E N D
TOPOLOGIA DI R FINALITÀ Introdurre nozioni che consentano di definire la posizione relativa di un elemento di R* rispetto ad un insieme a cui l’elemento può appartenere o non Sia dato l’insieme: 1 n 3 A 2 , 1 n N 0 0 1/2 1 2 3 3 A ma la distanza dal primo vicino (elemento 2) nell’insieme A è pari a 1 si può dire che 3 è «LONTANO» dagli altri punti di A 2 A ed è «VICINO» ad altri punti di A 0 A ma ci si può avvicinare a piacere stando in A il punto 0 è «VICINO»
INTORNO Si definisce il concetto di vicinanza introducendo la nozione di intorno di un punto xo di R* DEFINIZIONE Dato xo R , si dice INTORNO di xo un qualsiasi intervallo del tipo 0 x I x ,x 0 0 con 0 detto raggio dell’intorno Dal punto di vista insiemistico: I (x0) = x R : x x0 intorno destro I (x0) = x R : x0 x x0 intorno sinistro I (x0) = x R : x0 intorno di I (x0) = x R : x M intorno di I (x0) = x R : x M 0 x I ,x x 0 0 0 x 0 x x0 ,x I x 0 I , M I , M
INTORNO OSSERVAZIONI 1. ogni punto di R* ha infiniti intorni l’intersezione di due o più intorni di un punto è ancora un intorno di 2. quel punto 1 x I 2 x x I x R I 0 0 0 0 3. presi x1,x2R*, con x1x2, I(x1) e I(x2) : I(x1) I(x2) = gli intorni separano i punti
PUNTO DI ACCUMULAZIONE x0 è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per A se: in ogni intorno di x0 esistono punti di A diversi da x0 1. La condizione x x0vuole evitare che x0 sia punto isolato 2. Se x0 è punto di accumulazione per A in ogni suo intorno ci sono infiniti punti di A ( ) : ( ) I x x A, x x x I x 0 0 0 0 1/2 1 2 3
PUNTO DI ACCUMULAZIONE Se A = (a, b) R (intervallo aperto ) Se A = [a, b] R (intervallo chiuso) tutti i punti di accumulazione per A sono in [a, b]
PUNTO DI ACCUMULAZIONE In R ogni elemento è un punto di accumulazione per l’insieme stesso In N o in Z non vi sono punti di accumulazione: nell’intervallo | n - |, si possono costruire diversi intorni I(n) che contengono altri numeri naturali - ad esempio, preso n=4 e = 1,5 ma anche altrettanti intorni I(4) che non contengono alcun altro numero naturale oltre a n = 4, - ad esempio, n=4 e = 0,5
PUNTO ISOLATO x0 A è PUNTO ISOLATO se: o x I ( x ) : I ( x ) A o o 1 n A n 1 ()) ) () 0 1/2 1 2 () x0 = 0 è punto di accumulazione per A tutti gli altri punti sono isolati
PUNTO INTERNO Si dice che x0 A R è PUNTO INTERNO a A se: ossia spostandosi di poco da x0 sia a sinistra sia a destra si è certi di rimanere nell’insieme A I x : I x A I è un intorno completo (x0- , x0+ ) 0 0 x0 ( ) x0 x0
PUNTO ESTERNO Si dice che x0 R è PUNTO ESTERNO ad A se: ossia un punto esterno non appartiene all’insieme A I x : I x C ( A ) 0 0 x0 ( ) x0 x0
PUNTO DI FRONTIERA Si dice che x0 R è PUNTO DI FRONTIERA per A se: ossia esiste un I che contiene punti di A e del suo complementare I x : I x A I x C ( A ) 0 0 0 x0 x0 x0 ( )
PUNTO INTERNO ESTERNO O DI FRONTIERA Ogni punto interno ad A R è anche punto di accumulazione Un insieme in cui tutti i punti sono interni si dice APERTO in R Un insieme il cui complementare in R è aperto si dice CHIUSO in R es: ogni intervallo del tipo: (a, b) con a < b è un insieme aperto [a, b] è un insieme chiuso ( , b] o [a, ) sono insiemi chiusi Un punto di frontiera non è necessariamente di accumulazione
ESERCIZIO Determinare: - punti di accumulazione per E - estremo sup e inf - massimo e minimo 1 n E e 5 , n N n 0 1 n 1 1 n n 1 n è una successione decrescente presi due elementi di E qualunque e distinti, tra di essi non sono compresi altri elementi dell’insieme E per ogni punto en si può sempre trovare un intorno al quale non appartengono altri punti di E diversi da en nessun elemento dell’insieme è punto di accumulazione per E, al contrario sono punti isolati x=5 comunque si scelga come raggio dell’intorno di centro 5 valore di n abbastanza grande per cui si ha 1/n inf(E) = 5 max(E)= sup(E) = 6 esiste sempre un x=5 è di accumulazione per E
LIMITE DI FUNZIONI Consente di determinare il comportamento di una funzione f(x) quando la variabile indipendente x : - si muove vicino ad un dato punto appartenente o non al dominio della f(x) - diventa molto grande o molto piccola ( |x| ) TERMINOLOGIA lim ( ) f x l x c INITO F se l convergent è (f R l) a e lim ite ) NFINITO I l divergente è (f a c INITO F se R lim ite al NFINITO I se c
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE Se per x tendente a x0 esiste il limite tale limite l è lim x ( ) f x l x 0
LIMITE FINITO AL FINITO LIMITE DESTRO Sia f una funzione definita in un intorno di x0∈ ∈ R tranne eventualmente in x0, cioè x0 è punto di accumulazione per Dom(f ), Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (sempre MAGGIORI di x0), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L lim f ( x ) L scelta di scelta di x 0x y y y = f (x) y = f (x) L + L + L L L - L - x0 + O x0 x O x0 x 0 >0 : x x0 x (x0 , x0 ) | f (x) L | I x 0
LIMITE FINITO AL FINITO LIMITE SINISTRO Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (sempre MINORI di x0), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L lim ( ) f x L x 0 x y y y = f (x) y = f (x) L + L + L L L - L - x0 - x0 x O x0 O | f (x) L | < > 0 >0 : x x0 x (x0 , x0) I x 0
LIMITE FINITO AL FINITO Se la funzione : possiede sia il limite destro sia il limite sinistro nel punto x0 questi due limiti coincidono lim ( ) lim ( ) f x f x L la f (x) ha limite in x0 e vale L x x x x 0 0 lim ( ) f x L x 0 x L +ε L f(x) L -ε x0 x 2 0 0 : x x0 x (x0 , x0 ) | f (x) L |
LIMITE FINITO AL FINITO Esistono limite destro e limite sinistro ma non esiste il limite completo OSSERVA: - si valuta cosa succede per x molto prossimo a x0 - NON INTERESSA il valore di f (x) nel punto x0: nel punto x0 la f potrebbe assumere qualsiasi valore o non essere definita cioè x0 potrebbe non appartenere a dom( f )
LIMITE FINITO ALL’INFINITO f definita in D illimitato x l R lim ( ) f x | f (x) –l l | < > 0 K >0 : | x | > k l+ε f(x) l l-ε K -K x ASINTOTO ORIZZONTALE y =l l per x
LIMITE INFINITO ALL’INFINITO f definita in D illimitato x lim ( ) f x M > 0 K > 0 : | x | > k | f (x) | > M f(x) M -K K x -M la funzione potrebbe avere un ASINTOTO OBLIQUO
LIMITE INFINITO ALL’INFINITO Nelle condizioni della precedente definizione, si possono considerare i seguenti casi particolari: se per ogni risulta allora grafico x > K f(x) > M lim x ( ) f x x > K f(x) < - M lim x ( ) f x x < - K f(x) > M lim x ( ) f x x < -K f(x) < -M lim x ( ) f x
LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO lim x ( ) f x La funzione ammette un asintoto obliquo y=mx+q (m 0) se lim [ f ( x ) ( mx q )] 0 x ovvero : f ( x x ) lim x m 0 esiste ed è finito lim [ f ( x ) mx ] q esiste ed è finito x
LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO ESEMPIO 3 f f ( (x x ) ) x x x 3 x x 1 m lim lim 3 3 x x x q lim [ f ( x ) mx ] lim 3 [ x x 3 x ] x x NO ASINTOTO OBLIQUO!
LIMITE INFINITO AL FINITO f definita in D illimitato x lim ( ) f x M > 0 >0 : x x0 | x- x0 |< f(x) > M 0 x f(x) M x0 x Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (diversi da x0), i corrispondenti valori di |f (x)| crescono arbitrariamente x = x0 è un ASINTOTO VERTICALE
IL LIMITE NON ESISTE come si comporta g(x) = sin(2πx) quando x → +∞ ? Per x → +∞ g(x) non tende ad alcun valore ma continua ad oscillare il limite NON ESISTE
LIMITE IN UN PUNTO ISOLATO ? dom(A) 0 , 2 f (x) = sin(x) x0= π/2 è punto isolato per A , 2 2 Ha senso chiedersi cosa succede alla funzione quando x → π/2 ? NO perché f non è definita in un intorno di x0= π/2 π 2 CONCLUSIONE: ha senso studiare il comportamento di f (x) per x → x0 solo se x0 è un punto di accumulazione per il dom(f )
LIMITE DI FUNZIONI ELEMNTARI Ricordando i grafici delle funzioni elementari si ha: x → x →
LIMITE DI FUNZIONI ELEMENTARI Ricordando i grafici delle funzioni trascendenti si ha:
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO I(x se per x x f(x) L 0 ) : f( x) 0 0 0 x I(x ) D x x 0 0 Esiste un intorno di x0 in cui f ha lo stesso segno del limite Analogo risultato per L<0: f(x)<0 in un intorno I(x0) Se L=0 nulla si può dire sul segno della funzione in un intorno di x0 L=0 x0 x0 x0
TEOREMA DEL CONFRONTO Siano f, g, h funzioni definite in I(x0) \ x0 e tali che f g h x I(x0) \ x0 0 0 L R e | L | < L h f x x x x 0 lim lim g L lim x x h g L f x0 Il teorema consente di stabilire l’esistenza del limite di g suggerisce che il suo calcolo si può fare ricorrendo a due funzioni opportunamente scelte e per le quali il calcolo del limite sia agevole
TEOREMA DEL CONFRONTO ESEMPIO 1 x lim x ? x sen 0 si osserva che x 1 1 0 x sen x x x sen x x poiché |x|0 per x 0 segue che 1 x lim x 0 x sen 0
COROLLARI DEL TEOREMA DEL CONFRONTO f, g : D R R e tali che x I(x0) D x x0 |f(x)| k 1 g ( x ) 0 lim x x 0 ( f g ) 0 lim x x 0 2 f(x) k 0 lim x g ( x ) lim x x 0 ( f g ) x 0 3 |f(x)| k g ( x ) lim x x 0 f g xlim x 0
ALGEBRA DEI LIMITI Se per x x0 f(x) L e g(x) G con L, G R si ha per x x0 1. f(x) g(x) L G 2. f(x) g(x) L G 3. f(x) g(x) L G sse G 0 e G(x) 0 per x x0 4. k f(x) k L k R
ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI L R 1. L 5. L sse L 0 2. 6. L / 0 sse L 0 3. 7. L / 0 4.
FORME INDETERMINATE Nessuna regola può essere stabilita a priori per determinare il risultato 1. 5. 1 2. 0 6. ( ) 0 3. / 7. 0 0 4. 0 / 0
TEOREMA DELL’ESISTENZA DEL LIMITE PER UNA FUNZIONE MONOTONA ( ) , ( : monotona una è f funzione f a b R a b ) crescente lim f ( x ) inf Im( f ) lim x f ( x ) sup Im( f ) x a b Analogamente se f è una funziona monotona decrescente: lim x f ( x ) sup Im( f ) lim x f ( x ) inf Im( f ) a b L=0 L=0 sup Im(f ) sup Im(f ) inf Im(f ) inf Im(f ) a b a b
CONTINUITÀ DEFINIZIONE Sia f: I R R , x0 I e punto di accumulazione per la funzione f si dice che la funzione f è continua in x0 se: lim 0 x x ( ) ( ) f x f x 0 formalmente, secondo la definizione topologica di limite: > 0 > 0 : |x x0|< |f(x) – f(x0)|< se x è vicino a x0 f(x) è vicina a f(x0) Graficamente, la continuità in x0 consiste nel fatto che punti vicini a x0 sono trasformati tramite f in punti vicini a f(x0) lim lim ( ) ( ) f x f x f x 0 x x x x 0 0 l’operazione di limite può essere portata “all’interno” della funzione sostituendo la variabile x con il valore x0 a cui essa tende
CONTINUITÀ Una funzione f(x) è CONTINUA IN UN INTERVALLO A D se è continua in tutti i punti dell’intervallo A y h(x) o o o x1 x x3 x2 O La funzione h(x) è continua nell’insieme (x1, x2) (x2, x3), ma non è continua né in x2 né in x3
DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE o DISCONTINUITÀ A SALTO salto della funzione : |L1-L2| Anche se si ridefinisce f(x0) non è possibile rendere f(x) una funzione continua in quel punto lim ( ) lim ( ) f x L 1 f x L 2 0 0 x x x x 1 , , L L L L R 1 1 1 y O O x0 x
DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE o DISCONTINUITÀ A SALTO ESEMPIO f(0) non può essere calcolato x lim 1 | x | x 0
DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE quando almeno uno dei limiti è infinito o non esiste lim ( ) lim x ( ) f x L f x L 1 2 x x x 0 0 * L o L R 1 1 y y y O x0 x0 x0 x x x x0 non lim x0 diverge non definita 1 1 x ( ) g x e ( ) f x sen ALTRI ESEMPI : x
DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE o ELIMINABILE quando almeno uno dei limiti è infinito o non esiste lim ( ) ( ) f x L R f x L 0 x x 0 g(x) y O x0 x ( ) f x x x 0 ( ) g x L x x 0
TEOREMA DEGLI ZERI Data una funzione reale f, si chiama zero o radice di f ogni punto x0∈ ∈ dom(f) in cui f si annulla: f(x0)= 0 Sia 1. f continua in [a, b] 2. f(a) f(b) 0 f(a) c (a, b) : f(c) = 0 a cb f(b) Se inoltre: 3. f è strettamente monotona lo zero è unico Se non fossero soddisfatte le ipotesi: a b a b f NON È CONTINUA IN I IL DOMINIO NON È UN INTERVALLO
TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b)
TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI COROLLARIO Sia f una funzione continua in un intervallo A Allora l’immagine f (A) dell’intervallo A tramite f è ancora un intervallo
TEOREMA DI WEIERSTRASS Ogni funzione continua e definita in un intervallo chiuso e limitato ha sempre almeno un punto di minimo e almeno un punto di massimo Se non valesse una delle ipotesi: o o o o (a, b) non è limitato f non è continua in [a, b] (a, b) non è chiuso
TEOREMA DI DARBOUX Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] Allora f assume tutti i valori compresi tra m min [a, x f(x) e M max [a, x f(x) b] b] M M y2 a b a b y1 m m Il teorema è una conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema dei valori intermedi
TEOREMA DI DARBOUX M a b m FORMALMENTE Sia f : [a, b] R, continua in [a, b] detti m= minf e M = maxf punto di min e max per f: Im[a, b] = [m, M] [m, M] x0 [a, b] : f(x0) =
TEOREMA Sia f una funzione continua su un intervallo I Allora f è iniettiva se e solo se è strettamente monotona su I f continua sull’intervallo I f continua sull’intervallo I NON monotona monotona NON iniettiva su I iniettiva su I