4. 双曲型偏微分方程式の数値解法入門

1. 4. 双曲型偏微分方程式の数値解法入門 双曲型の偏微分方程式（partial differential equation, PDE）の最も簡単なの例として1変数の線形PDE 　　　を考える; この方程式の意味は大雑把に言って、Δxの セル内に流入流出する f の量がフラックス その結果セル内で f が時間的に変化する割合が Δx この方程式は f (t－x/c) を解に持つ。 後の議論のために、放物型の偏微分方程式簡単な例として1変数の拡散方程式　　　　　　　　　　　　も思い出しておこう。 αは定数である。

2. t x • 有限差分法　（Finite difference method，PDEの数値解法の一つ）

3. t x 線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例 (1) FTCS (Forward in Time and Central difference Scheme，陽的オイラー法). に代入して、

4. t 影響領域　Domain of dependence x 陽的 Euler 法では、　　　　の値を計算するのに、点線のピラミッドの形の下の 部分が使われている。この部分を影響領域（Domain of dependence）と呼ぶ｡　 この数値スキームの影響領域は物理的な 影響領域を含んでいる必要がある。 また，数値スキームの影響領域は差分法が異なると違ったものになる。

5. 線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例 (1) FTCS (Forward in Time and Central difference Scheme，陽的オイラー法). (2) Lax (- Friedrich) scheme　（ラックス－フリードリッヒ）. (3) Leap-Flog scheme　（リープフロッグ　蛙飛び） (4) Lax-Wendroff scheme　（ラックス－ウェンドロフ） (5) 1st order upwind scheme，1次の風上差分

6. 線形波動方程式 の陽解法の例 － 別の見方 • Lax, Lax-Wendroff, 1次風上の各スキームは、FTCS scheme +.拡散項 • 　　の形で解釈することが出来る。 cf)　拡散方程式　　　　　　　　　　　の差分スキーム（陽的オイラー法） ここで、タイムステップ t と格子点間隔 h を適当に調整して、　　　　　　 となるように取ってみる。すると差分スキームは となる。これは、 　　　の値を計算するのに 前の時間ステップでの左右の格子点での 値を平均していることになっている。 →　平均すると関数の値がだんだん鈍っていって 　 拡散していくように見える。

7. 線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例　（続き）線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例　（続き） • Lax, Lax-Wendroff, 1次風上の各スキームは、FTCS scheme +.拡散項 • 　　の形で解釈することが出来る (1) 陽的オイラー法 (FTCS : 時間前進差分、空間中心差分). (2) Lax (- Friedrich) 法. (3) Lax-Wendroff 法. (4) 1次風上差分法　1st order upwind scheme (拡散項が一番小さい) (負の特性速度cの場合にもそのまま使える書き方。)

8. 精度から要求されるステップサイズtとhに対する制限精度から要求されるステップサイズtとhに対する制限 実際には tは精度でよりも有限差分法の安定性でより強く制限される。 の差分法の記法のひとつとして、

9. PDEの数値解法の基本概念の要約　　（ODEの場合と類似している）PDEの数値解法の基本概念の要約　　（ODEの場合と類似している） • 局所打切り誤差（Local truncation error）: • PDEの厳密解が有限差分方程式を満たしていない度合い。 • ex.) One-step method. • 大域差分誤差（Global discretization error） • Definitions: (適合性　Consistency) • Definitions: (収束性　Convergence)

10. Definitions: (ゼロ安定性　Zero-Stability， h ! 0 の時の安定性条件) • Definitions: (絶対安定性 - h が有限の値に固定された時の安定性条件） • Remark: 安定性解析の目的は、摂動が増大しないことを保証する 　　　t0(h) の値を決めることである。摂動が増大しないためには、 • ゼロ安定の場合には，行列 C0(h) のサイズは n !1の極限で • 増大することもあることに注意せよ。 • Theorem: (Lax’s equivalence theorem) • Convergence ) Zero (or Absolute) - stability. • Zero (or Absolute) - stability and Consistency ) Convergence.

11. 有限体積差分法 保存法則（保存形をした PDE）の有限差分近似を導くのに適した考え方。 j–1/2 j+1/2 j–1 j j+1 格子点間の中点を境界面にした仮想的な単位体積を考える。 境界面、　　j–1/2, j+1/2 , で流束（flux）を定義する。そして、PDEを時間方向に陽的オイラー法で差分化する ただし、境界面　j-1/2, j+1/2…には格子点がない（データがない）！  格子点での値　　　　　　　　　　　　　　　を使って流束　　　　を計算する。 陽的Euler, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind 法を　　　　を用いて書き直す。 (1) 陽的 Euler :

12. (1) 陽的 Euler : (2) Lax : (3) Lax-Wendroff : (4) 1st order upwind :

13. ノイマンの安定性解析　von Neumann stability analysis. • 等間隔格子点と周期的境界条件を空間方向に仮定した下で、線形PDE • 　　のを解くための数値スキームの安定性を解析する方法。 • 有限差分方程式が次の様な解を持っている場合を考える。 この場合、摂動 も同じく　　　　　　　　　　　　　の様に書ける。 PDEの有限差分法の一段階公式（one-step formula）は、h とτに依存する 行列 C0 を用いて一般に　　　　　　　　　　　 ，従って摂動　　　　　　　　　　　も 同様に　　　　　　　　　　　　を満たす。 この式に上のフーリエ級数展開を代入すると、　　　　　　　　　　となる。 係数　　　　を増幅因子と呼ぶ。初期値 t = 0 まで戻れば、この式は 　　　　　　　　　　とも書ける。

14. ノイマンの安定性解析　von Neumann stability analysis.続き 増幅因子　　　 は一般に複素数なので、振幅と位相にわけてやる。 増幅率 位相差 PDE　　　　　　　　　　　の解析解は f (t－x/c) なので、厳密な増幅率と 位相差は、 これより、　　　　　　　　と　　　　　　　　が一般に各モードの増幅率と位相差 を表す。 θが0に近いほうが、長波長、低周波モードに対応し、 　　 πに近いほうが、短波長、高周波モードに対応する。

15. ノイマンのゼロ安定性（ zero stability ）条件: ノイマンの絶対安定性（ absolute stability ）条件: 線形のPDEに線形の差分法を適用した場合には、各モードは独立になる。従って、　　　　　　　　　　が1以下ならばモードは増大しない。

16. （参考）離散フーリエ解析の公式 差分スキームのノイマンの安定性解析では離散フーリエ変換を利用した。 このために必要な公式を下にまとめる。 格子点を　　　　　　　　　　　ととり、 のように周期境界条件を課す。独立な点は従って、 のN点になる。これに対応して、N個の独立な基底 を取ることが出来る。 これより、離散フーリエ変換を次の様に定義できる； 公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より、逆変換は 実空間と波数空間での l2ノルムの値の間には Perceval の公式が成り立つ；

17. 課題4-1) Lax-Wendroff 法が2次精度の有限差分スキームになっていることを示せ。 課題4-2) FTCS, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind, の各有限差分法で、 　　　　　　線形PDE　　　　　　　　　　　を次の初期条件の場合に解け。 　　　　　　各数値スキームにより、シミュレーションの結果の様子が異なる。 　この理由を考察せよ。また、初期条件を変えてシミュレーション 　を実行してみよ。(課題の解説を参照せよ。) 課題4-3) FTCS, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind, の差分法について ノイマン解析を行い、シミュレーションの結果と比べてみよ。