.
aplicaci n de las leyes de de morgan
Aplicación de las leyes de de Morgan

Supongamos que L y K son lenguajes sobre S. De las leyes de De Morgan

(S* - L) È (S* - K) = S* - (LÇK)

Por tanto

LÇK = S* - (S* - (LÇK))

= S* - ((S* - L) È (S* - K))

Pero el complemento de un lenguaje es regular si el lenguaje es regular, por lo tanto la intersección de dos lenguajes será regular si ambos lenguajes son regulares. Este hecho puede utilizarse para demostrar si un lenguaje es regular o no.

Por ejemplo, sea S = {a, b} y L = {wwI | wÎS*}. Probaremos que L no es regular. Sea L1 = {anb2kan | n, k³ 0} no regular, y L2 = {akbnam | k, n, m³ 0} regular. Obsérvese que L2ÇL = L1. Si L fuera regular, lo sería L1. Por tanto L no puede ser regular.

indistinguibilidad
Indistinguibilidad

Sea M = (Q, S, d, q0, F) un AFD. Definimos la relación de indistinguibilidad ~ en Q como:

q, q’  Q, q ~ q’  x, S* (d(q, x)  F d(q’, x))

La relación ~ es una relación de equivalencia que induce una partición en Q y vamos a definir un autómata a partir de M, obtenido mediante la agrupación de estados pertenecientes al mismo bloque de la partición.

minimizaci n
Minimización

a

b

q0

q4

a

q6

a

b

q2

a

b

b

a

a

b

q1

q3

a

b

b

q7

q5

b

a

q6 se elimina porque no es accesible.

La partición inicial es

p0 = {{q0, q1, q2, q3, q5, q7},{q4}}.

Llamamos

B1 = {q0, q1, q2, q3, q5, q7} y B2 = {q4}.

slide56

De tabla anterior se obtiene p1

La partición es

p1 = {{q0, q1, q5}, {q2, q7}, {q3}, {q4}}.

Llamamos

B1 = {q0, q1, q5}, B2 = {q2, q7}, B3 = {q3} y B4 = {q4}.

De tabla anterior se obtiene p2

La partición es

p2 = {{q0, q1}, { q5}, {q2, q7}, {q3}, {q4}}.

Llamamos

B1 = {q0, q1}, B2 = {q2, q7}, B3 = {q3} y B4 = {q4} y B5 = {q5}.

Puede verse que p3 es igual a p2. Por lo tanto el AFD ya está minimizado.

diagrama de transiciones
Diagrama de transiciones

B2

a

a

a

b

B1

B4

a

B5

b

b

a

b

B3

b

tarea
Tarea

Minimizar

a,b

q5

a

a

q1

b

b

q0

a

a

b

a

q3

q6

q7

b

b

a

q2

b

q4

a,b

aplicaciones de los aut matas finitos
Aplicaciones de los autómatas finitos

Reconocedor de números enteros

0,1,2, ..., 9

q0

1. i = 12. ok = verdadero3. long = longitud(s) 4. si s[i] en num entonces i = i+1 mientras i<long y ok si s[i] en num i = i + 1 sino ok = falso fin si fin mientras sino ok = falso

1,2, ..., 9

q1

cualquier otro carácter

cualquier otro carácter

q2

cualquier otro carácter