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4. 双曲型偏微分方程式の数値解法入門

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4. 双曲型偏微分方程式の数値解法入門. 双曲型の偏微分方程式( partial differential equation, PDE )の最も簡単なの例として1変数の線形 PDE     を考える; . この方程式の意味は大雑把に言って、 Δx の セル内に流入流出する f の量がフラックス その結果セル内で f が時間的に変化する割合が. Δx. この方程式は f ( t - x/c ) を解に持つ。. 後の議論のために、放物型の偏微分方程式簡単な例として 1 変数の拡散方程式            も思い出しておこう。 α は定数である。. t.

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Presentation Transcript
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4. 双曲型偏微分方程式の数値解法入門

双曲型の偏微分方程式(partial differential equation, PDE)の最も簡単なの例として1変数の線形PDE    を考える;

この方程式の意味は大雑把に言って、Δxの

セル内に流入流出する f の量がフラックス

その結果セル内で f が時間的に変化する割合が

Δx

この方程式は f (t-x/c) を解に持つ。

後の議論のために、放物型の偏微分方程式簡単な例として1変数の拡散方程式            も思い出しておこう。 αは定数である。

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t

x

  • 有限差分法 (Finite difference method,PDEの数値解法の一つ)
slide3

t

x

線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例

(1) FTCS (Forward in Time and Central difference Scheme,陽的オイラー法).

に代入して、

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t

影響領域 Domain of dependence

x

陽的 Euler 法では、    の値を計算するのに、点線のピラミッドの形の下の

部分が使われている。この部分を影響領域(Domain of dependence)と呼ぶ。 

この数値スキームの影響領域は物理的な

影響領域を含んでいる必要がある。

また,数値スキームの影響領域は差分法が異なると違ったものになる。

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線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例

(1) FTCS (Forward in Time and Central difference Scheme,陽的オイラー法).

(2) Lax (- Friedrich) scheme (ラックス-フリードリッヒ).

(3) Leap-Flog scheme (リープフロッグ 蛙飛び)

(4) Lax-Wendroff scheme (ラックス-ウェンドロフ)

(5) 1st order upwind scheme,1次の風上差分

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線形波動方程式 の陽解法の例 - 別の見方

  • Lax, Lax-Wendroff, 1次風上の各スキームは、FTCS scheme +.拡散項
  •   の形で解釈することが出来る。

cf) 拡散方程式           の差分スキーム(陽的オイラー法)

ここで、タイムステップ t と格子点間隔 h を適当に調整して、      

となるように取ってみる。すると差分スキームは

となる。これは、

   の値を計算するのに

前の時間ステップでの左右の格子点での

値を平均していることになっている。

→ 平均すると関数の値がだんだん鈍っていって

  拡散していくように見える。

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線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例 (続き)線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例 (続き)

  • Lax, Lax-Wendroff, 1次風上の各スキームは、FTCS scheme +.拡散項
  •   の形で解釈することが出来る

(1) 陽的オイラー法 (FTCS : 時間前進差分、空間中心差分).

(2) Lax (- Friedrich) 法.

(3) Lax-Wendroff 法.

(4) 1次風上差分法 1st order upwind scheme

(拡散項が一番小さい)

(負の特性速度cの場合にもそのまま使える書き方。)

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精度から要求されるステップサイズtとhに対する制限精度から要求されるステップサイズtとhに対する制限

実際には tは精度でよりも有限差分法の安定性でより強く制限される。

の差分法の記法のひとつとして、

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PDEの数値解法の基本概念の要約  (ODEの場合と類似している)PDEの数値解法の基本概念の要約  (ODEの場合と類似している)

  • 局所打切り誤差(Local truncation error):
  • PDEの厳密解が有限差分方程式を満たしていない度合い。
  • ex.) One-step method.
  • 大域差分誤差(Global discretization error)
  • Definitions: (適合性 Consistency)
  • Definitions: (収束性 Convergence)
slide10

Definitions: (ゼロ安定性 Zero-Stability, h ! 0 の時の安定性条件)

  • Definitions: (絶対安定性 - h が有限の値に固定された時の安定性条件)
  • Remark: 安定性解析の目的は、摂動が増大しないことを保証する    t0(h) の値を決めることである。摂動が増大しないためには、
  • ゼロ安定の場合には,行列 C0(h) のサイズは n !1の極限で
  • 増大することもあることに注意せよ。
  • Theorem: (Lax’s equivalence theorem)
  • Convergence ) Zero (or Absolute) - stability.
  • Zero (or Absolute) - stability and Consistency ) Convergence.
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有限体積差分法

保存法則(保存形をした PDE)の有限差分近似を導くのに適した考え方。

j–1/2

j+1/2

j–1

j

j+1

格子点間の中点を境界面にした仮想的な単位体積を考える。

境界面、  j–1/2, j+1/2 , で流束(flux)を定義する。そして、PDEを時間方向に陽的オイラー法で差分化する

ただし、境界面 j-1/2, j+1/2…には格子点がない(データがない)!

 格子点での値               を使って流束    を計算する。

陽的Euler, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind 法を    を用いて書き直す。

(1) 陽的 Euler :

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(1) 陽的 Euler :

(2) Lax :

(3) Lax-Wendroff :

(4) 1st order upwind :

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ノイマンの安定性解析 von Neumann stability analysis.

  • 等間隔格子点と周期的境界条件を空間方向に仮定した下で、線形PDE
  •   のを解くための数値スキームの安定性を解析する方法。
  • 有限差分方程式が次の様な解を持っている場合を考える。

この場合、摂動 も同じく             の様に書ける。

PDEの有限差分法の一段階公式(one-step formula)は、h とτに依存する

行列 C0 を用いて一般に            ,従って摂動           も

同様に            を満たす。

この式に上のフーリエ級数展開を代入すると、          となる。

係数    を増幅因子と呼ぶ。初期値 t = 0 まで戻れば、この式は

          とも書ける。

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ノイマンの安定性解析 von Neumann stability analysis.続き

増幅因子    は一般に複素数なので、振幅と位相にわけてやる。

増幅率

位相差

PDE           の解析解は f (t-x/c) なので、厳密な増幅率と

位相差は、

これより、        と        が一般に各モードの増幅率と位相差

を表す。

θが0に近いほうが、長波長、低周波モードに対応し、

   πに近いほうが、短波長、高周波モードに対応する。

slide15

ノイマンのゼロ安定性( zero stability )条件:

ノイマンの絶対安定性( absolute stability )条件:

線形のPDEに線形の差分法を適用した場合には、各モードは独立になる。従って、          が1以下ならばモードは増大しない。

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(参考)離散フーリエ解析の公式

差分スキームのノイマンの安定性解析では離散フーリエ変換を利用した。

このために必要な公式を下にまとめる。

格子点を           ととり、

のように周期境界条件を課す。独立な点は従って、

のN点になる。これに対応して、N個の独立な基底

を取ることが出来る。

これより、離散フーリエ変換を次の様に定義できる;

公式                    より、逆変換は

実空間と波数空間での l2ノルムの値の間には Perceval の公式が成り立つ;

slide17

課題4-1) Lax-Wendroff 法が2次精度の有限差分スキームになっていることを示せ。

課題4-2) FTCS, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind, の各有限差分法で、

      線形PDE           を次の初期条件の場合に解け。

      各数値スキームにより、シミュレーションの結果の様子が異なる。

 この理由を考察せよ。また、初期条件を変えてシミュレーション  を実行してみよ。(課題の解説を参照せよ。)

課題4-3) FTCS, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind, の差分法について

ノイマン解析を行い、シミュレーションの結果と比べてみよ。